3.2. социально оптимальная траектория потребления ресурса («улова», «снятия урожая») — простая базисная модель

3.2. социально оптимальная траектория потребления ресурса («улова», «снятия урожая») — простая базисная модель

3.2.1. Концепция

Теоретические предположения относительно полезности, которые мы сделали при определении оптимальной траектории потребления невозобновимых ресурсов, будут верны и для случая возобновимых ресурсов. Здесь вновь речь идет о максимизации уже известного выражения «межвременной общей полезности» w, которую мы получаем от использования ресурса:

w = ]u(t,y(t))e-hdt. (3.2) о

При этом y(t) показывает темп изменения (в момент времени t) улова/урожая, U(t, •) характеризует полезность в момент времени t} иг— постоянную во времени социальную ставку дисконтирования.

1 Здесь U(t, •) представлена в непосредственной зависимости от двух переменных: объема улова у и времени t. — Прим. науч. ред.

5-457

Гопределяет горизонт принятия решений, который в дальнейшем будет рассматриваться как «бесконечный». U следует опять понимать как нетто-полезность (темп ее изменения), т. е. как полезность от потребления ресурса, уменьшенную на стоимость использованных при этом производственных факторов.

При максимизации, однако, должны быть учтены дополнительные условия, аналогично тому, как это имело место для случая невозобно-вимых ресурсов. Особенно (в статичном случае) соблюдается:

dX(t)/dt = g(X(t)) y(t), а также 0 < X(t) < Хта (3.3)

При этом X(t) показывает наличный запас ресурса к моменту t, dX(i)/dt характеризует его изменение, g(X(t)) — предельную величину восстановления ресурса. В качестве общественной нетто-полезно-сти вновь берем превышение социальной готовности платить над народнохозяйственными издержками по «вылову» этого ресурса. Тогда (как и для невозобновимых ресурсов) получаем следующую величину, подлежащую максимизации:

W = )[mwp(t,y(t))-c(t,y(t))yHdt, (3.4)

о

где mwp(t,y(t)) — темп изменения готовности платить (в зависимости от предельного улова. — Прим. науч. ред.), a c(t, y(t)) — соответствующие издержки на «вылову» в момент времени t}

Мы видим, что влияние превышения готовности платить над издержками (т. е. влияние нетто-полезности) последующих периодов на величину нетто-полезности W по-прежнему снижается вместе с ростом ставки дисконтирования и по мере увеличения удаленности рассматриваемого периода. Это указывает на целесообразность концентрации потребления ресурса в настоящем периоде. Но привлекательность такой концентрации будет уменьшаться по мере ускорения падения предельной полезности при условии возрастания потребления ресурса в некотором периоде. Таким образом, вопрос о социально-оптимальной траектории потребления ресурса во времени (как и для невозобновимых ресурсов) вновь представляется как вопрос об уравновешивании этих противоположных тенденций.

1 Из-за аналогичности издержек на «вылов» возобновимых ресурсов и издержек по добыче невозобновимых ресурсов мы и дальше будем обозначать их через с.

2 Легко применяемую методику решения задач экономики природных ресурсов на базе теории оптимального управления можно найти у W. Strdbele (1987. S. 173-181), а также у Е. Fees (1998. S. 336-346).

Как и в случае (математически более простом) с невозобновимыми ресурсами, формальный вывод решения этой задачи оптимизации выходит далеко за рамки данной книги (см. также: Radke V., 1999а, Кар. 4).2

Поэтому в дальнейшем ограничимся лишь наглядным объяснением качеств этого решения. При этом сначала вновь предположим наличие постоянных предельных издержек «вылова», не зависящих ни от объема улова, ни от состояния ресурса, ни от момента времени вылова.

3.2.2. Свойства оптимума

Целью следующего этапа является вывод условий оптимальности для более длительной траектории потребления ресурса. Чтобы представить задачу по возможности проще, рассмотрим сначала произвольно выбранный дискретный отрезок времени, охватывающий три периода (от 0 до 2).1 Затем перенесем этот результат на весь исследуемый промежуток времени.

Чтобы на этой основе сделать выводы, предположим также, что за рамками данного временного отрезка (т. е. до начала периода 0 и к началу периода 2) для всех других отрезков времени оптимальный профиль добычи ресурса уже (каким-то образом) определен.

Из этого предположения, таким образом, вытекает необходимость рассмотрения следующих параметров: функции роста g(Xt), (оптимального) начального запаса ресурса Х^, а также (оптимального) запаса к началу периода 2 — Х2, которое выходит за пределы нашего задания.

