5.10.3 теория сегментации рынка

5.10.3 теория сегментации рынка

Третье объяснение поведения временной зависимости основывается на предположении о разделении, или о сегментации, рынка (market segmentation). Считается, что различные инвесторы и заемщики привязаны законами, предпочтениями или привычками к определенным срокам погашения ценных бумаг. Возможно, существует один рынок для краткосрочных ценных бумаг, другой — для ценных бумаг со средним сроком погашения и третий — для долгосрочных ценных бумаг. По теории сегментации рынка, спот-ставки определяются спросом и предложением на каждом рынке в отдельности. Более того, в наиболее строгом варианте этой теории инвесторы и заемщики не покидают свои рынки и не вторгаются в другие даже в том случае, когда текущие ставки на рынках таковы, что переход на другой рынок может привести к существенному увеличению ожидаемого дохода".

По этой теории возрастающая временная зависимость возникает, если пересечению кривых спроса и предложения для краткосрочных инвестиций соответствует меньшая процентная ставка, чем пересечению кривых спроса и предложения для долгосрочных инвестиций. Аналогично убывающая временная структура возникает, если пересечение для краткосрочных инвестиций происходит при большей процентной ставке по ним, чем по долгосрочным.

5.10.4 Сопоставление теорий с эмпирическими данными

Эмпирические данные помогают лучше понять предпосылки формирования той или иной теории временной зависимости. Однако исходя из них трудно точно оценить, какая из трех теорий оказывается более точной.

Теория сегментации рынка имеет относительно более слабые эмпирические подтверждения. Это вполне понятно, если предположить, что существуют инвесторы и заемщики, которые достаточно подвижны для того, чтобы перемещаться в те сегменты рынка, для которых ожидаемый доход выше. Своими действиями эти инвесторы и заемщики придают временной зависимости непрерывность, связанную с ожиданиями будущих процентных ставок.

Эмпирические факты говорят в пользу того, что имеется причинно-следственная связь между ожидаемыми спот-ставками и видом временной зависимости. Эта гипотеза лежит в основе как теории непредвзятых ожиданий, так и теории наилучшей ликвидности. Но факты больше говорят в пользу последней теории, потому что премия за ликвидность существует реально'4. В частности, наблюдаются возрастающие премии за ликвидность по казначейским ценным бумагам со сроком погашения приблизительно до одного года (например, £0 5 0 75 < L0 5.{). Однако премии за ценные бумаги сроком более одного года не превышают премии за годовые ценные бумаги. То есть инвестор требует премию за то, что он покупает годовые ценные бумаги вместо, скажем, полугодовых. При этом премия за приобретение полуторагодовой ценной бумаги не больше (хотя риск изменения процентной ставки у полуторагодовой ценной бумаги больше), чем премия за годовую ценную бумагу (£05., = 15).

Следует быть очень осторожным при оценке величины премии за ликвидность. Без сомнения, эти премии (если они существуют) меняются со временем. Поэтому очень сложно оценить их среднюю величину, а все наблюдения должны проводиться корректно.

Подведем итоги. Ожидания величины будущих спот-ставок являются очень важным фактором при определении временной зависимости. Существуют премии за ликвидность, но они не увеличиваются для сроков погашения более одного года. Это означает приблизительно одинаковую ожидаемую доходность для стратегий, связанных с годовыми ценными бумагами, и стратегий, связанных с покупкой ценных бумаг со сроком погашения более одного года.

Анализ временной зависимости процентных ставок важен для определения текущего набора спот-ставок, который может быть использован для оценки любой ценной бумаги с фиксированным доходом. Этот анализ также важен тем, что он предоставляет некоторую информацию о рыночных ожиданиях будущего уровня процентных ставок.

Краткие выводы

Номинальная процентная ставка — это ставка, по которой инвестор может обменять сегодняшние деньги на будущие деньги.

Реальная процентная ставка — это разность между номинальной процентной ставкой и уровнем инфляции.

Чтобы понять, как оцениваются облигации на рынке, следует начать с анализа тех ценных бумаг с фиксированным доходом, которые не подвержены риску неуплаты, а именно с казначейских ценных бумаг.

