Глава 2 простые ставки ссудных процентов

Глава 2 простые ставки ссудных процентов

Пусть Р — первоначальная сумма, S — наращенная сумма, і — годовая процентная ставка (проценты простые). Так как проценты простые, то в течение всего периода начисления они применяются к первоначальной сумме Р.

Предположим, что первоначальная сумма Р была помещена в банк под і процентов годовых (проценты простые).

Прошел 1 год. Тогда наращенная сумма S = Р (первоначальная сумма) + ІР (проценты) = Р(1 + і).

Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 2 года). Тогда наращенная сумма после двух лет S = Р(1 + і) (наращенная сумма после одного года) + ІР (проценты) = Р(1 + 2І).

Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 3 года). Тогда наращенная сумма после трех лет S = Р(1 + 2І) (наращенная сумма после двух лет) + ІР (проценты) = Р(1 + Si). И т. д.

Если п — период начисления процентов (в годах), то наращенная сумма через п лет S = Р(1 + пі).

Пример 1. Первоначальная сумма Р = 5000 руб. помещена в банк на п = 2 года под і = 15\% годовых (проценты простые).

Тогда наращенная сумма после двух лет S = Р(1 + 2і) = 5000(1 + 2X0,15) = 6500 руб.

Задача 1. Первоначальная сумма Р = 7000 руб. помещена в банк на п = 0,5 года под і = 10\% годовых (проценты простые). Найти наращенную сумму.

Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму <S, простую годовую процентную ставку і, можно определить период начисления п (в годах): S — Р(1 + пі) => 1 + пі = S/P

ni = S/P 1 => л =

S Р ІР '

Пример 2. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., наращенная сумма S = 4500 руб., і = 20\% годовых (проценты простые). Тогда период начисления

S — P = 4500 3000 ІР 0,2X3000

= 2,5 года.

Задача 2. Первоначальная сумма Р = 6000 руб., наращенная сумма S = 7200 руб., і = 10\% годовых (проценты простые). Найти период начисления.

Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, период начисления п (в годах), можно определить простую годовую процентную ставку i: S = Р(1 + пі) => 1 + пі = S/P =>

пі = S/P 1 =* і =

пР

ПримерЗ. Первоначальная сумма Р = 2000 руб., наращенная сумма S = 2200 руб., период начисления п = 0,5 года. Тогда простая процентная ставка

S Р 2200 2000 Л 0 / ОЛ0/

і = = = 0,2 (= 20\% годовых).

пР 0,5X2000

Задача 3. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., наращенная сумма S = 3300 руб., период начисления п = 0,5 года. Найти простую процентную ставку.

§ 2.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ

Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме <S, периоду начисления п и простой процентной ставке і нужно определить первоначальную

сумму Р: S = Р(1 + пі) Р = ч S .

1 + ni

Пример 4. Наращенная сумма S = 7000 руб., период начисления п = 0,25 года (один квартал), простая процентная ставка і = 12\% годовых. Тогда первоначальная сумма

Р = = « 6796,12 руб.

1 + пі 1+0,25X0,12

Задача 4. Наращенная сумма S = 6000 руб., период начисления п = 0,5 года, простая процентная ставка і — 15\% годовых. Найти первоначальную сумму.

§ 2.2. АНГЛИЙСКАЯ, НЕМЕЦКАЯ И ФРАНЦУЗСКАЯ ПРАКТИКИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ

В формуле S = Р(1 + пі) период начисления п измеряется в годах. Это не всегда удобно, так как период начисления может быть меньше года (например, с 18 марта 2004 года по 20 октября 2004 года). В этом случае полагают п = t/K, где t — период начисления (в днях), К — продолжительность года (в днях). Тогда S = Р(1 + it/K). Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день.

В немецкой практике начисления процентов один полный месяц равен 30 дням, продолжительность года К = 360 дней. Во французской практике период начисления процентов равен фактическому сроку, продолжительность года К = 360 дней. В английской практике период начисления процентов равен фактическому сроку, продолжительность года К = 365 дней (невисокосный год) или 366 дней (високосный год).

Пример 5. Первоначальная сумма Р = 3000 руб. помещена в банк под і = 12\% годовых (проценты простые) на срок с 18 марта 2003 года по 20 октября 2003 года. Найдем наращенную сумму в каждой из практик начисления процентов.

В немецкой практике начисления процентов продолжительность года К = 360 дней, t = 14 (март) + 6X30 (апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь) + 20 (октябрь) -— 1 (день открытия и день закрытия счета всегда считаются за один день) = 213 дней. Тогда S = Р(1 + it/K) = 3000 X Х(1 + 0,12X213/360) = 3213 руб.

Во французской практике продолжительность года К = 360 дней, t = 14 (март) + 30 (апрель) + 31 (май) + 30 (июнь) + 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 20 (октябрь) 1 (день открытия и день закрытия счета всегда считаются за один день) = 216 дней. Тогда S = Р(1 + it/K) = = 3000 Х(1 + 0,12X216/360) = 3216 руб.

В английской практике продолжительность года К = 365 дней, t = 216 дней. Тогда S = Р(1 + it/K) = 3000 X Х(1 + 0,12X216/365) 3213,04 руб.

Задача 5. Первоначальная сумма Р = 2000 руб. помещена в банк под і = 15\% годовых (проценты простые) на срок с 19 февраля 2003 года по 27 ноября 2003 года. Найти наращенную сумму в каждой из практик начисления процентов.

§ 2.3. СЛУЧАЙ ИЗМЕНЕНИЯ ПРОСТОЙ СТАВКИ ССУДНОГО ПРОЦЕНТА

Пусть на интервалах начисления (в годах) п9 П2, щ применялись простые процентные ставки ij, *2> •••> h соответственно. Тогда наращенная сумма S = Р(1 + пііі + п2І2 + ••• +

+ nkik) = P(l + 2*А).

7-1

Пример 6. Первоначальная сумма Р = 3000 руб. В первой половине года применялась простая процентная ставка il = 15\% годовых, во второй половине года применялась простая процентная ставка і 2 = 12\% годовых.

Тогда наращенная сумма S = Р(1 + пііі + Л2*2) = 3000 X Х(1 + 0,5X0,15 40,5X0,12) = 3405 руб.

Задача 6Первоначальная сумма Р = 4000 руб. В первой половине года применялась простая процентная ставка il = 11\% годовых, во второй половине года применялась простая процентная ставка i\% = 14 \% годовых. Найти наращенную сумму.