Тогда из зависимостей формулы (3.1) между начальным запасом ресурса, его конечным состоянием и уровнем потребления и прироста можно вывести следующие выражения (при этом постоянные величины выделены подчеркиванием снизу):

X^X^ + giX^-y,, (3.5) X2 = Xx+g(Xx)-yv (3.6)

Если подставить выражение (3.5) в (3.6), то получим:

Х^Хо + gOo) -у0+ g(Xo + gOo) У0) У v (3.7)

1 Автор переходит от непрерывной модели к дискретной, и поэтому все переменные и прочие зависимости уже не являются предельными величинами! Поэтому здесь уместно указать время в числе переменных в виде индексов, т. е. следует писать, например, yt вместо y(t). Готовность платить и издержки уже не являются предельными по времени величинами. Если их обозначать как wpt(yt) и Ct(yt), то автор исследует в дальнейшем модель типа: (wp0{y0) -С0(у0)) + (wpx(yx) С,(#,)) —> max при ограничениях (3.5) и (3.6). Предельные величины объема потребления, возникающие при анализе, могут быть обоЭдар, (у)

значены, как и в п. 2.2.2, с помощью производных, т. е. как MWPt(y) =

дС (у) *ty и CEMt (у) = —-—. — Прим. науч. ред.

При этом запас ресурса к началу периода 2 (достигаемый в любом случае) выводится из начального запаса в периоде 0, увеличенного на прирост и уменьшенного на потребление ресурса в периодах 0 и 1. Таким образом, проблема оптимизации сводится к определению оптимального уровня потребления ресурса в периодах 0 и 1. Путем перестановки в полученном выше выражении (3.7) получаем следующую «внутреннюю взаимосвязь» между объемом потребления ресурса в периодах 0 и 1:

У, = Жо - + ё(К0) + g(*o + g(X0) yQ) yQ. (3.8)

Если вспомним, что выражение (X + g(X ) у ) как раз показывает

начальный запас ресурса в периоде 1, то (3.8) можно записать как:

yi-X0-X2 + g(Xo) + g(X,) yQ. (3.9)

Выясним, какое влияние оказывает предельное увеличение потребления в периоде 0 на возможности потребления в периоде 1. Первая производная г/, по г/0 дает выражение:

dyy/dyr--dg/dXx> (3.10)

Это означает, что потребление ресурса в периоде 0 влияет на возможности его потребления в периоде 1 следующими двумя способами:

1 Для первой производной 0Tg(X,) выполняется

dg(Xl) = dg(Xi) dXt Jg(XQ dX{ dyQ dy0 dXx dXx dy0

dXx dyQl-° K-° Уо1 dXy

Прежде всего здесь наблюдается уже известный из рассмотрения невозобновимых ресурсов первичный эффект, но которому единица ресурса может быть потреблена только один раз. Иными словами, улов одной рыбы в периоде 0 сокращает начальный запас в периоде 1 на одну рыбину и тем самым исключает возможность поимки этой рыбы в периоде 1. Соответственно этому первая производная запаса ресурса периода 1, Ху взятая по объему улова в периоде 0, yQ, будет равняться -1.

Кроме того, величина у0 влияет на возможность улова в периоде 1 также и опосредованно, через определяемую уровнем Х{ возможность воспроизводства ресурса g(Xx) в периоде 1. Выражение dg/dX{ в формуле (3.10) как раз показывает предельный вклад последней потребленной в периоде 0 единицы ресурса в возможность регенерации ресурса в периоде 1, т. е. «маржинальный эффект восстановления». По отношению к «пруду с рыбой» отношение dg/dX{ показывает, какое влияние оказал улов последней рыбины периода 0 на восстановление (регенерацию) рыбного запаса в периоде 1 (рис. 3.3).

Внимательно посмотрев на рис. 3.3, можно заметить, что этот предельный эффект восстановления не обязательно должен быть положительным. В зависимости от того, принимает ли величина Х{ значения, большие или меньшие, чем XMSY, сокращение величины Xv связанное с повышением у0, будет усиливать или ослаблять возможности прироста ресурса в периоде 1.

Для урожая периода 0 можно провести анализ затрат-результатов (cost-benefit analysis — англ.).