Доходность к погашению по ценной бумаге — это процентная ставка в коэффициенте дисконтирования, которая приравнивает сумму ожидаемого денежного потока к текущей рыночной стоимости ценной бумаги.

Спот-ставка — это доходность к погашению по бескупонной (чисто дисконтной) облигации.

Если спот-ставки (относящиеся к различным срокам погашения) подсчитаны, то они могут быть использованы для оценки купонных казначейских ценных бумаг.

Форвардная ставка — это процентная ставка, устанавливаемая сегодня, которая будет выплачена за пользование деньгами, занятыми в определенный момент в будущем на определенный период.

Выплата процента на процент называется начислением сложных процентов.

Увеличение числа периодов в году, за которые начисляются сложные проценты, увеличивает эффективную годовую ставку.

Кривая доходности показывает соотношение доходности к погашению и срока до погашения для казначейских ценных бумаг. Это соотношение также называется временной зависимостью процентной ставки.

На практике применяются три основные теории поведения временной зависимости процентных ставок: теория непредвзятых ожиданий, теория наилучшей ликвидности и теория сегментации рынка.

Теория непредвзятых ожиданий утверждает, что форвардные ставки представляют собой усредненное ожидание будущих величин спот-ставок.

Теория наилучшей ликвидности утверждает, что форвардные ставки превышают усредненное ожидание будущих спот-ставок на величину премии инвесторам за приобретение долгосрочных ценных бумаг.

Теория сегментации рынка утверждает, что спот-ставки для разных сроков погашения имеют различные величины вследствие взаимодействия спроса и предложения инвестиций на рынках, которые отделены друг от друга по срокам погашения.

Фактические данные говорят в пользу теории наилучшей ликвидности, по крайней мере, для ценных бумаг со сроками погашения до одного года.

Вопросы и задачи

1. Если реальная ставка инвестирования в некотором году была равна 6,0\%, а номинальная — 11,3\%, то каков был уровень инфляции в этом году?

В конце 1974 г. Эмиль Билдилли держал портфель долгосрочных облигаций правительства США, оцениваемый в $14 ООО. В конце 1981 г. портфель Эмиля стоил $16 932. Исходя из табл. 1.1 рассчитайте реальную годовую ставку дохода портфеля за данный семилетний период.

Рассмотрим две облигации, каждая из которых имеет номинальную стоимость $1000 и срок погашения три года.

а. Первая облигация является бескупонной (чисто дисконтной) и в настоящее время стоит $816,30. Чему равна ее доходность к погашению?

б. Вторая облигация в настоящее время стоит $949,37 и предусматривает ежегодные купонные выплаты по 7\% (т.е. по $70 каждый год). Первая купонная выплата состоится через год. Какова доходность к погашению этой облигации?

Компания Camp Douglas Dirigibles выпустила облигацию со сроком погашения четыре года. Номинальная стоимость облигации — $1000, а ежегодная купонная выплата — $100. Какова стоимость облигации Camp Douglas, если доходность к погашению равна 12\%? Если доходность к погашению — 8\%?

Концепция доходности к погашению основана на двух важных предположениях. Что это за предположения? Что случится с доходом держателя облигации, если эти предположения нарушатся?

Пэтси Даджерти купила облигацию с номинальной стоимостью $1000, 9\%-ными ежегодными купонными выплатами, до погашения которой остается три года. Первая купонная выплата будет произведена через год. Пэтси купила эту облигацию за

$975,13.

а. Какова доходность к погашению для этой облигации?

б. Если Пэтси сможет инвестировать поток платежей от этой облигации под 7\%

годовых каждый год, то какова фактическая годовая ставка сложных процентов,

по которой можно рассчитать доход инвестиции, при условии, что Пэтси держит

облигацию до погашения? (Совет: при расчетах используйте потоки денег, выплачиваемых Пэтси, цены покупки облигации и срок инвестирования.)

Рассмотрим три чисто дисконтные облигации со сроками погашения год, два и три и ценами $930,23, $923,79 и $919,54 соответственно. Каждая облигация имеет номинальную стоимость $1000. Основываясь на этой информации, определите годовую, двухгодовую и трехгодовую спот-ставки.

