2.3. равновесная норма добычи — простая модель

2.3. равновесная норма добычи — простая модель

Один из важнейших результатов статической распределительной модели заключается в знании того, что механизм конкурентной рыночной экономики при определенных условиях приводит к «социально-оптимальным» решениям.

В этом результате, в принципе, ничего не меняется, если в связи с ресурсной проблемой в рассмотрение ввести параметр времени.1 Тогда деятельность виртуального аукционера, представленного Вальрасом, который объявляет цены на все товары (включая естественные ресурсы), пока не будет найдено равновесное решение,2 должно однако распространиться и на будущие рынки. Если существует система совершенных будущих рынков, экономические субъекты на основе действующих равновесных цен могут заключать контракты не только на ближайшую, но и на весьма отдаленную перспективу на базе соответствующих равновесных цен. Чтобы понять свойства последовательности таких равновесных рыночных ситуаций, выявим сначала интересы отдельного поставщика ресурса.3

' При этом мы всегда исходим из существования точки равновесия. М. Эс-варан, Т. Левис и Т. Хипс (см.: Eswaran М., Lewis T.R., Heaps Т., 1993) показывают, что в межвременном контексте рыночного равновесия не существует, если добыча сопровождается возрастанием дохода, приходящегося на единицу добываемого сырья (т. е. ростом предельного дохода).

2 Этому решению соответствует ситуация, при которой все одновременно домохозяйства максимизируют свою полезность, все фирмы максимизируют свою прибыль, на всех рынках спрос соответствует предложению и не существует никаких стимулов для выхода из рынка или для вступления в него.

3 Здесь мы вновь исходим из простейшего случая заданного запаса однородного ресурса при постоянных издержках добычи. В дальнейшем мы расширим и усложним ситуацию.

Поставщик ресурса должен решить как он распределит разработку (добычу) ресурса во времени. Скорее всего, он стремится найти такую траекторию добычи, при которой стоимость потока прибыли от продажи ресурса во времени будет максимальной. При этом ему приходится учитывать, что получение прибыли от добычи и продажи еди-

ницы ресурса сегодня снижает возможность получения прибыли в будущем (т. е. приводит к возникновению издержек использования).

Так как прибыли, полученные от продажи ресурса, фирма может вложить под определенный процент на рынке капитала (который мы считаем совершенным), то при сравнении вариантов сегодняшней и будущей разработки фирма будет дисконтировать ожидаемые в будущем прибыли с учетом этого процента. Будущие прибыли, таким образом, будут «весить» меньше, чем настоящие. Это говорит в пользу быстрой разработки ресурса. С другой стороны, прибыль от продажи единицы ресурса в будущем превысит сегодняшнюю, если стоимость ресурса ceteris paribus (при прочих равных условиях — лат.) с течением времени будет возрастать в результате сокращения его запаса.1 Последнее говорит в пользу замедления разработки ресурса.

Таким образом, вопрос об оптимальной для фирмы (в данном контексте — максимизирующей прибыль) траектории добычи непосредственно связан с проблемой соотнесения, с одной стороны, тенденции дисконтирования и, с другой стороны, роста стоимости ресурса (иными словами, сравнения между собой привлекательности финансовых инвестиций и инвестиций «в запасы»).

' Это произойдет и в том случае (причем самым драматическим образом), если все фирмы, следуя приведенной первой тенденции, интенсифицируют добычу в настоящем.

2 Если дисконтированная предельная прибыль периода t выше (ниже) дисконтированной предельной прибыли периода t + 1, то фактическая сумма прибылей всех периодов может быть увеличена за счет того, что запланированная на период t добыча и продажа ресурса будет увеличена (снижена) за счет изменения добычи в периоде t + 1. В связи с этим можно вспомнить, что <<oil in the ground appreciates faster than money in the bank>> («нефть в земле дорожает быстрее, чем деньги в банке» — англ.). Это обстоятельство будет удерживать разработчика от добычи и продажи ресурса до тех пор, пока не установится условие межвременного равновесия.

Траектория добычи, которая максимизирует приведенную к настоящему моменту прибыль фирмы от продажи ресурса, характеризуется тем, что дисконтированная предельная прибыль (цена соответствующего периода минус предельные издержки добычи) одинакова для всех периодов.2 При таком распределении предельная прибыль от продажи дополнительной единицы ресурса, добытого в настоящий момент, покроет потерю (дисконтированной) будущей прибыли. Таким образом, в равновесном состоянии предельная прибыль всегда равна предельным издержкам использования. Для последней добытой единицы ресурса выполняется следующее соотношение: инвестиция «в запасы» (т. е. в сохранение единицы ресурса в земной коре) приносит ту же выгоду, что и финансовое вложение средств, полученных от реализации в настоящий момент добытой единицы ресурса.