Повышение улова на dyQ приводит в периоде 0 к повышению нетто-полезности на (MWP0(yQ ) СЕМ) ■ dyQ} Нетто-полезность (недискон-тированная) периода 1 сокращается на (MWP{(yx) СЕМ) ■ (1 + + dg/dXx) ■ dyQ.2 Если учитывать дисконтирование, то предельные альтернативные издержки периода 1 от повышения улова в периоде О можно представить как (MWP^z/,) СЕМ) ■ (1 + dg/dX{)/( + г). Подобное увеличение потребления ресурса в периоде 0 будет повышать (снижать) общую нетто-полезность для общества в том случае, когда дисконтированное сокращение полезности в периоде 1 будет меньше (больше), чем повышение полезности в периоде 0. В точке максимума общей полезности (точке оптимума), в которой предельная полезность и предельные издержки потребления (добычи) ресурса уравновешены, должно выполняться следующее условие:3

(MWP0(y0) СЕМ) = (MWPx(y{) СЕМ) • (1 + dg/dXx)/( + г). (3.11)

Эта взаимосвязь, верная в состоянии оптимума для всех «соседних» интервалов, несмотря на свою простоту, позволяет сделать несколько интересных выводов относительно экономически оптимальной политики «урожая-улова».

1 Напомним, что МЩ(у)= ' и CEMt(y) = —1^1. Как и ранее, авду ду

тор исходит из постоянства предельных издержек. — Прим. науч. ред.

2 Это верно ввиду dyx = (-1 dg/dXt) ■ dy0. — Прим. науч. ред.

3 Если, как и для невозобновимых ресурсов, отношение dg/dXt всегда равно нулю, получается уже известное из п. 2.2. выражение.

Прежде всего отметим, что здесь в отличие от случая с невозобно-вимыми ресурсами предельные издержки использования (MWPC СЕМ) не возрастают от периода к периоду в соответствии с социальной ставкой дисконтирования. Арифметически (формально) это выводится из выражения (1 + dg/dXx), т. е. «предельного эффекта регенерации». Тогда и экономически (содержательно) понятно такое отклонение от решения, полученного нами в п. 2.2. Ведь теперь при переносе потребления единицы ресурса с некоторого периода 0 на период 1 потеря предельной полезности будет компенсироваться не только (не-дисконтированным) приростом передельной полезности в периоде 1. Этот «перенос» потребления позволяет достичь в периоде 1 (при известных обстоятельствах) увеличение потребления благодаря предельному эффекту регенерации.

Во-вторых, мы можем ответить на вопрос, когда из экономических соображений возможно увеличение годовых объемов потребления, что было невозможно при рассмотрении невозобновимых "ресурсов. С этой целью вспомним, что повышение потребления за некоторый период влечет за собой падение (недисконтированной) предельной полезности этого периода. Подобное решение в соответствии с приведенным выше выражением допустимо только тогда, когда при позитивной ставке дисконтирования выражение (1 + dg/dXx)/(i + г) больше единицы или же отношение dg/dXx больше ставки дисконтирования г.1 Это произойдет, если запас ресурса в периоде 1 относительно мал. В этой ситуации, как это видно из рис. 3.36, dg/dX{ принимает большие значения; перенос потребления единицы ресурса из периода 0 на период 1 будет щедро вознагражден самой природой.2

Рассмотрим теперь ситуацию, когда экономический оптимум и биологическое равновесие длительное время совпадают. При этом вспомним, что признаком биологического равновесного состояния являются («всегда») неизменные объемы потребления ресурса за период. При этом для биологического равновесия при постоянных предельных издержках добычи (улова, снятия урожая) постоянными должны оставаться также и недисконтированные предельные издержки использования!3 Такое постоянство в соответствии с приведенным выше выражением только тогда будет экономически оптимальным, когда соблюдено условие (1 + dg/dXx) = (1 + г), т. е. если в период 1 достигается такой объем запаса ресурса X*, при котором маржинальный вклад в процесс регенерации ресурса dg/dX" будет равняться социальной ставке дисконтирования. Если социальная ставка дисконтирования больше нуля, то из рис. 3.36 можно сделать вывод о том, что значение X* должно быть меньше, чем XMSY.

Формально эти рассуждения можно представить следующим образом.

1 В этом случае (МЦ/Р0(#0) СЕМ) > (MWP{(yx) СЕМ), а при определенных обстоятельствах и уй < уґ — Прим. науч. ред.

2 Для очень значительного запаса ресурса в периоде 1 будет верно противоположное. Для объема ресурса, превышающего границу ХМ5У, природа «вознаградит» более раннее потребление ресурса, так как, согласно рис. 3.36, именно политика «снятия урожая» будет повышать способность природы к восстановлению.

3 Автор исходит здесь не явным образом и из равенства MWP0(y) MWPfy). — Прим. науч. ред.

