6.8 анализ и синтез систем управления с помощью математических теорий

6.8 анализ и синтез систем управления с помощью математических теорий

¨ теория принятия решений

¨ теория массового обслуживания

¨ теория эффективности теория игр

Теория принятия решений

Принятие решений является одним из основных этапов процесса управления в организационных (общественных) системах и представляет собой выбор одной из альтернативных стратегий или способов действий, направленных на достижение цели. Теория принятия решений используется при необходимости сделать выбор варианта действий в условиях риска и(или) наличия неопределенности. Такие условия возникают, если исходная информация выражается через вероятностные характеристики (в таком случае говорят о принятии решения в условиях риска) либо исходные данные заданы неопределенно, например, интервалами изменения или вообще только названием.

Синтез задачи принятия решения заключается в выборе допустимого управления и Ì U из множества возможных U, обеспечивающего достижение цели в соответствии с заданным критерием эффективности q Ì G.

Субъективность в математической теории принятия решений заключается в выборе критерия вычислительной процедуры, поэтому лицу, опирающемуся в своих действиях на полученный результат, необходимо знать, во-первых, степень его оптимальности и, во-вторых, его надежность, т.е. величину риска.

Наиболее употребительными являются методы, в которых:

¨ алгоритм расчета зависит от вида информации (вероятностной или неопределенной), критерия выбора решения и количества этапов принятия решений;

¨ задачи синтеза принятия решения делятся на одноэтапные и многоэтапные;

¨ многоэтапные задачи представляются деревом решений (см. [6.38; 6.37; 6.52]).

Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания используется для исследования систем управления, в которых имеется необходимость пребывать в состоянии ожидания. Это является следствием вероятностного характера возникновения потребности в обслуживании и разброса показателей соответствующих обслуживающих систем. В таких случаях исследуемую систему представляют в виде системы массового обслуживания.

Задача заключается в построении математической модели, связывающей заданные условия работы СМО с эффективностью ее работы.

Аналитические математические модели СМО в настоящее время могут быть построены только для определенных условий (см. [6.53; 6.44]).

Главным является требование к потоку заявок, который должен быть простейшим. Входной поток заявок — это последовательность событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Поток событий называется простейшим, если он стационарен (вероятные характеристики не зависят от времени), ординарен (события появляются поодиночке, а не группами), не имеет последствий (для двух участков времени число событий, попадающих на один участок, не зависит от того, сколько попало на другой).

Если интервалы времени t между событиями подчиняются показательному распределению  (где lt — интенсивность потока заявок), то поток называется пуассоновским. При пуассоновском входном потоке заявок процесс, протекающий в СМО, называется марковским, и в нем можно установить аналитические зависимости между условиями операции, элементами решения и показателями эффективности.

Математические модели для различных СМО классифицируют по следующим признакам:

¨ с отказами заявок или очередью;

¨ ограничением очереди заявок или без него;

¨ приоритетом обслуживания некоторых заявок или без приоритета;

¨ многоили однофазным обслуживанием (в первом случае обслуживание складывается из нескольких этапов);

¨ открытой или замкнутой СМО (в открытых СМО характеристики потока не зависят от состояния СМО).

Обычно для марковских случайных процессов в СМО строят граф ее состояний и возможных переходов, а затем для этого графа составляют и решают уравнения Колмогорова.

Теория эффективности

Теория эффективности позволяет оценивать результативность использования системы управления и выбрать лучшую организацию ее применения при конкретных обстоятельствах.

Сущность теории состоит в оценке эффективности достижения системой цели и затраченных на это усилий.

Теория эффективности учитывает три группы показателей эффективности процесса, характеризующих:

¨ степень достижения цели (целевые эффекты);

¨ затраты ресурсов (ресурсоемкость процесса);

¨ затраты времени (оперативность процесса).

В теории эффективности различают задачи анализа и синтеза эффективности процесса. Задачи анализа эффективности процесса следующие:

¨ оценка эффективности процесса по выбранному критерию;

¨ анализ чувствительности показателей к изменению параметров;

¨ исследование направленности и степени влияния параметров на показатели эффективности;

¨ выбор параметров, наиболее существенным образом влияющих на показатели эффективности процесса.

