Глава 11 учет инфляционного обесценения денег

Глава 11 учет инфляционного обесценения денег

Инфляция характеризуется обесценением национальной валюты (то есть снижением ее покупательной способности) и общим повышением цен в стране. Рассмотрим влияние инфляции на финансовые операции.

§ 11.1. УРОВЕНЬ (ТЕМП) ИНФЛЯЦИИ. ИНДЕКС ИНФЛЯЦИИ

Пусть S — это сумма денег, для которой рассматривается покупательная способность при отсутствии инфляции. Sa — это сумма денег, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы S при отсутствии инфляции, то есть один и тот же набор товаров можно купить на суммы S (при отсутствии инфляции) и Sa (с учетом инфляции). Понятно, что Sa > S.

Обозначим AS = Sa S. Тогда величина а = AS/S = = (Sa S)/S называется уровнем (темпом) инфляции. Это индекс прироста. Он показывает, на сколько процентов в среднем выросли цены за рассматриваемый период.

AS = Sa S => Sa = S + AS. Ho a = AS/S => AS = aS. Тогда Sa = S + AS = S + aS = S(l + a). Величину /и = 1 + a называют индексом инфляции. Это индекс роста. Он показывает, во сколько раз в среднем выросли цены за рассматриваемый период.

Пример 52. Каждый месяц цены растут на 1,5\%. Каков ожидаемый уровень инфляции за год?

Распространен неправильный ответ 12X1,5\% = 18\%. Но ведь цены растут на 1,5\% каждый месяц от достигнутого уровня, то есть рост идет по сложной процентной ставке. Тогда годовой индекс инфляции = (1 + 0,015)12 * 1,2, то есть цены за год вырастут в 1,2 раза, или на 20\%.

Задача 52. Каждый месяц цены растут на 2\%. Каков ожидаемый уровень инфляции за год?

Пример 53. Уровень инфляции в марте составил 2\%, в апреле — 1\%, в мае — 3\%.

Тогда индекс инфляции за рассматриваемый период равен (1 + 0,02)(1 + 0,01)(1 + 0,03) * 1,061, то есть уровень инфляции за рассматриваемый период составил 6,1\%.

Задача 53. Уровень инфляции в марте составил 3\%, в апреле — 5 \%, в мае — 3\%. Каков уровень инфляции за рассматриваемый период?

Рассмотрим теперь способы начисления процентов в условиях инфляции. Мы ограничимся только случаями простых и сложных ставок ссудного процента.

§ 11.2. СТАВКА, УЧИТЫВАЮЩАЯ ИНФЛЯЦИЮ, ДЛЯ СЛУЧАЯ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ. ФОРМУЛА ФИШЕРА

Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления, і — годовая простая ставка ссудного процента. Тогда наращенная сумма S = Р(1 + пі). Эта сумма не учитывает инфляцию.

Пусть уровень инфляции за рассматриваемый период п равен a. Sa — это сумма денег, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы S при отсутствии инфляции. Тогда Sa = S(l + а) (см. § 11.1) Р(1 + ni)(l + а).

Но сумму Sa можно получить, поместив первоначальную сумму Р на срок п под простую ставку ссудных процентов ia, учитывающую инфляцию: Sa = Р(1 + nia).

Отсюда Р(1 + ni)(l + а) = Р(1 + nia) => (1 + ni)(l + а) = = 1 + nia => 1 + пі + а + nia = 1 + nia => ia = (пі + a + nia)/n. Именно под такую простую ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму на срок и, чтобы при уровне инфляции а за рассматриваемый период обеспечить реальную доходность в виде годовой простой ставки ссудных процентов І.

Если п = 1 год, то іа = і + а + ia. Это формула Фишера.

Величина а + ia называется инфляционной премией, ni + а + nia = піа => і = (піа (Х)/(п + па). Это формула реальной доходности в виде годовой простой ставки ссудных процентов для случая, когда первоначальная сумма была инвестирована под простую ставку ссудных процентов іа на срок п при уровне инфляции а за рассматриваемый период.

Пример 54. Период начисления п = 3 месяца, ожидаемый ежемесячный уровень инфляции 2\%. Под какую простую ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму, чтобы обеспечить реальную доходность і = 5\% годовых (проценты простые)?

Ожидаемый индекс инфляции за период начисления п = 3 месяца = 0,25 года Іи = (1 + 0,02г s 1,061, то есть уровень инфляции а за рассматриваемый период а = 0,061. Тогда іа = (пі + а + nia)/n = (0,25X0,05 + 0,061 + + 0,25X0,05Х0,061)/0,25 * 0,297 (= 29,7\% годовых).

