3.4. средние по колмогорову

3.4. средние по колмогорову

Обобщением нескольких из перечисленных выше средних является среднее по Колмогорову. Для чисел X], Х2,...,Хп среднее по Колмогорову вычисляется по формуле

G{(F(XJ +F(X2)+.. .F(Xn))/n}, где F строго монотонная функция (т.е. строго возрастающая или строго убывающая), G функция, обратная к F. Среди средних по Колмогорову много хорошо известных персонажей. Так, если F(x) = х, то среднее по Колмогорову это среднее арифметическое, если F(x) = In х, то среднее геометрическое, если F(x) = 1/х, то среднее гармоническое, если F(x) = х2, то среднее квадратическое, и т.д. Среднее по Колмогорову частный случай среднего по Коши. С другой стороны, такие популярные средние, как медиана и мода, нельзя представить в виде средних по Колмогорову. В монографии [2] доказаны следующие утверждения.

Теорема 3. При справедливости некоторых внутриматематических условий регулярности в шкале интервалов из всех средних по Колмогорову допустимым является только среднее арифметическое.

Таким образом, среднее геометрическое или среднее квадратическое температур (в шкале Цельсия) или расстояний не имеют смысла. В качестве среднего надо применять среднее арифметическое. А также можно использовать медиану или моду.

Теорема 4. При справедливости некоторых внутриматематических условий регулярности в шкале отношений из всех средних по Колмогорову допустимыми являются только степенные средние с F(x) = хс, с ^0,и среднее геометрическое.

Замечание. Среднее геометрическое является пределом степенных средних при

с->0.

Есть ли средние по Колмогорову, которыми нельзя пользоваться в шкале отношений? Конечно, есть. Например, с F(x) = е .

Аналогично средним величинам могут быть изучены и другие статистические характеристики показатели разброса, связи, расстояния и др. (см., например, [2] ). Нетрудно показать, например, что коэффициент корреляции не меняется при любом допустимом преобразовании в шкале интервалов, как и отношение дисперсий, дисперсия не меняется в шкале разностей, коэффициент вариации в шкале отношений, и т.д.

Приведенные выше результаты о средних величинах широко применяются, причем не только в экономике, менеджменте, теории экспертных оценок или социологии, но и в инженерном деле, например, для анализа методов агрегирования датчиков в АСУ ТП доменных печей. Велико прикладное значение ТИ в задачах стандартизации и управления качеством, в частности, в квалиметрии. Здесь есть и интересные теоретические результаты. Так, например, любое изменение коэффициентов весомости единичных показателей качества продукции приводит к изменению упорядочения изделий по средневзвешенному показателю (эта теорема доказана проф. В.В. Подиновским).

Цитированная литература

Суппес П., Зинес Дж. Основы теории измерений. В сб.: Психологические измерения. -М.:Мир, 1967. С. 9-110.

Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М.: Наука, 1979. 296 с.

Пфанцагль И. Теория измерений. М.: Мир, 1976. 165 с.