Глава 3 сложные ставки ссудных процентов

Глава 3 сложные ставки ссудных процентов

Пусть Р — первоначальная сумма, S — наращенная сумма, і — годовая процентная ставка (проценты сложные). Так как проценты сложные, то в конце каждого интервала начисления процентная ставка применяется к наращенной сумме на начало этого интервала начисления.

Предположим, что первоначальная сумма Р была' помещена в банк под і процентов годовых (проценты сложные).

Прошел 1 год. Тогда наращенная сумма S = Р (сумма на начало этого интервала начисления) 4іР (проценты) = = Р(1 + І).

Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 2 года). Тогда наращенная сумма после двух лет S = Р(1 4і) (наращенная сумма после одного года) 4 іР(1 4 і) (проценты) =

Р(1 4 0(1 + 0 Р(1 + о2.

Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 3 года). Тогда наращенная сумма после трех лет S = Р(1 4 О2 (наращенная сумма после двух лет) 4 £Р(1 4 і)2 (проценты) =

Р(1 4 02(1 + 0 Р(1 + О3. И т. д.

Если п — период начисления процентов (в годах), то наращенная сумма через п лет S = Р(1 4 і)п.

Пример 7. Первоначальная сумма Р = 5000 руб. помещена в банк на п = 2 года под і = 15\% годовых (проценты сложные).

Тогда наращенная сумма после двух лет S = Р(1 4 і)п = = 5000(1 4 0,15)2 = 6612,5 руб.

Задача 7. Первоначальная сумма Р = 7000 руб. помещена в банк на п = 3 года под і = 10\% годовых (проценты сложные). Найти наращенную сумму.

Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, сложную годовую процентную ставку £, можно определить период начисления п (в годах):

S = Р(1 4 0я (1 + 0я = S/P 1п(1 4 if ln(S/P) л1п(1 4i) = ln(S/P) => п = ln(S/P)/ln(l 4 і).

Примере. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., наращенная сумма S = 4500 руб., і = 20\% годовых (проценты сложные).

Тогда период начисления п = ln(S/P)/ln(l 4і) = = ln(4500/3000)/ln(l + 0,2) « 2,2 года.

Задача 8. Первоначальная сумма Р = 6000 руб., наращенная сумма S = 7200 руб., і = 10\% годовых (проценты сложные). Найти период начисления.

Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, период начисления п (в годах), можно определить сложную годовую процентную ставку і:

S = P(l + i)n (1 +0я-S/P 1+i =ys/p j-vs/p-iПримере. Первоначальная сумма Р = 2000 руб., наращенная сумма S = 3500 руб., период начисления п = 3 года.

Тогда сложная процентная ставка і = у S/P 1 = = ^3500/2000 1 * 0,205 (= 20,5\% годовых).

Задача 9. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., наращенная сумма S = 4000 руб., период начисления п = 2 года. Найти сложную процентную ставку.

§ 3.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ

Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме S, периоду начисления п и сложной процентной ставке і нужно определить первоначальную сумму Р. Это делается следующим образом: S = Р(1 + ї)п => Р = S/(l + 0я S(l + ї)~п.

Пример 10. Наращенная сумма S = 7000 руб., период начисления п = 2 года, сложная процентная ставка і = 12\% годовых. Тогда первоначальная сумма Р = S/(l + i)n = = 7000/(1 + 0,12)2 5580,36 руб.

Задача 10. Наращенная сумма S = 6000 руб., период начисления п = 3 года, сложная процентная ставка і = 15\% годовых. Найти первоначальную сумму.

§ 3.2. СЛУЧАЙ, КОГДА ПЕРИОД НАЧИСЛЕНИЯ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЦЕЛЫМ ЧИСЛОМ

Если период начисления п не является целым числом, то формула S = Р(1 40я Дает приблизительный (и весьма неточный) результат. Поэтому используют другой подход.

Определение. Целая часть [п] числа п — это наибольшее целое число, не превосходящее п.

Пример 11. [1,6] = 1, [-2,5] = -3, [0,7] = 0, [5] = 5.

Задача 11. Чему равны целые части чисел —3,5 и 2,9?