Условие равной для всех периодов дисконтированной предельной прибыли выполняется именно тогда, когда недисконтироваиная предельная прибыль в течение времени растет в соответствии с процентом на капитал, который мы принимаем в качестве норматива дисконтирования. Здесь результаты дисконтирования будущих прибылей и роста во времени стоимости ресурса находятся в равновесии. Выразим эту взаимосвязь в виде формулы, где Р — цена ресурса, a z — ставка дисконтирования прибыли.1 Для модели двух дискретных периодов:

(Р0 МЕС,) (Рх MECx)/(i + z), (2.11) а для модели непрерывного времени:

(PtМЕСс)е-'гг = const. (2.12)

Распределение ресурса между двумя периодами в социальном оптимуме представлено на рис. 2.4 (аналогично рис. 2.3). При этом S, D, МЕС, МОС — соответственно кривые предложения, спроса, предельных издержек добычи и предельных издержек использования. Индексы О и 1 обозначают периоды. Кривая предложения отражает общие (частные) предельные издержки, т. е. сумму предельных издержек добычи и использования.

Для ситуации равновесия в периоде 0 ресурс будет разработан до уровня R' и продан по цене Р,. Для периода 1 остается количество ресурса R R'. Для решения предельная прибыль периода 0, т. е. отрезок Dq(R*) МЕС,, равна дисконтированной предельной прибыли периода 1, т. е. отрезку D{(R*) MECV что означает рост предельной прибыли в соответствии со ставкой процента на капитал.2

1 О соотношении е'а и 1/(1 +г)',атакже z и 2 можно сказать то же самое, что уже говорилось в п. 2.2 относительно е~гТ, 1/(1 + г)', г nr.

2 Чтобы упростить эту формулировку, в дальнейшем будем говорить, что предельная прибыль «растет со ставкой процента».

3 В нашем примере одновременно с равновесным положением первого периода определяется также и равновесное положение для второго периода. Поэтому здесь мы можем придерживаться «компаративной статики». В моделях, учитывающих многие периоды и непрерывность времени, мы должны будем говорить о «сравнительных динамических» качествах.

Рисунок 2.4 также раскрывает сравнительные статические3 качества межвременнбго рыночного равновесия. Особый интерес вызыва

ет вопрос о том, как рынки реагируют на ожидаемое в будущем сокращение запаса и нехватку ресурса. Чтобы это выяснить, представим следующую ситуацию. Поступающая информация вызывает у поставщиков ресурса предположение о том, что количество ресурса в периоде 1 будет меньше, чем предполагалось ранее, так как спрос представлен не кривой Dv а кривой D (рис. 2.4). Ожидаемое вследствие роста спроса в периоде 1 повышение прибыли скажется на росте предельных издержек использования в периоде 0. Это, в свою очередь, передвинет кривую предложения в периоде 0 с позиции 50 к 5'0. Результатом этого станет повышение равновесной цены FQ — цены добычи и продажи уменьшенного количества ресурса i?*'(<^*).

1 Конечно, этот эффект «консервации» наступает лишь в том случае, если фирмы не опасаются введения дополнительных налогов на прибыль, полученную в период нехватки ресурса, или, скажем, не боятся экспроприации. К данному вопросу мы еще вернемся в следующих разделах книги.

Таким образом, с позиций межвременной максимизации прибыли поставщики будут придерживать большее количество ресурса, если в будущем периоде ожидается его нехватка.1

Из этих рассуждений легко можно сделать выводы о том, как будет изменяться «равновесная» траектория разработки ресурса при изменении некоторых других параметров. Особенно важна здесь роль ставки дисконтирования. Чем выше эта ставка, тем «меньший вес» будут иметь прибыли будущих периодов, которые учитываются при вычислении приведенной прибыли от разработки ресурса. Альтернативные издержки использования, таким образом, будут снижаться по мере роста процентной ставки на капитал. В результате появляется стимул интенсивной добычи ресурса.1

То, что при равновесном распределении во времени добычи ресурса предельная прибыль растет в соответствии с процентной ставкой на капитал, показал еще Хотеллинг (Hotelling Н., 1931).2 Поэтому это «главное правило экономики невоспроизводимых ресурсов» называется часто правилом Хотеллинга.

