Глава 4 сравнение операций

Глава 4 сравнение операций

В предыдущих главах мы изучили простые и сложные процентные ставки. Очень часто перед инвестором стоит задача выбора одного из этих вариантов инвестирования первоначальной суммы. Как выбрать вариант, при котором наращенная сумма будет максимальна? Возникает задача сравнения между собой различных процентных ставок.

Две ставки называются эквивалентными, если при одинаковой первоначальной сумме Р и на одинаковом периоде начисления п они приводят к одинаковой наращенной сумме S. При сравнении двух ставок из разных классов для одной из них находят эквивалентную ей ставку из другого класса и проводят сравнение двух ставок из одного класса.

§ 4.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ

СТАВКИ

Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления. При использовании простой процентной ставки і наращенная сумма Si = Р(1 4 пі). При использовании сложной процентной ставки ісл наращенная сумма S2 = Р(1 + *Сл)я«

Так как ставки эквивалентны, то наращенные суммы равны: Si = S2, то есть Р(1 4пі) = Р(1 4ісл)*. Отсюда 1 + ш =

= (1 + *сл)Я * «1 + *сл)Я D/n.

Пример 17. Какой вариант инвестирования первоначальной суммы на п = 3 года лучше: под простую процентную ставку 18\% годовых или под сложную процентную ставку 15\% годовых?

Найдем эквивалентную простую процентную ставку для сложной процентной ставки £сл = 15\% годовых на периоде начисления п = 3 года.

і = ((1 4 iCJ1)n l)/n = ((1 4 0,15)3 1)/3 0,174 (= 17,4\% годовых) < 0,18. Лучше вариант с простой процентной ставкой.

Задача 17. Какой вариант инвестирования первоначальной суммы на п = 2 года лучше: под простую процентную ставку 17\% годовых или под сложную процентную ставку 15,5\% годовых?

Замечание. Выразив из равенства 1 4пі = (1 4iCJ1)n ставку ісл через і (ісл = у/1 4 пі 1), мы найдем эквивалентную сложную процентную ставку ісл для простой процентной ставки і.

§ 4.2. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ

Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления. При использовании простой процентной ставки і наращенная сумма Si = Р(1 4 пі). При использовании номинальной сложной процентной ставки / (проценты за год начисляются т раз) наращенная сумма S2 = Р(1 4 j/m)nm.

Так как ставки эквивалентны, то наращенные суммы равны: Si = S2, то есть Р(1 4 пі) = Р(1 4 j/m)nm.

Отсюда 1 4 пі = (1 4 j/m)nm => і = ((1 4 j/m)nm l)/n.

Пример 18. Какой вариант инвестирования первоначальной суммы на п = 3 года лучше: под простую процентную ставку 18\% годовых или под сложную процентную ставку 15\% годовых ежеквартально?

Найдем эквивалентную простую процентную ставку для номинальной сложной процентной ставки j = 15\% годовых (здесь т = 4) на периоде начисления п = 3 года.

і = ((1 4 j/m)nm 1)/п = ((1 4 0,15/4)ЗХ4 1)/3 * 0,185 (= 18,5\% годовых) > 0,18. Лучше вариант с номинальной сложной процентной ставкой.

Задача 18. Какой вариант инвестирования первоначальной суммы на п = 2 года лучше: под простую процентную ставку 19\% годовых или под сложную процентную ставку 14\% годовых ежемесячно?

Замечание. Выразив из равенства 1 4 пі = (1 4 j/m)nm

ставку у через і (j' = т( yl 4 пі 1)), мы найдем эквивалентную номинальную сложную процентную ставку у для простой процентной ставки і.

§ 4.3. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ. ЭФФЕКТИВНАЯ СЛОЖНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления. При использовании сложной процентной ставки наращенная сумма Si = Р(1 4 ісл)пПри использовании номинальной сложной процентной ставки у (проценты за год начисляются т раз) наращенная сумма S2 = Р(1 + j/m)nm.

Так как ставки эквивалентны, то наращенные суммы равны: Sx = S2, то есть Р(1 + iCJl)n = Р(1 + j/m)nm.

Отсюда 1 + *сл = (1 + j/m)m => ісл = (1 + j/m)m 1. Эта формула определяет эффективную годовую ставку сложных процентов, эквивалентную номинальной сложной процентной ставке, и не зависит от периода начисления п.

Пример 19. Найдем эффективную годовую ставку сложных процентов, эквивалентную номинальной сложной процентной ставке у = 10\% годовых ежеквартально.

Здесь т = 4. Тогда ісл = (1 + j/m)m 1 = (1 4ОД/4)4 1 * 0,104 (= 10,4\% годовых). Вместо начисления каждый квартал 2,5\% можно один раз в год начислять 10,4\%. От этого наращенная сумма не изменится.

Задача 19. Найти эффективную годовую ставку сложных процентов, эквивалентную номинальной сложной процентной ставке у = 12\% годовых ежемесячно.

Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит финансовые функции (fx -» финансовые). Их количество значительно возрастет после установки надстройки Пакет анализа (Сервис -» Надстройки -* Пакет анализа). В частности, финансовая функция ЭФФЕКТ (EFFECT) возвращает эффективную годовую ставку сложных процентов £сл, если заданы номинальная_ставка (годовая номинальная сложная процентная ставка у) и кол_пер (т, количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты). В примере 19 ЭФФЕКТ (0,1; 4) * 0,104.

§ 4.4. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ

Выразив из равенства 1 4= (1 4j/m)m ставку у через *сл (у = т( ^11 4 ісл — 1)), мы найдем эквивалентную номинальную ставку сложных процентов (проценты начисляются т раз в году) для сложной процентной ставки і^. Формула не зависит от периода начисления п.

Пример 20. Найдем годовую номинальную сложную

процентную ставку (проценты начисляются каждый месяц), эквивалентную сложной процентной ставке = 15\%

годовых. , 12 ^

Здесь т = 12. Тогда / = m(y 1 + 1) = 12(yi + 0,15 1) = 0,141 (= 14,1\% годовых).

Вместо начисления один раз в год 15\% можно начислять каждый месяц * 14,1\%/12 = 1,175\%. От этого наращенная сумма не изменится.

Задача 20. Найти годовую номинальную сложную процентную ставку (проценты начисляются каждые полгода), эквивалентную сложной процентной ставке ісл = 20\% годовых.

Замечание 1. Мастер функций fx пакета Excel содержит финансовую функцию НОМИНАЛ (NOMINAL) (fx -* финансовые -* НОМИНАЛ), которая возвращает годовую номинальную сложную процентную ставку у, если заданы эффект_ставка (эффективная годовая ставка сложных процентов ) и кол_пер (т, количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты). В примере 20 НОМИНАЛ (0,15; 12) * 0,141.

Замечание 2. Аналогично рассмотренным методом можно найти эквивалентные ставки для различных вариантов процентных и учетных ставок.