Каковы коэффициенты дисконтирования чисто дисконтных облигаций со сроками погашения три года, четыре года и пять лет, с номинальными стоимостями $1000 и ценами $810,60, $730,96 и $649,93 соответственно?

Объясните различия между спот-ставками и форвардными ставками.

Используя следующие спот-ставки для различных периодов времени до погашения с сегодняшнего дня, подсчитайте форвардные ставки между первым и вторым годом, вторым и третьим годом, третьим и четвертым.

Число лет с данного момента

2 3

4

Спот-ставка

(в \%)

5,0 5,5 6,5 7,0

11. Используя следующие форвардные ставки, подсчитайте годовую, двух-, трехи че-тырехгодовую спот-ставки.

Будущий период времени

Форвардная ставка

(в \%)

10,0 9,5 9,0 8,5

Какова должна быть рыночная цена для 8\%-ной купонной облигации с номинальной стоимостью $1000, погашаемой через три года? Первая купонная выплата должна произойти через год. Выплаты производятся ежегодно.

Предположим, что правительство выпустило три облигации. По первой выплачивается $1000 через один год, в настоящее время она продается за $909,09. По второй выплачивается $100 через один год и $1100 спустя еще год, в настоящее время она продается за $991,81. По третьей выплачивается $100 через один год, $100 — еще через год и $1100 — еще через один год. В настоящее время она продается за $997,18.

а. Каковы сегодняшние коэффициенты дисконтирования для долларов, получаемых через один, два и три года?

б. Каковы форвардные ставки?

в. Ваш друг Хонус Вагнер предлагает вам заплатить ему $500 через один год, $600 через два года и $700 — через три года вместо займа, который вы могли бы дать

ему сегодня. Предполагая, что Хонус не подведет, как много вы согласитесь дать

ему взаймы?

Национальный банк Mercury принимает сберегательные вклады под 6\% годовых. Подсчитайте эффективную годовую процентную ставку, если банк производит начисление сложных процентов:

а) раз в полгода;

б) ежедневно (365 дней в году).

Марти Марион осуществляет трехлетнюю безрисковую инвестицию $30 000 в бумаги с фиксированным доходом. В первый год процентная ставка равна 8\%, во второй — 10 и в третий — 12\%. Каждая купонная выплата может быть реинвестирована по ставке, которая будет действовать в год, следующий после этой выплаты.

а. Предполагая ежегодное начисление сложных процентов и выплату вложенной

суммы в конце третьего года, определите, до какой величины вырастет инвестированная сумма через три года?

б. Пересчитайте ваш ответ для вопроса (а), предположив, что сложные проценты

начисляются каждые полгода.

Используя Wall Street Journal как источник данных, найдите таблицу « Treasury bonds, Notes & Bills». Найдите доходности к погашению для казначейских ценных бумаг со сроками погашения один месяц, три месяца, один год, пять лет и двадцать лет. На основе этой информации постройте кривую доходности на день публикации журнала.

Правда ли, что наблюдаемые убывающие кривые доходности не согласуются с теорией наилучшей ликвидности, объясняющей поведение временной зависимости процентных ставок? Объясните.

Предположим, что временная зависимость форвардных ставок в настоящий момент является возрастающей. Какая из облигаций будет иметь меньшую доходность к погашению:

а) 15-летняя чисто дисконтная облигация или 10-летняя чисто дисконтная облигация?

б) 10-летняя облигация с 5\%-ными купонными выплатами или 10-летняя облигация с 6\%-ными купонными выплатами?

Как изменятся ваши ответы на вопросы пункта 18, если структура форвардных ставок будет убывающей?

В этой главе были описаны три теории, объясняющие поведение временной зависимости процентных ставок. Какая из теорий, по вашему мнению, лучше объясняет соотношение спот-ставок и сроков погашения? Приведите аргументы в пользу вашего мнения.

Предположим, что текущие спот-ставки таковы:

Число лет Спот-ставка

с данного момента (в \%)

8

9

10

Если выполняется теория непредвзятых ожиданий, то каковы должны быть доходности к погашению по чисто дисконтным облигациям со сроками погашения один год и два года через год?