В точке равновесия продавцу ресурсов всегда безразлично, оставить ли последнюю единицу ресурса в земле (и воспользоваться результатами повышения ее стоимости в будущем) или же извлечь ее оттуда (и вложить полученные средства под процент на рынке капитала). Объем добычи при этом зависит от уровня спроса.3 Рисунок 2.5 демонстрирует такую зависимость для поставщиков ресурса. Здесь мы переходим (следуя Хотеллингу) к рассмотрению варианта с непрерывным временем.

1 Чтобы закрепить изученный материал, читатель может самостоятельно проверить этот эффект, используя рис. 2.4.

2 В простой модели Хотеллинга, где не учитываются предельные издержки добычи, цена (равная в данном случае предельной прибыли) растет в соответствии с нормой е". В модели с положительными и постоянными предельными издержками добычи темп роста цены меньше роста процентной ставки. Но из-за уменьшающегося относительного значения постоянных предельных издержек добычи для предельной прибыли темп изменения цены все более приближается к темпу роста процентной ставки на капитал.

3 Предполагается, что для предприятия не существует ограничений по мощности, которые препятствуют ему поставлять на рынок весь объем запрашиваемого ресурса в данном периоде. Позднее мы подробно рассмотрим такую ситуацию.

На рис. 2.5а цена на добываемый ресурс в начале разработки, в момент времени 0, находится на (эндогенно определенном) уровне Р0. Разность PQ МЕС представляет собой предельную прибыль (предельные издержки использования) в исходном пункте. С течением

времени предельная прибыль растет в соответствии с процентной ставкой на капитал. Цена, таким образом, следует траектории:

Pt = МЕС + (Р0 МЕС) є'*. (2.13)

Из этого выражения посредством простой перестановки получаем, что дисконтированная предельная прибыль момента t, т. е. (Р МЕС) e~zc, всегда равна (Р0 МЕС).1

Зависимость спроса от цены на ресурс в соответствующем периоде показана на рис. 2.56. Так например в момент времени t действует цена Рт, по которой добывается и продается количество ресурса qT?

Помимо рассмотренного выше равновесия между различными периодами должно соблюдаться также и равновесие между объемами потребления ресурса.

1 В принципе, автор исходит из (Р MECt) е'я = const при постоянном MECt = МЕС (см. модель для непрерывного времени), вследствие чего последнее соотношение является скорее предпосылкой, чем следствием. — Прим. науч. ред.

2 Напомним, что в данном случае речь идет о предельных величинах и моментах непрерывного времени, хотя автор иногда пишет о периодах. — Прим. науч. ред.

Равновесная траектория добычи ресурса характеризуется тем, что ресурс полностью разрабатывается (извлекается из земли) в такой момент времени Т, в котором цена на ресурс достигает своего критического (запретительного) уровня Рг Именно это условие определяет начальную цену и предельную прибыль в момент времени 0. Это наглядно показано на рис. 2.5. Рассмотрим линию цены Р' Если изначально мы исходим из уровня цены Р'0 < PQ, то (в соответствии с ростом предельной прибыли по процентной ставке на капитал) цена будет изменяться по кривой Р', т. е. в каждом периоде спрос на ресурс и его добыча будут выше, чем в случае развития цен по кривой Р Ресурс, таким образом, будет полностью исчерпан раньше, чем в первом варианте, уже в момент времени Г', а не Т, как в первом случае, где кривая цен расположена выше. Так как в момент времени Т цена Р' вынужденно находится ниже критического уровня цены Рр то в момент времени Т спрос на ресурс будет все еще положительным q'v хотя сам ресурс уже полностью исчерпан. Поэтому, приняв за начальную цену уровень P'Q, мы пришли в момент Т к ситуации, когда спрос не встречает предложения. Следовательно, этот вариант развития цен не может быть равновесным.1

Настолько же неравновесной будет траектория цены (не отраженная на рис. 2.5) в случае, когда в земле еще остаются ресурсы, на которые (из-за слишком высоких цен) нет больше спроса.2

1 Так как готовность платить при неудовлетворенном спросе в момент Т выше цены последней проданной на рынке единицы ресурса, то для продавца будет выгодно несколько уменьшить объемы добычи в предыдущие периоды в пользу потенциального периода с неудовлетворенным спросом. Аналогично с точки зрения социального оптимума предельная полезность «пустого» периода выше предельной полезности последнего «обслуженного» периода. Поэтому сдвиг разработки на необслуженные периоды при учете правила дисконтирования обусловит повышение приведенной стоимости потока по-лезностей.

