Глава 17 принятие решений

Глава 17 принятие решений

§ 17.1. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСХОДОВ

§ 17.1.1. Максимаксное и максими иное решения

Максимаксное решение — это максимизация максимума возможных доходов. Максиминное решение — это максимизация минимума возможных доходов.

Пример 65. Владелец небольшого магазина в начале каждого дня закупает для реализации некий скоропортящийся продукт по цене 50 рублей за единицу. Цена реализации этого продукта — 60 рублей за единицу. Из наблюдений известно, что спрос на этот продукт за день может быть равен 1, 2, 3 или 4 единицы. Если продукт за день не продан, то в конце дня его всегда покупают по цене 30 рублей за единицу. Сколько единиц этого продукта должен закупать владелец каждый день?

Ниже приведена таблица возможных доходов за день.

Поясним, как заполняется таблица.

В клетке (2,2) для реализации было закуплено 2 единицы, спрос был 2 единицы. Поэтому возможный доход для этой клетки: 60x2 (реализация двух единиц) 50x2 (их предварительная закупка) = 20.

В клетке (3,1) была закуплена для реализации 1 единица, спрос был 3 единицы. Поэтому возможный доход для этой клетки: 60x1 (реализация только одной единицы, владелец магазина неверно оценил спрос) — 50x1 (ее предварительная закупка) = 10.

В клетке (3,4) было закуплено для реализации 4 единицы, спрос был 3 единицы. Поэтому возможный доход для этой клетки 60x3 (реализация трех единиц, на которые был спрос) ~ 50x4 (предварительная закупка четырех единиц) + 30х(4 3) (реализация в конце дня непроданной единицы) = 10. И т. д.

Каждая реализованная в течение дня единица приносит доход 60 50 = 10, а каждая реализованная в конце дня единица приносит доход 30 50 = —20 (то есть убыток).

Рассматриваемые способы принятия решения состоят в следующем. В каждом столбце (то есть для каждого возможного решения) находим максимальное число. Это числа 10, 20, 30, 40 соответственно. Запишем их в строке «максимакс» и найдем среди них максимальное. Это 40, что соответствует тешению о закупке для реализации 4 единиц. Руководствуясь правилом максимакса, каждый раз надо закупать для реализации 4 единицы. Это — подход очень азартного/человека.

В каждом столбце (то есть для каждого возможного решения) находам минимальное число. Это числа 10, -10, -30, -50 соответственно. Запишем их в строке «максимин» и найдем сгеди них максимальное. Это 10, что соответствует решению о закупке для реализации 1 единицы. Руко-водствуяс/ правилом максимина, каждый раз надо закупать для реализации 1 единицу. Это — подход очень осто-рожногоАеловека.

§ 17.1.2. Минимаксное решение

Минимаксное решение — это минимизация максимума возможных потерь, причем упущенная выгода также трактуется как потери.

Пример 66. Вернемся к предыдущему примеру 65. Таблица возможных потерь за день имеет следующий вид:

Поясним, как заполняется таблица.

В клетке (2,2) было закуплено для реализации 2 единицы, спрос был 2 единицы, то есть число закупленных для реализации единиц равно спросу за день. Поэтому возможные потери для этой клетки равны нулю.

В клетке (3,1) закупленная для реализации единица продана, но могли бы продать еще 3-1 = 2 единицы, заработав на их продаже 2х(60 50) = 20. Это и есть возможные потери.

В клетке (3,4) одна закупленная единица не реализована в течение дня. Она приносит убыток 1х(50 — 30) = 20. Это и есть возможные потери.

В каждом столбце (то есть для каждого возможного решения) находим максимальное число. Это числа 30, 20, 40, 60 соответственно. Запишем их в строке «минимакс» и найдем среди них минимальное. Это 20, что соответствует решению о закупке для реализации 2 единиц. Руководствуясь правилом максимакса, каждый раз надо закупать для реализации 2 единицы.

§ 17.1.3. Критерий ГУрвица

. Критерий Гурвица — это компромиссный способ принятия решений. Составляется таблица возможных доходов (см. пример 65). Задаются числа а и Ь> называемые весами. Условия на а и Ь:

а > 0, Ъ > 0, а + Ь = 1.

Для каждого возможного решения определяются наименьший и наибольший возможные доходы и вычисляется целевая функция по правилу:

ах (наименьший доход) + &х(наибольший доход).

Выбираем решение, при котором целевая функция принимает наибольшее значение.

Веса а и Ъ выбирает сам исследователь. При а = 0, Ъ = 1 получаем правило максимакса. При а = 1, Ъ = 0 получаем правило максимина.

Пример 67. Вернемся к примеру 65. Зададим а = 0,4 и b = 0,6. а + b = 0,4 + 0,6 = 1. Из таблицы возможных доходов для каждого решения находим наименьший и наибольший возможные доходы (это числа в строках «макси-макс» и «максимин»). Заполним таблицу.

Числа во 2-м и 3-м столбцах взяты из таблицы возможных доходов. Числа 3-го столбца умножаем на а = 0,4 и

результат пишем в 4-м столбце. Числа 2-го столбца умножаем на Ъ = 0,6 и результат пишем в 5-м столбце. В 6-м столбце находится сумма соответствующих элементов 4-го и 5-го столбцов. Находим максимум в 6-м столбце (это 10). Он соответствует возможному решению о закупке для реализации одной единицы. Очевидно, для других весов результат будет, вообще говоря, иным.