Чтобы экологическое равновесие было бы одновременно и экономическим, должно выполняться условие, при котором:

MWP0(y0) СЕМ= MWPx(yx) СЕМ. В состоянии экономического равновесия выполняется

(3.12)

MWP, (у,) CEM]i + dg/dX, ]

MWP0 ( у0 ) СЕМ = — ^ — Ь1

1 + г

(3.13)

Подставив второе равенство (3.13) в первое (3.12), получим

_ [MWPX (г/,) СШ][1 + dm/ dXx ]

_ _

(3.14)

и тем самым:

r = dg/dXx.

(3.15)

Элегантность решения при возможном совпадении экономического оптимума с биологическим равновесием, конечно, еще не дает права предполагать, что это решение изначально доминирует.

Рассмотрим, по каким причинам экономически оптимальное Хх может быть меньше биоэкономического равновесного уровня X*. В этом случае, согласно рис. 3.36, оптимальный маржинальный вклад в регенерацию ресурса dg/dXx будет больше, чем dg/dX*. Из условия оптимальности (3.13) следует, что предельная нетто-полезность в периоде 1 по отношению к периоду 0 должна была быть снижена.1 А это, как неоднократно уже подчеркивалось, равносильно повышению объема потребления ресурса в период 1 по сравнению с периодом 0.

Эти рассуждения можно пояснить с помощью рис. 3.4, где четыре выделенные жирным точки обозначают альтернативные варианты улова ресурса (вертикальная координата) и его запаса (горизонтальная координата) в периоде 1. Стрелки показывают, должен ли быть уровень потребления (улова) ресурса в периоде 1 по сравнению с периодом 0 повышен (стрелка вверх) или понижен (стрелка вниз) из соображений экономического благосостояния. На линии АА экономика благостостояния рекомендует сохранение постоянных объемов добычи ресурса.

1 Так как dg/dX, больше чем dg/dX" (а значит больше г), то значение выражения (1 + dg/dXt)/(i + г) будет больше единицы.

Однако постоянство объемов потребления ресурса — это лишь одно из условий биологического равновесия. Объемы улова должны также равняться уровню естественного прироста периода, чтобы обеспечить сохранение запаса ресурса и тем самым открыть возможность дли

тельного потребления некоторого постоянного количества ресурса. На графике такая тактика улова выглядит следующим образом: уровень добычи ресурса всегда находится непосредственно на кривой его прироста (см. п. 3.1.2). Если точка «улов—запас» лежит ниже кривой прироста ресурса, то в следующем периоде запас ресурса увеличится, а если выше, то мы будем вынуждены перейти к сокращению запаса ресурса в следующем периоде.

Выясним, возможно ли экономически оптимальное решение, которое удовлетворяет обоим условиям биологически равновесного состояния. Именно такое решение иллюстрируется на рис. 3.5 (так называемой фазовой диаграмме) (см. также: Radke V., 1999с, Кар. 4; Strobele W., 1987. S. 177 и далее) как точка пересечения (X*; у*) кривой биологического равновесия и прямой АА.

Эта точка представляет собой неограниченно соблюдаемое биоэкономическое равновесное состояние, так как здесь оптимальность постоянных объемов добычи совпадает с биологически неизменными условиями, т. е. постоянным уровнем прироста и запасом ресурса. На рис. 3.5 горизонтальные стрелки (направленные от точек, отобража-

ющих различные комбинации «улов—запас» в периоде 1) показывают, в каком направлении будет изменяться запас ресурса в последующем периоде из биологически неоптимального исходного состояния.

Для расположенной на «юго-западе» от (X*; у*) точки пунктирная стрелка «качественно»1 показывает, как можно достичь оптимального биоэкономического состояния через постепенное повышение улова и запаса ресурса. Для расположенной на «северо-востоке» от (X*; у*) «стартовой позиции» пунктирная стрелка обозначает соответствующие сокращения улова и запаса ресурса, приводящие к целевой позиции.

1 Здесь можно нарисовать множество стрелок, связующих «старт» и «цель». Рассмотрение системы дифференциальных уравнений, не вписывающееся, однако, в рамки этой книги, в принципе, позволяет наглядно показать на фазовой диаграмме оптимальные во времени позиции уровня добычи и запаса ресурса.

Очевидно, что если «экономически оптимальная» траектория достигает биологически равновесного состояния в некоторый момент времени t, то для всех последующих периодов следует окончательное закрепление экономически оптимальной траектории в.данном биологически равновесном состоянии. Это объясняется тем, что условие оптимальности для ситуации, когда общество находится в момент времени t в пункте (X*; у*), вновь предполагает для периода t + 1 потребление у* единиц ресурса. Таким образом, в период t + 1 мы снова будем находиться в точке (АҐ; у*) и т. д.