(Вопрос к приложению.) Пересчитайте ответы к вопросам 14 и 15, предполагая, что начисление сложных процентов осуществляется непрерывным образом.

(Вопрос к приложению.) Определите истинную стоимость чисто дисконтной облигации с номинальной стоимостью $1000 и сроком погашения один год, предполагая 8\%-ную ставку в коэффициенте дисконтирования с непрерывным начислением сложных процентов.

Вопросы экзамена CFA

24. Следующая таблица содержит доходности к погашению по казначейским ценным бумагам США в два различных момента времени:

а. Пользуясь теорией непредвзятых ожиданий, определите форвардную ставку. Опишите, как вы будете подсчитывать форвардную ставку для казначейской облигации со сроком погашения три года через два года после 15 мая 19.. г., используя фактические данные из таблицы.

б. Обсудите, как объясняется тремя описанными в главе теориями временная зависимость на 15 января 19.. г.

в. Обсудите, что случилось с временной зависимостью в течение определенного

периода, в частности, для казначейских облигаций со сроком погашения два года

и десять лет.

г. Предположим, что вы принимаете инвестиционное решение только на основе

диапазона ставок, которые действовали в январе 19.. г., и ожидаете, что к маю

разница между доходностью по облигациям со сроком погашения один год и

двадцать пять лет установится на уровне более типичном — 170 базисных пункта

(или 1,7\%). Объясните, что бы вы сделали в этом случае в январе, и опишите, что

случилось бы между 15 января и 15 мая.

25. а. Подсчитайте двухгодовую спот-ставку на основе данных (см. ниже) о доходности для казначейских ценных бумаг США. При вычислениях предположите, что проценты выплачиваются ежегодно. Приведите все вычисления.

б. Объясните, почему кривая для спот-ставки может быть получена из текущих значений доходности к погашению для купонных облигаций?

в. Считая, что годовая спот-ставка для казначейских ценных бумаг равна 9,0\%, а

двухгодовая — 9,5\%, подсчитайте годовую форвардную ставку для ценной бумаги

со сроком погашения два года, до истечения которого остается один год. Объясните, почему годовая форвардная ставка 9,6\% не может преобладать на рынке

при данных спот-ставках.

г. Опишите вариант практического применения понятий «спот-ставка» и «форвардная ставка».

Приложение

Непрерывное начисление сложных процентов

При вычислении результата инвестирования могут использоваться различные периоды начисления сложных процентов. Например, законы могут налагать ограничения на фиксированную ставку выплат, но не налагать ограничений на периоды начисления. Такова была ситуация в начале 1975 г., когда ставка процентных выплат по займам и депозитам сроком от шести до десяти лет была ограничена на уровне 7,75\% годовых. Первоначально по большинству займов и накоплений выплачивались простые проценты. При этом $1, вложенный в начале года, вырастал до $1,0775 к концу года. Позже, в целях привлечения вкладчиков, некоторые учреждения объявили, что они будут выплачивать 7,75\% годовых, но производить полугодовое начисление сложных процентов по ставке 3,875\% (7,75\%/2). Это означает, что $1, вложенный в начале года, вырастет до Я.03875 через 6 месяцев, а еще через 6 месяцев эта величина вырастет до $1.079 ($1,03875 х 1,03875), что будет означать эффективную ставку 7,9\% за год. Эта процедура не считалась нарушением закона.

Вскоре другие учреждения предложили 7,75\% годовых, пересчитываемых ежеквартально (т.е. 7,75\%/4 = 1,938\% в квартал), что означало эффективную процентную ставку 7,978\% за год. Затем другие предложили пересчитывать годовую ставку 7,75\% ежемесячно (7,75\%/12 = 0,646\% в месяц), что давало эффективную годовую ставку 8,031\%. Предел был достигнут, когда одна компания предложила непрерывное начисление годовой ставки 7,75\%. Если г означает годовую ставку сложных процентов (в нашем случае 7,75\%), an — количество начислений за год, то эффективная годовая ставка определяется выражением:

( Л"

1+1 =+ге, (5.30) I ")

где г — эффективная годовая процентная ставка.

