2.3. проверка однородности двух биномиальных выборок

2.3. проверка однородности двух биномиальных выборок

Как сравнить две группы мужчин и женщин, молодых и пожилых, и т.п.? В маркетинге это важно для сегментации рынка. Если две группы не отличаются по ответам, значит, их можно объединить в один сегмент и проводить по отношению к ним одну и туже маркетинговую политику, в частности, осуществлять одни и те же рекламные воздействия. Если же две группы различаются, то и относиться к ним надо по-разному. Это представители двух разных сегментов рынка, требующих разного подхода при борьбе за их завоевание.

Эконометрическая постановка такова. Рассматривается вопрос с двумя возможными ответами, например, "да" и "нет". В первой группе из П] опрошенных пі] человек сказали "да", а во второй группе из п2 опрошенных т2 сказали "да". В вероятностной модели предполагается, что пі] и т2биномиальные случайные величины В(п], pi) и В(п2, р2) соответственно. (Запись В(п , р) означает, что случайная величина т., имеющая биномиальное распределение В(п , р) с параметрами п объем выборки и р -вероятность определенного ответа (скажем, ответа "да"), может быть представлена в виде т. = X, + Х2 +,..+Хп , где случайные величины X, , Х2 ,...,Хп независимы, одинаково распределены, принимают два значения 1 и 0, причем P(Xj = 1) = р, Р(Х{ = 0)= 1-р, i=l,2,...,n.)

Однородность двух групп означает, что соответствующие им вероятности равны, неоднородность что эти вероятности отличаются. В терминах математической статистики: необходимо проверить гипотезу однородности

Н0: pi = р2

при альтернативной гипотезе

Н :Pj Фр2.

(Иногда представляют интерес односторонние альтернативные гипотезы Нх : рх > р2 и Н[ :Pi<p2 •)

Оценкой вероятности pi является частота p,*=m.i/nh а оценкой вероятности р2 является частота р2*=т2/п2 . Даже при совпадении вероятностей р, и р2 частоты, как правило, различаются, как говорят, "по чисто случайным причинам". Рассмотрим случайную величинур,* -р2* Тогда

М(р,*-р2*) =р,-р2, D(p,*-p2*) =р, (1 -р,)/п, +р2 (1-р2)/п2.

Из теоремы Муавра-Лапласа и теоремы о наследовании сходимости [4, п.2.4] следует, что

lim Р{Рі-Р>-ЩРі-р>)<х} = Ф(х),

где Ф(х) функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Для практического применения этого соотношения следует заменить неизвестную эконометрику дисперсию разности частот на оценку этой дисперсии:

D*(p,*-p2*) =р*,(1-р*,)/п, +р*2(1-р*2)/п2. С помощью указанной выше математической техники можно показать, что

щ —уюп7—>сс>

lim Р^-^-М(р"-р^<А = Ф(А

4D*(pl-p2)

При справедливости гипотезы однородности М(р,* р2*) = 0. Поэтому правило принятия решения при проверке однородности двух выборок выглядит так: 1. Вычислить статистику

Р~Р

Q =

P