П1-1. определения терминов теории вероятностей и прикладной статистики
П1-1. определения терминов теории вероятностей и прикладной статистики
Определения практически всех используемых в литературе понятий теории вероятностей и математической статистики и основные сведения о соответствующих математических объектах собраны в Энциклопедии [2]. Ниже приведены определения и обозначения (в стиле [2]) лишь для основных понятий теории вероятностей и прикладной статистики, используемых в настоящем учебном пособии. Как показали предыдущие публикации (см., например, [3]), эта сводка позволяет осознанно изучать и применять эконометрические методы для анализа конкретных экономических данных. Однако она, очевидно, не заменяет систематических курсов теории вероятностей и прикладной математической статистики, знакомство с которыми -необходимая предпосылка для изучения эконометрики.
Споры по поводу терминов весьма распространены. Весьма популярно желание добиться единства терминологии. Однако практика терминологических дискуссий показывает, что придти к единому мнению обычно не удается. Не помогают достижению единства и административные меры, например, принятие государственных стандартов, "несоблюдение которых карается по закону". Зачастую такие стандарты содержат в себе много спорного, а то и ошибочного (подробнее об этом см. [3]).
Почти в каждой области знания параллельно существуют различные терминологические системы. Большого вреда это обычно не приносит. Так, операция умножения двух чисел а и Ь может быть обозначена четырьмя способами крестиком (т.е. а х Ь), точкой (а Ъ), отсутствием знака между сомножителями (ab) или звездочкой, как при программировании (а*Ь). Случайные величины обозначают либо латинскими буквами, либо греческими. Для математического ожидания используют либо символ М, либо символ Е, и т.п.. Обычно можно без труда понять, о чем идет речь.
Однако при изучении настоящего курса эконометрики необходимо пользоваться вполне определенной терминологической системой. Она и приводится ниже. При этом мы отнюдь не отрицаем пригодности других систем терминов и определений в тех или иных случаях.
№№ пп. | Термины | Определения | Примечания |
1. Теория вероятностей | |||
1.1. Общие понятия | |||
1.1.1. | Пространство элементарных событий | Множество, элементы которого, называемые элементарными событиями, соответствуют возможным результатам наблюдения, измерения, анализа, проверки, исходам опыта, эксперимента, испытания. | Пространство элементарных событий Q = {со} лежит в основе вероятностных моделей явлений (процессов). Вместо явного описания пространства элементарных событий часто используют косвенное или частичное описание, например, с помощью распределений случайных величин. |
1.1.2. | Случайное событие | Измеримое подмножество пространства элементарных событий. | Термин "измеримое" понимают в смысле теории измеримых множеств. Случайные события образуют а-алгебру G. |
1.1.3. | Вероятностная мера | Сигма-аддитивная мера Р, определенная на всех случайных событиях и такая, что Р(О) = 1, где Q пространство элементарных событий | Вероятностная мера Р функция, ставящая в соответствие каждому случайному событию А его вероятность Р(А). Термин "мера" понимают в смысле математической теории меры. Синонимы: вероятностное распределение, распределение вероятностей, распределение, вероятность на пространстве элементарных событий. |
1.1.4. | Вероятностное | Совокупность {Q, G, Р} пространства элемен- | Вероятностное пространство (синоним: поле вероят- |
пространство | тарных событий Q, класса случайных событий G и вероятностной меры Р. | ностей) основной исходный объект теории вероятностей и вероятностных моделей реальных явлений (процессов). | |