Таким образом, при полугодовом начислении сложных процентов с годовой ставкой 7,75\% получаем:

I+—775_j =(1 + 0)03875)2 = 1,079, а при квартальном начислении:

= (1+0,01938)4 = 1,07978

и т.д. По мере того как интервалы начислений уменьшаются, их число (л) увеличивается, а также увеличивается эффективная процентная ставка /•.

Математически доказывается, что при росте п величина [1 + (г/п)]" стремится к ег, где е — константа, равная 2,71828 с точностью до пяти знаков. В нашем примере ео.о775 = і,0806, что означает эффективную годовую ставку 8,06\%15.

Может быть получена и более общая формула непрерывного начисления. Пусть при годовой ставке г при непрерывном начислении Р долларов вырастают до F долларов через / лет, тогда соотношение этих величин будет следующим:

Pe" = F,. (5.31)

Аналогично нынешняя стоимость /"долларов, которые будут получены через / лет при непрерывном начислении с годовой ставкой г, равна:

^ = 4(5-32) е

Таким образом, если спот-ставки выражаются как годовые ставки при непрерывном начислении сложных процентов, то коэффициенты дисконтирования d могут быть подсчитаны следующим образом:

di=(5.33) е

Последние три формулы могут применяться при любых значениях /, включая дробные значения (например, если F будет получено через 2,5 года, то / = 2,5).

Примечания

1 Это вычисление подразумевает, что облигация не будет продана досрочно. Если предположить, что облигация будет продана, как только это станет возможным, то ставка в коэффициенте дисконтирования, приравнивающая текущую стоимость соответствующих выплат к текущей рыночной цене облигации, называется доходностью к отзыву (yield to call).

2 Заметьте, что, используя уравнение (5.24), мы получим г = 1,039232 — 1 = 8\%, т.е. то же значение, которое получается из уравнения (5.22).

3 Подумайте, что случится, если будет произвольно увеличиваться число периодов начисления сложных процентов в одном году так, чтобы каждый из интервалов становился очень малым. В пределе получится бесконечно большое число бесконечно малых интервалов, т.е. ситуация непрерывного начисления, которая обсуждается в Приложении.

4 Иногда кривая доходности может иметь «горбы», где она ненадолго возрастает, а затем убывает, возможно, выравниваясь между средними и большими сроками погашения.

5 Не так давно была разработана «современная теория ожиданий», которая является более логичной экономически, чем теория непредвзятых ожиданий. Однако из нее следуют выводы и объяснения поведения временной зависимости, аналогичные тем, что следовали из теории непредвзятых ожиданий. Учитывая их сходство, была приведена только теория непредвзятых ожиданий.

6 Уравнение (5.25) может быть записано в более общем виде так: es {t =f l (. Таким образом, используя уравнение (5.19), теория непредвзятых ожиданий утверждает, что (1 + і,,)'"1 х х (1 + «,.,,) = (1 + sty.

7 См. уравнения (5.1) (5.3) и гл. 13 для выяснения природы взаимоотношений номинальных ставок, реальных ставок и уровня ожидаемой инфляции.

8 К сожалению, этот риск часто называют «риском ликвидности» (liquidity risk), тогда как по смыслу более подходит название «риск изменения процентной ставки» (price risk), потому что именно изменчивость ставок, сопутствующая долгосрочным ценным бумагам, представляет проблему для инвестора. Отчасти данный риск компенсируется риском, присутствующим при применении «стратегии возобновления» вместо «стратегии покупки до погашения», а именно риском, связанным с неопределенностью спот-ставки в конце первого года, по которой будет осуществляться дальнейшее инвестирование. Теория наилучшей ликвидности предполагает, что этот риск относительно мал и не столь важен для инвестора.

v Иногда эту разницу называют премией за срочность (term premium). Смотрите статью Брэв-форда Корнелла «Измерение премии за срочность: практические наблюдения» (Bradford Cornell, «Measuring the Term Premium: An Empirical Note», Journal of Economics and Business, 42, no. 1 (February 1990), pp. 89-92).