В задаче синтеза формулируется цель процесса в значениях ее показателей и критерия их оценивания, а затем вырабатываются требования к параметрам системы, организации и управления процессом при определенных условиях его проведения.

К задачам синтеза в теории эффективности можно отнести:

¨ определение закона изменения структуры системы управления в зависимости от условий ее применения;

¨ определение закона управления системой через ее параметры;

¨ выбор вида расходуемого ресурса и создание системы обеспечения, хранения и восполнения ресурсов;

¨ выработку требований к параметрам и показателям качества системы в зависимости от условий ее применения.

Задачи анализа эффективности решаются с использованием методов имитационного моделирования на ЭВМ, с последующей статистической обработкой полученных результатов. Если математическая модель позволяет рассчитывать частные производные по их параметрам, то используют методы чувствительности (см. [6.50]). Задачи синтеза, как правило, решаются методами математического программирования (см. [6.23; 6.47]).

Теория игр

Сущность синтеза игровых задач управления

Игровые задачи управления предполагают участие в активном воздействии на объект управления двух сторон или игроков [х]: управляющей системы, которая определяет состояние объекта s = z, обеспечивающее эффективное управление (максимальное значение целевой функции q (z,l), и среды, которая формирует воздействие l, ухудшающее эффективность управления (минимизирующее целевую функцию q (z,l). Подобные ситуации, когда игроки преследуют прямо противоположные интересы, называются конфликтными ситуациями.

При известном пространстве возможных решений управляющей системы, которое определяется множеством допустимых состояний объекта z, и известном пространстве допустимых воздействий среды L, можно определить пространство возможных решений игровой задачи как прямое произведение Z ´ L. Элементы пространства решений Z ´ L представляют собой точки вида (z, l), z Î Z, l Î L, т.е. определяются решениями, принимаемыми как первым, так и вторым игроками. Ситуация будет оптимальной для управляющей системы, если выбрана точка (z*, l*) Ì Z ´ L, обеспечивающая максимальное значение целевой функции по z и минимальное по l. Такая точка называется седловой, и ее поиск осуществляется с использованием критерия

Методы решения игровых задач управления

В случае когда задача предназначена для принятия одного (единственного) решения, она сводится к задаче линейного программирования и результат отыскивается с помощью его методов (см. [6.44]).

Если же речь идет о многократно повторяемой ситуации, то используются численные методы, где игроки разыгрывают несколько партий и цена игры определяется средним выигрышем.

Если цели не совпадают, то математическая модель становится гораздо сложнее и получить четкие рекомендации по оптимальному действию сторон становится значительно труднее (см. [6.9]).

Резюме

1 Для эффективного решения проблем и задач необходим комплексный подход с использованием основных положений анализа и синтеза систем управления.

Выбор метода решения проблемы (задачи) осуществляется в зависимости от вида решения, степени соответствия потребностей и их удовлетворения в объекте управления, вида переменной лимитирующей проблемы (задачи), квалификации специалистов. Если какой-либо метод на определенном этапе творческого процесса исчерпал себя, следует рассмотреть другие методы, а также их комбинации.

2. Области применения математических методов для целей исследования систем управления зависят от особенностей математической модели системы управления и вида исходной информации. Например, задачи синтеза значительно проще решать на детерминированных моделях, так как используемые при этом методы требуют рассмотрения большого числа вариантов построений системы или перебора множества значений ее параметров для поиска лучшего согласно принятому критерию. В то же время в задачах оптимизации все хорошо, когда модель линейна, однокритериальна и детерминирована. Любые отклонения от этих свойств приводят к появлению новых трудностей. Так, если оптимизируемая функция нелинейна, то приходится представлять ее как совокупность линейных функций, или линейно аппроксимировать на каком-либо интервале, либо вводить ряд допущений, т.е. искусственно уходить от нелинейности.

При многокритериальности стремятся выделить главный критерий или проран-жировать критерии, чтобы свести к некоторому обобщенному критерию, а затем переходить к однокритериальной оптимизации.