Что касается влияния социальной ставки дисконтирования на равновесный запас ресурса при соблюдении требования равенства ставки дисконтирования и маржинального предельного прироста dg/dX*, то становится ясно, что растущий процент дисконтирования сдвигает состояние равновесия влево, так как в этом случае значение производной функции прироста выше. Интуитивно этот результат представляется убедительным даже при исходных высоких запасах ресурса. Ведь высокая ставка дисконтирования является следствием высоких уровней потребления ресурса в настоящем. Если разделять это мнение, то совершенно логичным представляется сокращение запасов ресурса через начальный «перелов», что отразится на возможностях потребления будущих периодов.

Еще раз подчеркнем, что при неотрицательной ставке дисконтирования экономически оправданное биологическое равновесие может иметь место только для запаса ресурса, меньшего, чемХшг.1 Для большего количества ресурса выражение dg/dXx было бы отрицательным. (Повышение запаса ресурса здесь будет сдерживать его прирост.) Из этого следует, что биологически максимизирующее решение этой проблемы, а именно «вечный» постоянный уровень потребления ресурса yMSY ПрИ поддержании соответствующего запаса ресурса на уровне ХШ¥, будет экономически оправдано только тогда, когда социальная ставка дисконтирования равна нулю. Здесь маржинальный эффект регенерации для запаса ресурса ХШ¥, т. е. dg/dXMsr, как раз равен нулю.

1 Это, правда, может измениться, если не только улов у, но и сам запас ресурса Xувеличивают благосостояние (т. е. обладают «ценностью существования») (см. также: Radke V., 1995с). Аналогичным образом и издержки добычи, зависящие от объема ресурса, могут изменить этот результат (см. п. 3.4.).

Этот результат не следует понимать так, что при положительной социальной ставке дисконтирования (и постоянных предельных издержках добычи) потребление постоянного объема ymv ресурса было бы экономически менее привлекательным, чем постоянный, биологически равновесный уровень потребления меньшего объема ресурса у *.

Напротив, для общества, которое «настроено» на равновесное решение (г/*; X'), необходимо временно ограничить потребление, чтобы восстановить запас ресурса с X* до XMSY. Но подобная «инвестиция», связанная с приостановкой потребления в настоящий момент, при положительной ставке дисконтирования является малопривлекательной для общества.

Хотя проблема биоэкономического равновесия регулярно (и по праву) попадает в центр внимания экономической литературы, тем не менее вышеописанная возможность совпадения экономически оптимального плана потребления ресурса с биологически равновесным решением вовсе не определяет необходимость именно такого развития. Так, истребление ресурса при достаточно высоких ставках дисконтирования здесь так же возможно, как и бесконечная последовательность неравновесных состояний (см. также: HattwickJ. М., OlewilerN. D., 1998, p. 226 и далее, p. 360 и далее).

3.3. Равновесная траектория потребления ресурса: простая базисная модель

Как и в случае с невозобновимыми ресурсами, при рассмотрении возобновимых ресурсов возникает вопрос, приводит ли механизм рыночной экономики к социально оптимальному распределению этих ресурсов во времени, иными словами, совпадает ли равновесное решение с оптимальным. Относительно терминологии заметим, что здесь имеется в виду равновесное решение именно рыночной экономики, а не биологически равновесное решение.

Этот вопрос для простой базисной модели имеет положительный ответ, если, как и в части книги, посвященной невозобновимым ресурсам, сначала предположить наличие системы совершенных рынков будущего, интернализацию всех издержек, а также равенство частной и социальной ставки дисконтирования. При этих предпосылках каждый поставщик ресурса будет так продавать свой «урожай» на различных будущих рынках, что при учете маржинального эффекта регенерации у него не будет возможности увеличить свою дисконтированную общую прибыль. Так как в состоянии равновесия цена на ресурс на каждом из будущих рынков соответствует предельной готовности платить (равной брутто-полезности от добычи ресурса), то равновесное решение рынка будет в идеале соответствовать экономически оптимальному решению.

Как уже отмечалось, экономически равновесное решение не обязательно должно совпадать с биологически равновесным. Но подобный результат нельзя, однако, интерпретировать как провал рынка, так как и экономически оптимальная линия (траектория) потребления ресурса может отклоняться от биологически оптимальных решений (см. выше). Так, не только всегда находящийся в движении рынок возобновимых ресурсов1 может быть экономически равновесным в том смысле, что он не допускает никакого другого решения, но и биологически неравновесная траектория использования ресурса может при известных обстоятельствах стать также социально оптимальной.