Глава 29 факторные модели

Глава 29 факторные модели

Целью современной теории портфеля является разработка методов, с помощью которых инвестор может выбрать оптимальный для себя портфель из бесконечного числа возможных. Для решения вопроса о включении каждой рассматриваемой ценной бумаги в портфель инвестору нужно уметь оценивать ее ожидаемую доходность. Одно из возможных решений этой проблемы — построение статистической модели, показывающей, как образуется доход по ценной бумаге.

В факторных моделях предполагается, что доходность ценной бумаги реагирует на изменения различных факторов. Факторная модель представляет собой попытку учесть основные экономические силы, систематически воздействующие на курсовую стоимость всех ценных бумаг.

На практике все инвесторы явно или неявно применяют факторные модели, так как невозможно рассматривать взаимосвязь каждой ценной бумаги с каждой другой по отдельности из-за большого объема вычислений.

Первоначальной целью анализа ценных бумаг является определение факторов, влияющих на доходности ценных бумаг, а также чувствительности доходностей ценных бумаг к изменению этих факторов. Рассмотрим простейшую форму такой модели — однофакторную модель.

§ 29.1. ОДНОФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ

Состояние экономики затрагивает большинство предприятий. Поэтому можно полагать, что изменения в ожиданиях относительно будущего состояния экономики имеют очень большое влияние на доходности большинства ценных бумаг. Но экономика не явдяется чем-то простым и монолитным. Можно выделить несколько факторов, оказывающих влияние на все сферы экономики: темпы прироста валового внутреннего продукта, уровень процентных ставок, уровень инфляции, уровень цен на нефть.

Некоторые инвесторы утверждают, что процесс формирования дохода по ценным бумагам определяется одним-един-ственным фактором.

Поясним, как заполняется таблица. В 4-м (6-м) столбце указаны квадраты соответствующих чисел 2-го (3-го) столбца. Каждое число 2-го столбца умножаем на соответствующее число 3-го столбца и результат пишем в 5-м столбце. В последней строке указана сумма чисел соответствующего столбца.

п п п

ь _ Д т р[ 1£Г _ 5x549,76-31,7x83 я 441

5x206,31-31,7'

/-і _

* -11,36.

83-4,41x31,7

п 5 Получено выборочное уравнение линейной регрессии у -11,36 + 4,41л:.

Коэффициент 4,41 называется чувствительностью акций предприятия к предсказанному темпу роста валового внутреннего продукта.

Коэффициент корреляции Пирсона:

п п п

г = i-1 i-1 i-1

5 x 206,31 31,72)(5xl494,94 832)

V i-1 xi-i ' /-1 Vi ' 5x549,76 31,7x83

0,942.

Это значение близко к 1, что свидетельствует об очень сильной положительной связи (с ростом х значения у возрастают).

Коэффициент детерминации г2 = 0,9422 * 0,887, то есть 88,7\% общей вариации доходности акций предприятия зависит от темпа роста валового внутреннего продукта. Наша модель не объясняет 11,3\% вариации доходности акций предприятия. Эта часть вариации объясняется факторами, не включенными в модель.

Проверим гипотезу о наличии линейной связи между переменными х, у в генеральной совокупности на основе оценки коэффициента корреляции р в генеральной совокупности. Доверительная вероятность р = 95\%. п = 5.

Hq: р — 0, то есть между переменными х, у отсутствует линейная связь в генеральной совокупности.

Hi: р Ф 0, то есть между переменными х9 у есть линейная связь в генеральной совокупности.

Проведем двустороннюю проверку.

а (1 р)/2 = (1 0,95)/2 = 0,025. По таблице t-pacпределения находим ta;n-2 = *о,025;5-2 = 3,182. Граничные

точки ±3,182. L '

Статистика t ^гп2)/(1 г2) =А/0,887х(52)/(1 -0,887) « 4,853.

Отметим значения на числовой оси.

Я0 95\%

Hi 2,5\%

X #1

35\%

-3,1821 3,1в2| ° 4,853

Мы отклоняем гипотезу Hq и принимаем гипотезу Hi на уровне значимости 5\%. Между переменными х, у есть линейная связь в генеральной совокупности.

Полученное уравнение можно использовать для оценки ожидаемой доходности акций предприятия. Например, если ожидаемый темп роста валового внутреннего продукта равен 5\%, то ожидаемая доходность акций предприятия равна -11,36 + 4,41x5 * 11 \%.

Задача 106. Изучается зависимость доходности акций предприятия (у, \%) от темпа роста валового внутреннего продукта \%). Полученные результаты отражены в таблице.

Определить, есть ли между переменными х и у линейная связь.

§ 29.2. МНОГОФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ

В отличие от однофакторных моделей многофакторная модель доходности ценных бумаг, учитывающая воздействия различных факторов, может быть более точной. Рассмотрим модель, в которой предполагается, что процесс формирования дохода включает два фактора.

Пример 107. Изучается зависимость доходности акций предприятия (у, \%) от темпа роста валового внутреннего продукта \%) и уровня инфляции (#2, \%). Полученные результаты отражены в таблице.

С помощью надстройки Пакет анализа пакета Excel исследуем двухфакторную модель у = bo + + &2*2Сервис -* Анализ данных -* Регрессия ОК. Откроется диалоговое окно, которое нужно заполнить. Уровень надежности (доверительная вероятность) по умолчанию предполагается равным 95\%. ОК. Откроется итоговое окно.

Так как число в графе Значимость F превышает 1 Уровень надежности (0,09 > 0,05), то принимается гипотеза о статистической незначимости модели.

Р-значение коэффициента #2 превышает 1 Уровень надежности (0,557 > 0,05). Поэтому эта переменная статистически незначима и ее можно исключить из модели. Мы видим, что наша модель плоха и не может помочь в прогнозировании доходности акций предприятия.

Задача 107Изучается зависимость доходности акций предприятия (у, \%) от темпа роста валового внутреннего продукта \%) и уровня инфляции (#2, \%). Полученные результаты отражены в таблице.

С помощью надстройки Пакет анализа пакета Excel исследовать двухфакторную модель у = Ъ$ + + &2*2Не следует предполагать, что факторная модель, которая была хороша для одного периода времени, будет хороша и для другого периода времени. Ключевые факторы меняются с течением времени. Риски и доходности, связанные с разными факторами, а также чувствительности ценных бумаг к факторам (коэффициенты bt) также могут меняться с течением времени.