1.1.5. | Вероятность события А | Значение Р(А) вероятностной меры Р на случайном событии А. | В силу закона больших чисел частота реализации события А при неограниченном увеличении числа независимых повторений одного и того же комплекса условий, описываемого вероятностным пространством {Q, G, Р}, стремится к вероятности этого события Р(А), т.е. для любого є > 0 limn^oo Р { m/n р | < є } =1, где m/n частота, р вероятность события А, п число повторений. Это свойство нельзя принимать за определение вероятности события в математической теории вероятностей. Оно указывает способ оценивания вероятности по опытным данным. |
1.1.6. | Независимость случайных событий | Случайные события А и В являются независимыми, если Р(АВ) = Р(А)Р(В), где АВ пересечение множеств А и В (произведение событий А и В). Случайные события Ai, А2,..., Ап называются независимыми (в совокупности), если P(AiA2...An) = P(Ai)P(A2)...P(An) и аналогичные равенства справедливы для всех | Общематематическое понятие пересечения множеств АпВ в теории вероятностей по традиции эквивалентно понятию произведения событий АВ. |
поднаборов этих событий А(1), А(2),..., А(к), 2<k<n-l. | |||
1.1.7. | Случайный элемент | Измеримая функция, определенная на вероятностном пространстве. | Случайный элемент X принимает значения в измеримом пространстве (Z,J), где Z пространство значений X, a J класс измеримых подмножеств Z; при этом для любого QCJ множество X_1(Q) является случайным событием. Если Z множество действительных чисел R1, то случайный элемент X называют случайной величиной. Если Z = Rk конечномерное векторное пространство размерности к=2,3,...., то случайный элемент X называют случайным вектором. |
1.1.8. | Распределение случайного элемента | Функция множества, задающая вероятность принадлежности случайного элемента измеримому подмножеству его области значений. | Для случайного элемента X, определенного на вероятностном пространстве {Q, G, Р} со значениями в измеримом пространстве (Z,J), его распределение Pi:J --> [0,1] задается формулой Pi (Q) = Р (X-!(Q)), QCJ. |
1.1.9. | Дискретный случайный элемент | Случайный элемент, область значений которого состоит из конечного или счетного множества точек. | Распределение случайного элемента X, принимающего только значения xi, Х2,..., полностью описывается числами рі = Р(Х=хі), і = 1,2,..., причем pi + р2 +... = 1. |
1.1.10. | Параметрическое семейство | Функция, определенная на параметрическом пространстве (подмножестве конечномерного | Параметр может быть одномерным или конечномерным. Вместо "зависимость от k-мерного параметра" |
распределений | векторного пространства), которая каждому значению параметра (числу или вектору, входящему в параметрическое пространство) ставит в соответствие распределение случайного элемента. | часто говорят "зависимость от к параметров". | |
1.1.11. | Независимость случайных элементов | Определенные на одном и том же вероятностном пространстве случайные элементы Xi, X2,...,Xk со значениями в измеримых пространствах (Zi, Ji), (Z2, J2)v? (Zk, Jk) соответственно называются независимыми, если для любых QiGJi, Q2GJ2,..., QkCJk имеем P(XiGQi, X2GQ2,..., XkGQk) P(XieQi)P(X2eQ2)... P(XkGQk). | Для случайных величин и векторов, имеющих плотности вероятности, независимость эквивалентна тому, что плотность вероятности вектора (Xi, Х2,..., Xk) равна произведению плотностей вероятностей случайных величин Xj т.е. f (xi, х2,..., Xk) = f(xi)f(x2)...f(xk). Результаты экспериментов, которые проведены независимо друг от друга, как правило, моделируются с помощью независимых случайных величин. |
1.1.12 | Вероятностная модель явления (процесса) | Математическая модель явления (процесса), в которой использованы понятия теории вероятностей и математической статистики. | Установление (формулировка) исходной вероятностной модели необходимый первый этап для применения методов прикладной статистики. |
1.2. Случайная величина | |||
