12.5. элементы теории ценообразования облигаций

12.5. элементы теории ценообразования облигаций

Облигация — эмиссионная ценная бумага, закрепляющая за ее держателем право на гарантированный доход, размер и порядок выплаты которого определяется при выпуске, а также на получение ее номинальной стоимости по истечении срока займа.

Остановимся на рассмотрении случая государственной купонной облигации, когда эмитентом выступает государственный орган. Будем считать, что государственная облигация обращается без риска дефолта, т.е. купоны выплачиваются своевременно, и у инвестора нет сомнений в погашении облигации по номиналу. Одним из основных вопросов является вопрос о справедливой цене облигации и определение доходности этого финансового инструмента.

Введем следующие обозначения:

С — абсолютная величина годового купона;

п — срок до погашения облигации;

F — номинал облигации;

jm — доходность к погашению, купон начисляется т раз в год; Р — справедливая цена облигации.

Сделаем упрощающее предположение — облигация покупается в начале купонного периода. Основным принципом определения справедливой цены облигации является приведение к настоящему моменту времени денежного потока, причитающегося владельцу ценной бумаги. Выплата каждого купона в будущем и погашение по номиналу вносит некоторый вклад в современную стоимость облигации. Дисконтирование будем проводить по процентной ставке jm:

С:т

■ + ... + (12.7)

1 + т

С:т т

т

Применяя формулу геометрической прогрессии, найдем справедливую цену:

Jm

1+J

р=£+1^

(12.8)

т

Необходимо отметить, что, как правило, купон выплачивается либо один раз в год {т = 1), либо по полугодиям (т = 2). Специфика отечественного рынка инструментов с фиксированной доходностью состоит в весьма небольших сроках обращения облигаций. Обычно облигации выпускаются на срок от одного до трех лет. Поэтому при расчетах можно использовать формулу (12.7).

(12.9)

Если рыночная цена в уравнениях (12.7) или (12.8) известна, то можно поставить задачу на нахождение доходности к погашению (jm) — итоговой доходности инвестора. Этот вид доходности учитывает как купонные выплаты, так и доход инвестора при покупке облигации с дисконтом. Напротив, показатель текущей доходности (Т) учитывает лишь купонную выплату и рассчитывается по формуле

Г = -х100\%. р

Решим ряд типовых примеров.

Р = Пример 12.34. Государственная облигация погашается через два года по номиналу (1000 руб.). По облигации выплачивается купой из расчета 8\% годовых один раз в год. Доходность по альтернативному вложению, на которую ориентируются инвесторы, составляет 10\% годовых. Определить справедливую цену облигации. Воспользуемся формулой (12.7)

80 80 + 1000

• = 72,73+892,56 = 965,29 руб.

(1+0,1) (1+0,1)2

Как правило, при работе с облигациями указывают рыночную цену на 100 единиц номинала. В нашем примере это 96,53 — облигация торгуется с дисконтом, и это логично, так как доходность, закладываемая инвестором, 10\% годовых, а купон обеспечивает лишь 8\%.

Пример 12.35. Рассчитайте текущую доходность государственной облигации, которая торгуется из расчета 92\% от номинала и ставка купона составляет 8\% годовых.

В соответствии с формулой (12.9):

Т=—х100\% = 8,7\%. 92

Текущая (купонная) доходность облигации составляет 8,7\%.

В заключение сформулируем правила рынка облигаций, которые заинтересованный читатель сможет проверить посредством формулы (12.8):

Если доходность к погашению совпадает со ставкой по купону, то справедливая цена облигации совпадает с номиналом.

Если доходность к погашению выше ставки по купону, то справедливая цена облигации ниже номинала (облигация торгуется с дисконтом).

Если доходность к погашению ниже ставки по купону, то справедливая цена облигации выше номинала (облигация торгуется с премией).

Изменение справедливой цены облигации относительно номинала асимметрично при симметричном изменении доходности к погашению относительно ставки по купону.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вкладчик размещает на счете 2000 руб. на три года. Банк начисляет простой процент. Процентная ставка за первый год равна 8\%, второй — 9\%, третий — 10\%. Определите, какая сумма будет получена по счету через три года?

В расчете на 80 дней доходность финансовой операции инвестора составила 10\%. Определите эффективный процент. База — 365 дней.

Вкладчик размещает в банке 1000 руб. под 10\% годовых. Процент начисляется непрерывно. Какую сумму денег он получит на счете через пять лет?

Определите величину непрерывно начисляемого процента, эквивалентного 10\%, если капитализация процентов осуществляется два раза в год.

Инвестор открывает в банке депозит на два года под 10\% годовых и хотел бы в конце периода получить по депозиту 10 тыс. руб. Банк начисляет проценты ежеквартально. Какую сумму ему следует разместить сегодня на счете?

В начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 1 млн руб. и хотел бы получить по счету 1 092 025 руб. Банк начисляет 9\% годовых, капитализация процентов осуществляется через каждые полгода. На какой период времени следует открыть депозит?

Предприятие выпустило облигации с погашением через восемь лет на сумму 5 млрд руб. Для погашения облигаций будет создан выкупной фонд. В выкупной фонд планируется ежегодно отчислять равные суммы средств, которые будут инвестироваться до момента погашения облигаций под 10\% годовых. Определите размер ежегодных отчислений для формирования выкупного фонда.

Заемщик берет кредит на десять лет в размере 5 млн руб. под 15\% годовых с условием погашения его равными суммами в конце каждого года. Проценты начисляются в конце каждого года на оставшуюся часть долга. Определите величину ежегодной выплаты по кредиту.

.9. Заемщик берет кредит на два года в размере 1 млн руб. под 12\% годовых с условием погашения его равными суммами ежеквартально. Проценты начисляются в конце каждого года на оставшуюся часть долга. Определите величину ежеквартального платежа по кредиту.

Номинал облигации — 1000 руб., купон — 10\%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации — три года. Определите цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12\%.

Номинал облигации — 1000 руб., купон — 10\%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации — шесть лет. Определите цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8,4\% годовых.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через четыре года и 120 дней. Облигация стоит 640 руб. Определите доходность до погашения облигации. База — 365 дней.

Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон — 10\%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации — пять лет. Инвестор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под 12\% годовых. Определите общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.

Инвестор купил купонную облигацию с доходностью до погашения 8\%. Номинал облигации — 1000 руб., купон — 8,5\%, выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации выросла до 8,2\%. Определите, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 8\%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 8,2\%. До погашения облигации — пять лет.

По акции компании А был выплачен дивиденд 10 руб. на акцию. Инвестор полагает, что в течение последующих лет темп прироста дивиденда составит 6\% в год. Доходность, равная риску покупки акции, составляет 25\%. Определите цену акции.

В настоящее время компания А не выплачивает дивиденды. Вкладчик прогнозирует, что она начнет выплачивать дивиденды через пять лет. Первый дивиденд будет выплачен на акцию в размере 4 руб., в последующем он будет возрастать с темпом прироста 8\% в год. Ставка дисконтирования, соответствующая риску инвестирования в акцию, равна 35\%. Определите курсовую стоимость акции.

Фондовый индекс состоит из акций трех компаний: А, В и С. Индекс рассчитывается как простое среднее арифметическое. Цены акций равны: А — 20 руб., В — 35 руб., С — 50 руб. На следующий день происходит дробление акции С в пропорции 1 : 2. Определите новое значение делителя индекса.

В начале года на банковский счет была помещена сумма в 2500 руб., затем в течение девяти лет в конце каждого месяца на счет помещались одинаковые взносы в размере 300 руб. Банк помещает вклады под 14\% годовых (номинальная ставка при ежемесячном начислении процентов). Какая сумма в рублях накопится на счете в конце срока?

Доходности акций А и В могут принимать только два значения, как показано в таблице:

Определить коэффициент корреляции доходностей акций.

Как называется процесс, направленный на снижение риска по основному инструменту путем открытия противоположной позиции по тому же инструменту?

Как называется риск, который не устраняется снижением риска по портфелю путем распределения средств портфеля по широкой группе ценных бумаг (диверсификации)?

Какой риск невозможно устранить путем диверсификации портфеля инвестиций?

От чего страхуются покупатель и продавец, заключая форвардный контракт?

Для чего используется короткий хедж на рынке фьючерсных контрактов?

Пусть X — случайная величина, М — математическое ожидание, М(Х)= = 0,5. Найдите М(Х + 2).

Пусть X и Y — случайные величины, М — математическое ожидание, М(Х)=0,5; M(Y) = 1,25. Найдите М(Х 2Y).

Пусть X — случайная величина, М— математическое ожидание, D — дисперсия случайной величины, М{Х)= 2, D(X) = 1. Найдите М(Х? 1).

Пусть Xи Y — случайные величины, D — дисперсия случайной величины, D(X)= 0,5, D(Y)= 1,5. Найдите D(X + Y).

Симметричная монета независимо бросается два раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет «орел»?

Эксперимент состоит в том, что мы бросаем игральную кость. Определите вероятность того, что выпало больше двух очков при условии, что число выпавших очков четное. Независимо бросаются три симметричные монеты. Какова вероятность того, что среди них найдутся монеты, упавшие «орлом», и монеты, упавшие «решкой»?