Замечание. В методе Гурвица вместо таблицы возможных доходов можно воспользоваться таблицей возможных потерь (см. пример 66). В этом случае ищется минимум целевой функции ах (наименьшие потери) + &х (наибольшие потери) по всем возможным решениям.

§ 17.2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСХОДОВ

§ 17.2.1. Правило максимальной вероятности

Пример 68. Модифицируем пример 65. Пусть известно, что на практике спрос 1 наблюдался 15 раз, спрос 2 наблюдался 30 раз, спрос 3 наблюдался 30 раз, спрос 4 наблюдался 25 раз, то есть известна частота каждого возможного исхода.

Всего наблюдений было 15 + 30 + 30 + 25 = 100. По формуле (частота исхода)/(сумма частот всех исходов) определим относительную частоту (или вероятность) каждого исхода. Это 15/100 = 0,15; 30/100 = 0,30; 30/100 = 0,30; 25/100 = 0,25 соответственно. Составим таблицу. Находим исходы, вероятность которых максимальна. Это 2 и 3.

В таблице возможных доходов наибольший возможный доход из этих двух решений у решения «закупать 3 единицы» (30 против 20). Поэтому, руководствуясь правилом максимальной вероятности, надо закупать для реализации 3 единицы.

§ 17.2.2. Максимизация ожидаемого дохода

Мы знаем вероятность каждого исхода и знаем таблицу возможных доходов. По формуле

2 (доход при і-м исходе) х (вероятность /-го исхода)

і

Столбец «Возможный доход х* взят из таблицы возможных доходов (соответствует возможному решению 1). Столбец «Вероятность р* — это строка «Вероятность р* из примера 68. 3-й столбец — это результат поэлементного произведения 1-го и 2-го столбцов. Нас интересует сумма элементов 3-го столбца. Она равна 10.

Выбираем максимум среди итоговых чисел: max (10; 15,5; 12; -0,5) = 15,5. Поэтому надо закупать для реализации 2 единицы.

Замечание. Воспользовавшись формулой 2 (возможные потери при і-м исходе)х(вероятность і-го исхода), аналогично можно минимизировать ожидаемые потери.

§ 17.2.3. Ожидаемая стоимость полной информации

На практике каждый предприниматель мечтает о том, чтобы точно уравновесить спрос и предложение. В этом случае нет потерь и потребители довольны. Этот идеальный сценарий может стать более реальным, если точно известен уровень спроса.

Один из способов определения будущего спроса — проведение маркетингового исследования с целью получения информации о покупательских предпочтениях потребителей. Подобные попытки, несомненно, увеличат затраты на ведение бизнеса. Сколько именно средств предприниматель может позволить себе потратить на получение информации об ожидаемом уровне спроса?

Постараемся ответить на этот вопрос, воспользовавшись результатами примеров 65, 68 и 69.

Из таблицы возможных доходов за день мы видим, что если бы владелец магазина знал, что спрос на продукт будет равен 1 единице, то была бы закуплена для реализации 1 единица и возможный доход был бы равен 10 руб. (максимальное число в 1-й строке находится в 1-м столбце и равно 10).

Если заранее известно, что спрос составит 2 единицы, то были бы закуплены для реализации 2 единицы и возможный доход был бы равен 20 руб. (максимальное число во 2-й строке находится во 2-м столбце и равно 20).

Если заранее известно, что спрос составит 3 единицы, то были бы закуплены для реализации 3 единицы и возможный доход был бы равен 30 руб. (максимальное число в 3-й строке находится в 3-м столбце и равно 30).

Если заранее известно, что спрос составит 4 единицы, то были бы закуплены для реализации 4 единицы и возможный доход был бы равен 40 руб. (максимальное число в 4-й строке находится в 4-м столбце и равно 40).

Так как известны вероятности различных значений спроса, то можно определить ожидаемый доход в условиях полной информации: 0,15x10 + 0,30x20 + 0,30x30 + 0,25x40 = = 26,5 руб.

Лучшее, что мог сделать владелец магазина в условиях отсутствия полной информации — это закупать для реализации 2 единицы в день с целью максимизации ожидаемого дохода. Тогда его ожидаемый доход равен 15,5 руб. Он имеет возможность увеличить ежедневный доход до 26,5 руб., затратив дополнительную сумму денег (не свыше 26,5 15,5 = 11 руб./день) на маркетинговые исследования.

Разница между ожидаемым доходом в условиях определенности и в условиях риска называется ожидаемой стоимостью полной информации. Это максимально возможный размер средств, которые можно потратить на получение полной информации о рыночной конъюнктуре.

Задачи 65-69. Владелец небольшого магазина в начале каждого рабочего дня закупает для реализации некий скоропортящийся продукт по цене 30 рублей за единицу. Цена реализации этого продукта — 50 рублей за единицу. Из наблюдений известно, что спрос на этот продукт за день может быть равен 1, 2, 3 или 4 единицы. Если продукт за день не продан, то в конце дня его всегда окупают по цене 20 рублей за единицу.

Пользуясь правилами максимакса, максимина, мини-макса, максимальной вероятности, критерием Гурвица и максимизируя ожидаемый доход, определить, сколько единиц этого продукта должен закупать владелец каждый день. Чему равна ожидаемая стоимость полной информации?