1.2.1. | Случайная величина | Однозначная действительная измеримая функция на вероятностном пространстве. | Однозначная действительная функция X:Q—»Rl является случайной величиной, если для любого xCR1 множество (со:Х(со) < х} является случайным событием. Случайная величина это случайный элемент со значениями в R1. (Здесь R1 множество действительных чисел.) |
1.2.2. | Функция распределения | Функция, определяющая для всех действительных чисел х вероятность того, что случайная величина X принимает значения, меньшие X. | Функция распределения F(x) = Р(Х < х) = Р{со:Х(со) < х}. Функция распределения непрерывна слева. Примечание. Иногда функцию распределения определяют как F(x) = Р(Х < х) = Р{со:Х(со) < х}. Тогда она непрерывна справа. |
1.2.3. | Плотность вероятности | Функция p(t) такая, что F(x)= fp(t)dt -00 при всех х, где F(x) функция распределения рассматриваемой случайной величины. | Сокращенная форма: плотность. |
1.2.4. | Непрерывная случайная величина | Случайная величина, функция распределения которой при всех действительных х непрерывна. | |
1.2.5. | Квантиль порядка р | Значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение р или имеет место "скачок" со значения меньше р до значения больше р. | Число Хр квантиль порядка р для случайной величины с функцией распределения F(x) тогда и только тогда, когда Игл х^Хр+0 F(x)>p, F(xp)<p. Может случиться, что вышеуказанное условие выполняется для всех значений х, принадлежащих некоторому интервалу. Тогда каждое такое значение называется квантилью порядка р. Примечание. Одни авторы употребляют термин "квантиль" в мужском роде, другие в женском. |
1.2.6. | Медиана | Квантиль порядка р = 1/2. | |
1.2.7. | Мода непрерывной случайной величины | Значение случайной величины, соответствующее локальному максимуму ее плотности вероятности. | Мод у непрерывной случайной величины может быть несколько (конечное число или бесконечно много). Краткая форма термина: мода. |
1.2.8. | Математическое ожидание | Среднее взвешенное по вероятностям значение случайной величины Х(со), т.е. j" X(fi?)P(dfi?) | Математическое ожидание обозначают М(Х), Е(Х), MX, EX и др. Рекомендуемое обозначение: М(Х). При этом М(Х) = j Х(со) Р (dco) = п + оо +оо JxdF(x) = |tp(t)dt -т —no |
где F(x) функция распределения, a p(t) плотность вероятности случайной величины X = Х(со). Математическое ожидание существует не для всех случайных величин X. Для существования математического ожидания необходимо и достаточно абсолютной сходимости соответствующего интеграла. | |||
1.2.9. | Дисперсия (случайной величины X) | Математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. | Для случайной величины X дисперсия D(X) = а2=а2(Х)=М(Х-М(Х))2. Дисперсия равна 0 тогда и только тогда когда Р(Х=а)=1 для некоторого а. |
1.2.10. | Среднее квад-ратическое отклонение | Неотрицательный квадратный корень из дисперсии. | |
1.2.11. | Коэффициент вариации | Отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию. | Применяется для положительных случайных величин как показатель разброса. |
1.2.12. | Момент порядка q (случайной величины X) | Математическое ожидание случайной величины ХЯ. | |
1.2.13. | Центральный момент порядка q (случайной величины X) | Математическое ожидание случайной величины (Х-М(Х))С1, где М(Х) математическое ожидание X. | Дисперсия центральный момент порядка 2. |
1.2.14. | Характеристи- | Функция от tCR1 , при каждом t равная мате- | M(eitx) = M(cos(tX) + isin(tX)) = M(cos(tX)) + |
ческая функция (случайной величины X) | матическому ожиданию случайной величины eitX, где [ _ мнимая единица, е основание натуральных логарифмов. | iM(sin(tX)). | |
1.3. Случайный вектор | |||
1.3.1. | Случайный вектор | Однозначная измеримая функция на вероятностном пространстве со значениями в конечномерном евклидовом пространстве RX | Случайный вектор X это случайный элемент со значениями в Rk' т.е. X = Х(со) = (Xi(co), Х2(со),...., Хк(со)), где Х|(со), і = 1,2,...,к, случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве. |