Определение. Дробная часть {п} числа п — это разность между числом п и его целой частью: {п} = п — [п]. Всегда 0 < {п} < 1.

Пример 12. {1,6} = 0,6; {-2,3} = 0,7; {0,7} = 0,7; {5} = 0.

Задача 12. Чему равны дробные части чисел -3,5 и 2,9?

Если период начисления п не является целым числом, то п = [п] (целая часть) 4{п} (дробная часть). Тогда наращенная сумма S = Р(1 + i)[nl + }i).

Пример 13. Первоначальная сумма Р = 6000 руб. помещена в банк на п = 2,5 года под і = 20\% годовых (проценты сложные). Найдем наращенную сумму двумя способами.

S = Р(1 + if = 6000(1 40,2)2'5 « 9464,65 руб.

S = Р(1 + i)[nl + {n}i) = 6000(1 40,2)2(1 40,5X0,2) = = 9504 руб.

Задача 13. Первоначальная сумма Р = 8000 руб. помещена в банк на п = 2,25 года под і = 15\% годовых (проценты сложные). Найти наращенную сумму двумя способами.

§ 3.3. СЛУЧАЙ ИЗМЕНЕНИЯ СЛОЖНОЙ СТАВКИ ССУДНОГО ПРОЦЕНТА

Пусть на интервалах начисления (в годах) п, п2, Щ применялись сложные процентные ставки ij, i2, ik соответственно. Тогда наращенная сумма S = Р(1 + іі)Яі(1 + Ї2)Л2---(1 + h)4

= РП(1 + ij)nL hi

Пример 14. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., п = 2 года применялась сложная процентная ставка i = 15\% годовых, затем п2 = 3 года применялась сложная процентная ставка i2 = 12\% годовых.

Тогда наращенная сумма S = Р(1 + іі)Яі(1 + h)"2 = = 3000(1 + 0,15)2(1 40Д2)3 * 5574,05 руб.

Задача 14. Первоначальная сумма Р = 4000 руб., п = 3 года применялась сложная процентная ставка ii = 11\% годовых, затем п2 = 2 года применялась сложная процентная ставка i2 = 14\% годовых. Найти наращенную сумму.

§ 3.4. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ НЕСКОЛЬКО РАЗ В ГОДУ. НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

Начисление сложных процентов может происходить несколько раз в году. В этом случае указывают номинальную процентную ставку у, на основании которой рассчитывают процентную ставку для каждого интервала начисления.

Если в году т интервалов начисления, то на каждом из них процентная ставка равна j/m. Тогда наращенная сумма S = Р(1 4j/m)nm. Аналогично вышесказанному из этой формулы можно выразить любую величину через остальные:

Пример 15. Первоначальная сумма Р = 7000 руб., период начисления п = 2 года, сложная процентная ставка j = 12\% годовых ежеквартально. Найдем наращенную сумму.

т = 4 (в году 4 квартала). Тогда наращенная сумма S = = Р(1 4 j/m)nm = 7000(1 4 0,12/4)2х4 * 8867,39 руб.

Задача 15. Первоначальная сумма Р = 6000 руб., период начисления п = 3 года, сложная процентная ставка j = 12\% годовых ежемесячно. Найти наращенную сумму.

§ 3.5. НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

S = Р(1 4 j/m)nm. Устремим продолжительность интервала начисления к нулю, то есть т -* оо. Это непрерывное начисление сложных процентов. JlULj Тогда S = limP(l 4 j/m)nm = Plim(l 4 j/m) j =

= P(lim(l 4 j/m)m/j)nj. Ho lim(l 4 j/m)m/j = e (второй замеm—*-oo m-»oo

чательный предел). Тогда S = Penj.

Отсюда P = S/S> = Se-\% j = Шй, „ =

n J

Пример 16. Первоначальная сумма P = 7000 руб., период начисления п = 2 года, сложная процентная ставка ; = 12\% годовых. Начисление процентов происходит непрерывно. Найдем наращенную сумму.

S = репІ = 7000е2ХОД2 » 8898,74 руб.

Задача 16. Найти наращенную сумму в задаче 15 при непрерывном начислении процентов. Сравнить с результатом задачи 15.