2 В условиях конкуренции все продавцы будут стремиться быстрее разработать ресурс в ранние периоды, чтобы предотвратить ситуацию «сидения» на ресурсе. Относительно необходимости полной разработки ресурса для достижения социального оптимума аргументация еще проще: пока потребление ресурса приносит (как предполагается) позитивную предельную полезность, стратегия оставлять какое-то количество ресурса неиспользованным в земле не является оптимальной (см. также: Strobele W., 1987. S. 25).

Итак, мы рассмотрели равновесную траекторию добычи ресурса (в условиях совершенной конкуренции) и представили ее графически для случая двух дискретных периодов (рис. 2.4), а также для случая непрерывного времени (рис. 2.5).

При сравнении приведенных выше результатов позитивного анализа с результатами нормативного анализа, представленного в п. 2.2, легко заметить, что условия для «социально оптимальной» и равновесной траекторий добычи ресурса в условиях рыночной экономики очень близки. Важнейший признак «социально оптимального» плана разработки ресурса (см. п. 2.2) состоит в том, что предельная нетто-полезность ресурса растет в соответствии с процентной ставкой, равной социальной ставке дисконтирования. Условием равновесной траектории добычи ресурса в конкурентной экономике является то, что предельная прибыль продавца ресурса должна расти в соответствии со ставкой процента на капитал.

Таким образом, равновесный план добычи ресурса, принятый для конкурентной экономической среды, совпадает с «социально оптимальным» планом при выполнении следующих трех условий:1

Цена ресурса соответствует предельной брутто-полезности ресурса.2

Предельные («частные») издержки добычи, учитываемые поставщиком ресурса, идентичны («социальным») альтернативным предельным издержкам факторов производства, применяемых при добыче ресурса.3

Ставка процента на капитал (частная ставка дисконтирования) совпадает с социальной ставкой дисконтирования.4

1 Краткое доказательство оптимальности конкурентного равновесия можно найти у А. С. Фишера (Fisher А. С, 1981, р. 35).

2 Так как цена ресурса в ситуации равновесия показывает предельную готовность платить за этот ресурс, то это условие можно сформулировать и как «равенство предельной готовности платить предельной брутто-полезности». Это условие кроме прочего предполагает отсутствие внешних (экстерналь-ных) эффектов при потреблении ресурса.

3 То есть при разработке ресурса опять же не возникает никаких внешних эффектов.

4 Здесь, чтобы подчеркнуть принципиальное различие между этими двумя ставками, мы различаем г и г. О необходимости такой дифференциации см. также: Hampicke U. (1991). Относительно оправданности предположения о равенстве этих двух ставок (лучше сказать, о вероятности, что это предположение выполнено) см. п. 2.5.

3-457

Примечание науч. ред. Рассмотрим для иллюстрации простое формальное обоснование правила Хотеллинга (ConradJ. М. Resource Economics. Cambridge, 1999, p. 78-80). Для заданного горизонта времени Т= 0,1,20, коэффициента дисконтирования г = 0,05 (р = 1 + г) и начального запаса ресурса R=75 определим объем добычи qt. Тогда сле

г=0

дует решить задачу £ U(qt) • р' -» max при ограничении j,qt=R.

t=0

Методом функции Лагранжа находятся оптимальные величины g.

находятся частные проДля функции L=YJU(qt)-р1 + цR

изводные — = U'(q. )-р' -р. = 0 и —= Д £ <?г = 0. На базе этих уравнений придем к соотношениям:

U'(q0) 1/'(?,)Р ^(^Р2 --Uq,)pT = tx,

или l/'(?0)-l/'(9,)-(l+r)t + 1.

Последнее соотношение показывает рост предельной полезности по траектории Хотеллинга. Если полезность представлена готовностью платитьpf = а b ■ qt, то траектория удовлетворяет условиюр1 = (1+ r)l-pQ. Графически рост полезности представлен на рис. 2.6<з слева: для а = 1, b = 0,1. На рис. 2.66 показана сама траектория добычи. Иными словами, цена растет темпом, соответствующим ставке процента, а объем добычи со временем падает, приближаясь к нулю.

а)

і

Pt

0,5 -

20

Рис. 2.6. Траектории цены и объема добычи для простого случая {Conrad J. М., р. 83)