Использовать математический метод в чистом виде обычно не удается. Поэтому под определенный метод приходится вводить ряд допущений для "подгонки" задач под метод.

Для обоснования законности использования математического метода необходимо по пунктам расписать, при каких условиях он применим. Затем сравнить с ними условия своей задачи на предмет их близости.

Эффективное использование математических методов возможно для задач с высоким уровнем их формализации. Чем интеллектуальнее задача, тем труднее ее формализовать, а значит, и автоматизировать с использованием вычислительных средств.

Вопросы для повторения

Раскройте циклы проявления идеи.

Раскройте правила познания, предлагаемые Р. Декартом.

Охарактеризуйте этапы активизации технологии творчества.

Опишите ассоциативные методы поиска новых решений и их суть.

Изложите основные правила "мозгового штурма".

В чем состоят идея синектики и ее содержание?

Каковы основные этапы решения проблемы синектическим методом?

Определите понятие физического противоречия и его место в концепции параметрического метода.

Назовите эвристические приемы устранения физического противоречия.

Каковы правила выбора приемов устранения физического противоречия?

В чем суть и этапы морфологического метода решения проблемы?

Какие методы способствуют возникновению ассоциаций, активизируют поиск идеи решения?

В чем состоят сущность и содержание метода логического поиска?

Объясните метод "букета проблем" и его особенности.

Раскройте алгоритм поиска новых технических решений.

Когда можно использовать методы статистического анализа при

исследовании систем управления?

В каких случаях можно использовать детерминированные методы при

исследовании систем управления?

Раскройте сущность и область применения методов безусловной

оптимизации при исследовании систем управления.

В каких случаях можно использовать методы математического

программирования в задачах синтеза систем управления?

Когда применяются методы теории массового обслуживания? Приведите примеры применения методов теории массового обслуживания в задачах

исследования систем управления.

21. Укажите, в каких случаях для определения лучшего варианта надо использовать:

а) методы математического программирования;

б) теорию принятия решений;

в) теорию игр;

г) теорию эффективности.

Литература

Абчук В.А., Бункин В.А. Интенсификация: принятие решений. Л.: Лениздат 1987.

Автоматизация поискового конструирования / Под ред. А.И. Половинкина. М.: Информэлектро, 1991.

Адрианов Ю.М., Субетто А. И. Квалиметрия в приборостроении и машиностроении. Л.: Машиностроение, 1990.

Александров Е.А. Основы теории эвристических решений. М.: Советское радио, 1975.

Армстронг М. Основы менеджмента. Как стать лучшим руководителем. Ростов-на-Дону: Феникс, 1998.

Белозерцев В.И. Техническое творчество. Ульяновск, 1975.

Буш Г.Я. Рождение изобретательских идей. Рига: Лиесма, 1978.

Вентцель Е.С. Интегральная регрессия и корреляция. Статистическое моделирование рядов динамики. М.: Финансы и статистика, 1982.

Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: Наука, 1988.

Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Физмат-ШЗ, 1958.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. М.: Наука, 1988.

Гилл Ф. и др. Практическая оптимизация: Пер. с англ. М.: Мир, 1985.

Глазунов В.Н. Параметрический метод разрешения противоречий в технике. М.: Речной транспорт, 1990.

Глазунов В.Н. Поиск принципов действия технических систем. М.: Речной транспорт, 1990.

Голдовских Б.И., Вайнерман М.И. Рациональное творчество. М.: Речной транспорт, 1990.

Гренандер У., Фрейберг В. Краткий курс вычислительной вероятности и статистики: Пер. с англ. М.: Наука, 1978.

Джонс К. Дж. Методы проектирования: Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

Димиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Статистика, 1981.

6 19. Евланов Л.Г. Теория и практика принятия решений. М.: Экономика, 1984.

6 20. Ермаков С.М., Жинглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987.

Иберла М. Факторный анализ: Пер с англ. М.: Мир, 1989.

Ивин А.А. Искусство правильно мыслить. М.: Просвещение, 1986.