Задача 54. Период начисления п = 6 месяцев, ожидаемый ежемесячный уровень инфляции 1,5\%. Под какую простую ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму, чтобы обеспечить реальную доходность і = 6\% годовых (проценты простые)?

Пример 55. Первоначальная сумма положена на срок апрель-июнь под простую ставку ссудных процентов ia = = 15\% годовых. Уровень инфляции в апреле составил 1\%, в мае — 1,5\%, в июне — 2\%. Какова реальная доходность в виде годовой простой ставки ссудных процентов?

Индекс инфляции за рассматриваемый период п = 3 месяца 0,25 года Іи = (1 + 0,01)(1 + 0,015)(1 + 0,02) * 1,046, то есть уровень инфляции за рассматриваемый период а = 0,046. Тогда реальная доходность в виде годовой простой ставки ссудных процентов і = (піа а)/(п + па) = = (0,25X0,15 0,046)/(0,25 + 0,25X0,046) « -0,033 (= -3,3\% годовых), то есть операция убыточна.

Задача 55. Первоначальная сумма положена на срок январь-июнь под простую ставку ссудных процентов іа = = 25\% годовых. Уровень инфляции в январе составил 0,5\%, в феврале — 2\%, в марте — 1\%, в апреле — 0,5\%, в мае — 3\%, в июне — 1\%. Какова реальная доходность в виде годовой простой ставки ссудных процентов?

§ 11.3. СТАВКА, УЧИТЫВАЮЩАЯ ИНФЛЯЦИЮ, ДЛЯ СЛУЧАЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления, і —. годовая сложная ставка ссудного процента. Тогда наращенная сумма S = Р(1 + і)п. Эта сумма не учитывает инфляцию.

Пусть уровень инфляции за рассматриваемый период п равен a. Sa — это сумма денег, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способноети суммы S при отсутствии инфляции. Тогда Sa = S(l + а) (см. § 11.1) = Р(1 + i)n(l + а).

Но сумму Sa можно получить, поместив первоначальную сумму Р на срок п под сложную ставку ссудных процентов ia, учитывающую инфляцию: Sa = Р(1 + ia)n.

Отсюда Р(1 + Qn(l + а) = Р(1 + ia)n => (1 + Qn(l + а) = = (1 + іа)п => (1 + і) Ці + а = 1 + іа => іа = (1 + і) ^1 + а 1. Именно под такую сложную ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму на срок л, чтобы при уровне инфляции а за рассматриваемый период обеспечить реальную доходность в виде сложной годовой ставки ссудных процентов І.

(1 + +а = 1 + іа => і = (1 + іа)/Ці + а1. Это формула реальной доходности в виде сложной годовой ставки ссудных процентов для случая, когда первоначальная сумма была инвестирована под сложную ставку ссудных процентов іа на срок п при уровне инфляции а за рассматриваемый период.

Пример 56. Период начисления л = 3 года, ожидаемый ежегодный уровень инфляции 14\%. Под какую сложную ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму, чтобы обеспечить реальную доходность і = 5\% годовых (проценты сложные)?

Ожидаемый индекс инфляции за период начисления п = 3 года /и = (1 + 0,14)3 * 1,48, то есть уровень инфляции а за рассматриваемый период а = 0,48.

Тогда іа = (1 + i)yfl + а 1 = (1 + 0,05) ^1 + 0,48 1 « 0,197 (= 19,7\% годовых).

Задача 56. Период начисления л = 2 года, ожидаемый ежегодный уровень инфляции 12\%. Под какую сложную ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму, чтобы обеспечить реальную доходность і = 6\% годовых (проценты сложные)?

Пример 57. Первоначальная сумма положена на л = 3 года под сложную ставку ссудных процентов іа = 20\% годовых. Уровень инфляции за 1-й год составил 16\%, за 2-й год — 14\%, за 3-й год — 13\%. Какова реальная доходность в виде сложной годовой ставки ссудных процентов?

Индекс инфляции за рассматриваемый период п = 3 года 1И = (1 + 0,16)(1 + 0,14X1 + 0,13) * 1,494, то есть уровень инфляции а за рассматриваемый период а = 0,494. Тогда реальная доходность в виде сложной годовой ставки ссудных процентов і = (1 + io)/^l + а1 (1 + 0,2)/^1 + 0,494 1 * 0,05 (= 5\% годовых).

Задача 58. Первоначальная сумма положена на п = 2 года под сложную ставку ссудных процентов ia — 15\% годовых. Уровень инфляции за 1-й год составил 12\%, за 2-й год — 14 \%. Какова реальная доходность в виде сложной годовой ставки ссудных процентов?

Замечание. Аналогично можно найти процентную ставку, учитывающую инфляцию, и для других процентных ставок.