4.7. методы проверки однородности для связанных выборок

4.7. методы проверки однородности для связанных выборок

Начнем с практического примера. Приведем письмо главного инженера подмосковного химического комбината (некоторые названия изменены).

"Директору Института высоких статистических технологий и эконометрики (Фамилия, имя, отчество) Наш комбинат выпускает мастику по ГОСТ (следует номер) и является разработчиком указанного стандарта.

В результате исследовательских работ по подбору стандартного метода определения вязкости мастики на комбинате накоплен большой опыт сравнительных данных определения вязкости по двум методам:

неразбавленной мастики на нестандартном приборе фабрики им. Петрова;

раствора мастики на стандартном вискозиметре ВЗ-4.

Учитывая высокую компетентность сотрудников Вашего института, прошу Вас, в порядке оказания технической помощи нашему предприятию, поручить соответствующей лаборатории провести обработку представленной статистики современными эконометрическими методами и выдать заключение о наличии (или отсутствии) зависимости между указанными выше методами определения вязкости мастики. Ваш5е заключение необходимо для решения спорного вопроса о целесообразности вновь ввести в ГОСТ (следует номер) метода определения вязкости мастики по вискозиметру ВЗ-4, который, по мнению некоторых потребителей, был необоснованно исключен из этого ГОСТ по изменению № 1.

Заранее благодарю Вас за оказанную помощь.

Приложение: статистика на 3 листах.

Главный инженер (Подпись) (Фамилия, имя, отчество)"

Комментарий. Вязкость мастики один из показателей качества мастики. Измерять этот показатель можно по-разному. И, как оказалось, разные способы измерения дают разные результаты. Ничего необычного в этом нет. Однако поставщику и потребителю следует согласовать способы измерения показателей качества. Иначе достаточно часто поставщик (производитель) будет утверждать, что он выполнил условия контракта, а потребитель заявлять, что нет. Такая конфликтная ситуация иногда называется арбитражной, поскольку для ее решения стороны могут обращаться в арбитражный суд. Простейший метод согласования способов измерения показателей состоит в том, чтобы выбрать один из них и внести в государственный стандарт, который тем самым будет содержать не только описание продукции, перечень ее показателей качества и требований к ним, но и способы измерения этих показателей.

Заключение по статистическим данным, представленным химическим комбинатом. Для каждой из 213 партий мастики представлены два числа результат измерения вязкости на нестандартном приборе фабрики им. Петрова и результат измерения вязкости на стандартном вискозиметре ВЗ-4. Требуется установить, дают ли два указанных метода сходные результаты. Если они дают сходные результаты, то нет необходимости вводить в соответствующий ГОСТ указание о методе определения вязкости. Если же методы дают существенно различные результаты, то подобное указание ввести необходимо.

Для применения эконометрических методов в рассматриваемой задаче необходимо описать вероятностную модель. Считаем, что статистические данные имеют вид (х.,_у.),г = 1,2,...,213, где хг- -результат измерения на нестандартном приборе фабрики им.

Петрова в г'-ой партии, а у і результат измерения вязкости на стандартном вискозиметре ВЗ-4 в той же г'-ой партии. Пусть щ истинное значение показателя качества в г'-ой партии. Естественно считать, что указанные выше случайные вектора независимы в совокупности. При этом они не являются одинаково распределенными, поскольку отличаются истинными значениями показателей качества щ. Принимаем, что при каждом і случайные величины хгаг-и у і ai независимы и одинаково распределены. Это условие и означает однородность в связанных выборках. Параметры связи величины аг . Их наличие не позволяет объединить первые координаты в одну выборку, вторую во вторую, как делалось в случае проверки однородности двух независимых выборок.

В предположении непрерывности функций распределения из условия однородности в связанных выборках вытекает, что

Р(хі<уі) = Р(хі>уі) = ^.

Рассмотрим случайные величины Z. =хі—уі, і = 1,2,...,213. Из последнего соотношения

вытекает, что при справедливости гипотезы однородности для связанных выборок эти случайные величины имеют нулевые медианы. Другими словами, проверка того, что метода измерения вязкости дают схожие результаты, эквивалентна проверке равенства 0 медиан величин Z/.

Для проверки гипотезы о том, что медианы величин Z; нулевые, применим широко известный критерий знаков (см., например, справочник [8, с.89-91]). Согласно этому критерию необходимо подсчитать, в скольких партиях х. < уі и в скольких х> _у.. Для

представленных химическим комбинатом данных х. < _у. в 187 случаях из 213 и х. > _у. в 26

случаях из 213.

Если рассматриваемая гипотеза верна, то число W осуществлений события {х. < _у.}

имеет биномиальное распределение с параметрами р = 1/2ип = 213. Математическое

ожидание M(W)=