Ценные бумаги А, Б, В имеют следующие коэффициенты корреляции: коэффициент корреляции А и Б = -0,2;

коэффициент корреляции А и В = -0,8; коэффициент корреляции Б и В =

В случае падения цены А, что произойдет с ценами Б и В?

Доходность акции А распределена нормально. Среднее значение доходности равно 30\% годовых, стандартное отклонение доходности в расчете на год равно 15\%. Определите, с какой вероятностью через год доходность акции составит 40\%.

Если Р(А) — вероятность случайного события А, а Р(В) — вероятность случайного события В, то какое условие будет достаточным для того, чтобы соблюдалось следующее равенство: Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Имеется десять разных акций. Инвестор хотел бы построить портфель из трех акций, включив каждую из них по одной штуке. Сколько вариантов портфелей может сформировать инвестор? Через год цена акции может иметь следующее распределение: цена акции — 30 руб.; 40 руб.; 50 руб. Вероятность — 30\%; 60\%; 10\%. Определите математическое ожидание цены акции через год.

По окончании третьего года на счете инвестора находится сумма 21 074 руб. Начисление происходило по схеме сложного процента по ставке 12\% в конце каждого года. Рассчитайте первоначальную сумму вклада.

По окончании второго года на счете клиента банка находится сумма 13 685,7 руб. Начисление процентов в банке происходило по схеме сложного процента в конце каждого квартала по ставке 16\% годовых. Рассчитайте первоначальную сумму вклада.

Вкладчик положил в банк 20 000 руб. Банк выплачивает годовых. Проценты сложные. Какая сумма будет на счете у вкладчика через три года?

Банк выплачивает 12\% годовых. Проценты сложные. Какую минимальную сумму требуется разместить вкладчику в банке, чтобы через два года у него было не менее 10 000 руб.?

Банк выплатил за первый год проценты по ставке Сбербанка, а за второй год — на 10\% ниже, чем в Сбербанке. Проценты сложные. Какую минимальную сумму требуется разместить вкладчику в банке, чтобы через два года его вклад был не менее 12 000 руб., если ставка Сбербанка все два года была равна 12\% годовых?

Банк выплачивает сложные проценты. Вкладчик разместил в банке 15 000 руб. Сколько лет потребуется вкладчику для того, чтобы его вклад достиг 21 600 руб., если банк выплачивает 20\% годовых?

Банк А выплачивает сложные проценты раз в полгода. Банк Б выплачивает 12\% годовых по простой процентной ставке. Вкладчик разместил по 10 000 руб. в банках А и Б сроком на два года. Какую полугодовую процентную ставку должен начислять банк А, чтобы у вкладчика по итогам двух лет суммы в банках были одинаковы?

По вкладу в банке ежеквартально начисляется 3\% от суммы вклада. Найдите годовую ставку процента с учетом ежеквартального реинвестирования дохода.

Банк выплатил за первый год проценты по ставке Сбербанка, а за второй год — на 20\% выше, чем в Сбербанке. Проценты сложные. Какую минимальную сумму требуется разместить вкладчику в банке, чтобы через два года его вклад был не менее 000 руб., если ставка Сбербанка все два года была равна 12\% годовых?

Облигация номинальной стоимостью 1 тыс. руб. приобретена в январе 2005 г. с дисконтом 10\%. Ставка выплачиваемого ежегодно купонного дохода по облигации равна 20\%. Рассчитайте ориентировочную курсовую стоимость облигации в январе 2008 г., если в момент приобретения облигации до ее погашения оставалось пять лет.

Облигация номинальной стоимостью 1 тыс. руб. приобретена в январе 2005 г. с дисконтом 10\%. Ставка выплачиваемого ежегодно купонного дохода по облигации равна 20\%. Рассчитайте ориентировочную курсовую стоимость облигации в январе 2008 г., если в момент приобретения облигации до ее погашения оставалось пять лет. Доходность по альтернативному вложению в январе 2008 г. принять равной 10\% годовых.

Рассчитайте рыночную стоимость облигации номиналом 10 тыс. руб. со ставкой выплачиваемого ежегодно купонного дохода 12\% и сроком погашения три года, если ставка процента по вкладу в банке составляет 13\% годовых.

Бескупонная облигация А со сроком обращения пять лет и бескупонная облигация Б со сроком обращения десять лет имеют равную номинальную стоимость. Когда до погашения облигации А осталось два а до погашения облигации Б осталось три года, рыночная стоимость облигации А в 2 раза превысила рыночную стоимость облигации Б. Рассчитайте величину альтернативной годовой доходности.

Доходность актива за восемь лет представлена в таблице:

Определите риск актива, представленный показателями выборочной дисперсии и стандартного отклонения доходности.