1.3.2. | Функция распределения (случайного вектора) | Функция распределения F(xi, Х2,...., хк) случайного вектора Х(со) = (Xi(co), Х2(со),...., Хк(со)) удовлетворяет равенству F(xb х2,....,хк) = Р (Хкхі, Х2<х2,..., Xk<x0 = Р{ co:Xi(co)< х1? Х2(со)< x2,...,Xk(co)<xk). | |
1.3.3. | Плотность вероятности (случайного вектора) | Функция р(х) такая, что Р(ХєА) = Jp(x)dx А для случайного вектора X = Х(со) и любого борелевского подмножества А конечномерного евклидова пространства RX | |
1.3.4. | Математическое ожидание случайного вектора | Вектор, компоненты которого математические ожидания компонент случайного вектора. | Математическое ожидание случайного вектора X = (ХЬ Х2,...., Хк) есть (M(Xi), М(Х2),...., М(Хк)), где М(Хі) математическое ожидание случайной величи- ны Хі5 являющейся і ой компонентой случайного вектораХ, і = 1,2 к. |
1.3.5. | Ковариация (для двумерного вектора) | Ковариацией вектора (X,Y) называется математическое ожидание случайной величины (X MX))(Y M(Y)), где М(Х) и M(Y) математические ожидания случайных величин X и Y. | cov(X,Y) = М (X M(X))(Y M(Y)) ; если X = Y, то cov(X,Y) = D(X) дисперсия X. |
1.3.6. | Ковариационная матрица случайного вектора | Квадратная матрица cjj порядка к, в которой Су ковариация двумерного вектора (Xi, Xj), где Xj и Xj компоненты случайного вектора X = (XbX2,....,Xk), i,j = l,2,...,k. | Ковариационная матрица симметрична, на главной диагонали стоят дисперсии Xi компонент X, і = 1,2 к. |
1.3.7. | Коэффициент корреляции (для двумерного вектора) | Отношение ковариации вектора (X,Y) к произведению средних квадратических отклонений а(Х) и а(У) случайных величин X и У. | KX.Y) = C°V(X'Y) (j(X)(j(Y) Если Y = aX+b, то r(X,Y) = 1. Верно и обратное: если |r(X,Y)| = l,ToY = aX+b.. |
1.3.8. | Корреляционная матрица | Квадратная матрица rjj порядка к, в которой rjj коэффициент корреляции двумерного | Корреляционная матрица симметрична, на главной диагонали стоят единицы. |
случайного вектора | вектора (Xi, Xj), где Х| и Xj компоненты случайного вектора X = (Xi, Х2,...., Xt), i,j = l,2,...,k. | ||
2. Прикладная статистика | |||
2.1. Общие понятия | |||
2.1.1. | Признак | Свойство (характеристика) объекта наблюдения. | Частными видами наблюдения являются измерение, испытание, анализ, опыт, проверка и т.д. |
2.1.2. | Результат наблюдения | Значение признака объекта наблюдения. | Результат наблюдения может быть числом, вектором, элементом конечного множества или математическим объектом иной природы. |
2.1.3. | Выборка | Совокупность значений одного и того же признака у подвергнутых наблюдению объектов. | Выборка совокупность чисел или векторов, или математических объектов иной природы, соответствующих изучаемым реальным объектам наблюдения. |
2.1.4. | Объем выборки | Число результатов наблюдений, включенных в выборку. | Объем выборки обычно обозначают п. |
2.1.5. | Вероятностная модель выборки | Вероятностная модель получения результатов наблюдений, включаемых в выборку. | Примерами вероятностных моделей выборок являются простая случайная выборка и случайная выборка из конечной совокупности. |
2.1.6. | Простая случайная выборка | Выборка, в которой результаты наблюдений моделируются как совокупность независимых одинаково распределенных случайных эле- | Если результаты наблюдений имеют распределение F, то говорят, что "выборка извлечена из распределения F". |
Обсуждение ЭконометрикаКомментарии, рецензии и отзывы П1-1. определения терминов теории вероятностей и прикладной статистики: Эконометрика, А.И.Орлов, 2002 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Эконометрика исследует конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей.
|