Ильичев А.В. Эффективность проектируемой техники. М.: Машиностроение, 1991.

Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

Кильдишев В.Г., Френкель А.А. Анализ временных рядов и прогнозирование. М.: Статистика, 1973.

Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1990.

Коваленко И.Н., Филиппов А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1982.

Колемаев В.А. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991.

Короткое Э.М. Исследование систем управления. М.: Дека, 2000.

Косенко С.И. Методы поиска новых технических решений. М.: ВА им. Ф.Э. Дзержинского, 1996.

Костылев А.А. и др. Статистическая обработка результатов экспериментов. Л.: Энергоатомиздат, 1991.

Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

Кудрявцев А.В. Методы интуитивного поиска технических решений. М: Речной транспорт, 1991.

Лифшиц А.Л., Мальц Э.А. Статистическое моделирование систем массового обслуживания. М.: Советское радио. 1978.

Лук А.Н. Интуиция и научное творчество // Философские науки. 1981. Вып. 5.

Лук А.Н. Психология творчества. М.: Наука, 1973.

Лушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений: Пер. с нем. М.: Мир, 1990.

Макаров И.М. и др. Теория выбора и принятия решения. М.: Наука, 1982.

Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. М.: Наука, 1986.

Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

Моисеев Н.Н. и др. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.

Одрин В.И. Методы морфологического анализа технических систем. М.: Наука, 1981.

Основы общей теории систем: Учебное пособие. Ч. 2. СПб.: ВАС, 1992.

Павлов В.М. Методические основы системных исследований военно-космических средств: Учебное пособие. М.: РВСН, 1998.

Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритм и сложность: Пер. с англ. М.: Мир, 1985.

Перегудов Г.Б. Основы теории эффективности целенаправленных процессов. М.: Высшая школа, 1989.

Петухов Г.Б. Основы теории эффективности целенаправленных процессов. М.: МО СССР, 1989.

Половинкин А.И. Основы инженерного творчества. М.: Машиностроение, 1980.

Потапов А.Б. Технология творчества. М.: НТК "Метод", 1992.

Розевассер Е.Н., Юсупов P.M. Чувствительность систем управления. М.: Наука, 1981.

Романовский И.В. Алгоритм решения экстремальных задач. М.: Наука, 1977.

Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1993.

Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1991.

Столяров A.M. Методологические основы изобретательского творчества. М.: ВНИИПИ, 1986.

Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования: Пер. с англ. М.: Мир, 1991.

Татов В.В. Выбор целей в поисковой деятельности. М.: Речной транспорт, 1991.

Таха X. Введение в исследования операций: Пер. с англ. Кн.1, 2. М.: Мир, 1991.

Теслинов А.Г. Развитие систем управления. М.: РВСН, 1997.

Трухаев Р.И. Инфлюентный анализ и принятие решений (детерминированный анализ). М.: Наука, 1984.

Трухаев Р.И. Методы инфлюентного анализа высоких порядков. Л.: Наука, 1988.

Уотерман О. Руководство по экспертным системам: Пер. с англ. М.: Мир, 1989.

Хохлачев Е.Н. Теоретические основы создания и применения АСУ. М.: МО СССР, 1987.

Хохлачев Е.Н. Теоретические основы управления: Учебное пособие. Ч. 2. Анализ и синтез систем управления. М.: РВСН, 1996.

Цвиркун А.Д. и др. Имитационное моделирование в задачах синтеза структуры сложных систем. М.: Наука, 1985.

Чус А.В., Данченко В.А. Основы технического творчества. Киев: Выща школа, 1983.

Чяпеле Ю.М. Методы поиска изобретательских идей. Л.: Машиностроение, 1990.

Шевченко Б. Развитие творческого воображения. Фрунзе: ФПИ, 1987.

Шеффе Г. Дисперсионный анализ: Пер. с англ. М.: Физмат-ШЗ, 1963.

Шилов Г.Е. Математический анализ функций одной переменной. М.: Наука, 1969.

Яковец Ю.В. Закономерности научно-технического прогресса и их планомерное использование. М.: Экономика, 1984.