1.3. числовые характеристики распределения

1.3. числовые характеристики распределения

I. Генеральная совокупность

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности, т.е.

М{Х) =

где суммирование осуществляется по всем возможным значениям случайной величины.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

определяется выражением

M(X) = xf(x)dx,

где интегрирование осуществляется на всем интервале, в котором определена f{x).

Математическое ожидание случайной величины — это среднее ее значение по генеральной совокупности, обозначается M(X) = ix.

Геометрически математическое ожидание случайной величины — это центр ее распределения.

Свойства математического ожидания (a, b — константы; X, Y— случайные величины):

М(а) = а.

М(ЬХ) = ЬМ(Х).

М(а + ЬХ) = а + ЬМ(Х).

М(Х+ Y) = M{X) + M(Y).

М(Х-[іх) = 0.

Математическое ожидание функции g(X) определяется выражением

где суммирование осуществляется по всем возможным значениям х,. В частности, ecnng(X) =Х2, то М(Хг) = ^х2рг

Случайные величины X, Y называются независимыми, если Р(Х-х; Y-y) = Р(Х-x)P(Y-у) для любых значений х, у.

Следствие. Если случайные величины X, F независимы, то

M(XY) = M(X)M(Y),

М(*-м*)(У-М = °Теоретическая (генеральная) дисперсия случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Xотносительно ее средней, т.е.

al = D(X) = M(X-]ix)2.

Замечание. Если ясно, о какой переменной идет речь, нижний индекс в ix или а2 можно не указывать.

Для вычисления дисперсии часто используется другое выражение, получаемое из определения дисперсии:

D{X) = M{X2)-i2x.

Дисперсия является мерой рассеяния случайной величины относительно средней (центра). Размерность дисперсии не совпадает с размерностью случайной величины.

Стандартным отклонением случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии, т.е.

<5x=4D{X).

Стандартное отклонение показывает, насколько в среднем отклоняется случайная величина в совокупности относительно средней (центра).

Свойства дисперсии:

D(a) = 0.

D{bX) = b2D(X).

D(a + bX) = b2D(X).

Следствие. Если случайные величины X, Y независимы, то D(X+Y) = D(X) + D(Y).

Заметим, что М(Х) и D(X) — это числовые характеристики генеральной совокупности (числа), а не функции.

Нормальное распределение случайной величины Охарактеризуется лишь двумя параметрами: средним значением |j. и дисперсией а2. Это обозначается как Х~ N(x; о2).

График плотности нормального распределения/(х) имеет ко-локолообразный симметричный вид (рис. 1). Максимум этой функции находится в точке х = ц,, а разброс относительно этой точки определяется параметром а. Чем меньше значение а, тем более острый и высокий максимум/(х).

fix) А

Мх Рис. 1

II. Выборочная совокупность

Пусть из генеральной совокупности с распределением F(x) извлекается выборка объема п. Считаем, что выборочные наблюдения Х, Х2, Х„ независимы и имеют одинаковые распределения.

Выборочной средней называется среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины в выборке, т.е.

Выборочной дисперсией (вариацией) называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений случайной величины от среднего значения, т.е.

var(A') = — ^(х,х)2, или var(A') = х2

(X)2.

Свойства выборочной дисперсии:

var(o) = 0.

var(bX) = b2var(X).

ar(a + bX) = b2var(X).

Значения x, var(X) являются числовыми характеристиками выборочной совокупности.

Для разных выборок, взятых из одной и той же генеральной совокупности, выборочные средние и выборочные дисперсии будут различны, т.е. выборочные характеристики являются случайными величинами.

Из условия, что выборочные наблюдения Хи Х2, Х„ независимы и имеют одинаковые распределения, вытекают следующие соотношения:

M{x) = [ix> D(x) =

4~п

Центральная предельная теорема закона больших чисел устанавливает, что распределение средней выборочной х при достаточно большом п является нормальным, т.е.

N

V П J

Пример 1.1. Вычислить выборочные характеристики по исходным данным

х = 24, var(x) = х2 (х)2 = 132 100 -32.

Для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии в Excel можно использовать функции

х = СРЗНАЧ (массив х), var(x) = ДИСПР (массив х).