1.2. двумерный нормальный закон распределения
1.2. двумерный нормальный закон распределения
Рассмотрим генеральную совокупность с двумя признаками x и у, совместное распределение которых задано плотностью двумерного нормального закона
f (x,У) = ^Г^ехр{Q2(x,У)} , (1.5)
2ПОхоyV1 р
—)2 -2р — + ( -)2], определяемого пятью параметрами:
-1
где Q2(x, У) = [(
2(1-р2) 0x 0x 0У оу
M(x) = / , D(x) = a2
2 r ,
xx
M(у) = и , D(y) = a2 , y У
m [x y ik ] = р, о о
x у р2 * 1.
Имея эти параметры, можно получить уравнения линий регрессии, показывающих изменение условных математических ожиданий в зависимости от изменения соответствующих значений случайных аргументов:
M(y / x) My = вyx (x ~ Mx) линейное уравнение регрессии y на x; M(y / x) Mx = вxy (y My) линейное уравнение регрессии x на y; о
в = p—y~ коэффициент регрессии y на x; yx о
x
о
в = р—^ коэффициент регрессии x на y. xy о
y
Полезно вспомнить, что квадрат коэффициента корреляции р, т.е. коэффициент детерминации, в рассматриваемой модели указывает долю дисперсии одной случайной величины, обусловленную вариацией другой. Коэффициент регрессии Pyx показывает, на сколько единиц своего измерения увеличится (в>0) или уменьшится (в<0) в среднем y (M(y/x)), если xувеличить на единицу своего измерения.
Задача двумерного корреляционного анализа состоит, прежде всего, в оценке пяти параметров, определяющих генеральную совокупность.
В качестве точечных оценок неизвестных начальных моментов первого и второго порядка генеральной совокупности берутся соответствующие выборочные моменты.
Точечные же оценки неизвестных других параметров получают с помощью формул, аналогичных формулам вычисления самих параметров через генеральные начальные моменты. Таким образом, будем иметь:
2
xy
Откуда
x оценка для /jx, y оценка для /jy,
x оценка для M(x2), у2 оценка для M(y2), оценка для M(xy).
sx = x2 (x )2 оценка для о2 ,
sУ = У2 (У)2 оценка для о2 .
xy x ■ У
r = — — оценка для р.
S S
x y
Оценки генеральных коэффициентов регрессии eyx и exy получаются соответственно по формулам:
S s
b = r—, b = r —,
yx S xy s
x y откуда оценки уравнений регрессии имеют вид:
y / x y = b (x xl x / y x = b (y y).
yx xy
При этом y / x и x / y обозначения оценок для условных математических ожиданий M(y/x) и M(x/y) генеральной совокупности.
Следует отметить, что вышеприведенные точечные оценки являются состоятельными, а x и y несмещенными и эффективными. Кроме того, распределение выборочных средних ( x , y ) не зависит от распределения (sx, sy, r). Наконец, выборочный коэффициент корреляции r по абсолютной величине не превосходит единицы.
Обсуждение Эконометрика
Комментарии, рецензии и отзывы