10 Следует заметить, что, хотя форвардная ставка может быть определена, и ожидаемая спот-ставка, и премия за ликвидность могут оказаться неопределенными. Все, что можно сделать, это попытаться оценить их значения.

" Уравнение (5.27) может быть записано в более общем виде:/ ( = es ( + I Таким образом, используя уравнение (5.19), теория наилучшей ликвидности утверждает, что:

(1 + ^,)'-' х (1 + «,_,,+ Lt_u) = (1 + s)>. Так как £ ( > 0, то отсюда следует, что:

(1 + *,_,)>-'х (1 + «_,,) < (1 + s)>.

12 Если бы es{ 2 была больше или равна sv то неравенство бы не выполнялось, так как предполагалось бы, что s > sr

13 Более умеренная версия называется теория наилучшей среды обитания (preferred habitat theoiy),

по которой заемщики и инвесторы могут покинуть свой сегмент рынка (определяемый сроком

погашения обязательств) только при условии, что разница между доходностями в различных

сегментах достаточно велика.

14 Эмпирические наблюдения не являются бесспорными. Фама утверждает, что факты не соответствуют ни теории непредвзятых ожиданий, ни теории наилучшей ликвидности, тогда как

Маккалок опровергает аргументы Фамы и склоняется в пользу последней теории.

См.: Eugene F. Fama, «Тегт Premiums in Bond Returns», Journal of Financial Economics, 13, no. 4

(December 1984), pp. 529-546; J. Huston McCulloch, «The Monotonicity of the Term Premium:

A Closer Look», Journal of Finacial Economics, 18, no. 1 (March 1987), pp. 185-192; «An Estimate of

the Liquidity Ргетіит», Journal of Political Economy, 83, no. 1 (February 1975), pp. 95-119; взгляды

Маккалока отражены также в работе: Matthew Richardson, Paul Richardson, Tom Smith, «The

Monotonicity of the Term Premium: Another Look», Journal of Financial Economics, 31, no. 1 (February

1992), pp. 97-105.

15 Для подобных вычислений могут быть использованы таблицы натуральных логарифмов. Натуральный логарифм 1,0806 равен 0,0775, а антилогарифм 0,0775 равен 1,0806.

Ключевые термины

доходность к погашению спот-ставка

коэффициенты дисконтирования рыночная функция дисконтирования дисконтирование форвардная ставка начисление сложных процентов

годовая процентная ставка кривая доходности временная зависимость теория непредвзятых ожиданий теория наилучшей ликвидности премия за ликвидность сегментация рынка

Рекомендуемая литература

Многие фундаментальные концепции инвестирования в облигации обсуждаются в работах:

Homer Sedney, Martin L. Leibowitz, Inside the Yield Book: New Tools for Bond Market Strategy (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1972).

Marcia Stigum, The Money Market (Homewood, IL: Business One Irwin, 3rd ed., 1990).

Frank J. Fabozzi, ed., The Handbook of Fixed-Income Securities (Homewood, IL: Business One Irwin, 3rd ed., 1991).

Обсуждение рынка бескупонных казначейских облигаций представлено в работе:

Deborah W. Gregory, Miles Livingston, «Development of the Market for U.S. Treasury STRIPS», Financial Analysts Journal, 48, no. 2 (March/April 1992), pp. 68-74.

Более подробно теории временной зависимости и практика их применения отражены в работах:

John Y. Wood and Norma L. Wood, Financial Markets (San Diego, CA: Harcourt Brace Jovanovich, 1985), Chapter 19.

Frederic S. Mishkin, The Economics of Money, Banking, and Financial Markets (Glenview, IL: Scott, Foresman, 1989), Chapter 7.

Peter A. Abken, ^Innovations in Modeling the Term Structure of Interest Rates», Federal Reserve Bank of Atlanta, Economic Review, 75, no. 4 (July/August 1990), pp. 2—27.

Frank J. Fabozzi and Franco Modigliani, Capital Markets: Institutions and Instruments (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1992), Chapter 12.

Steven Russell, understanding the Term Structure of Interest Rates: The Expectations Theory», Federal Reserve Bank of St. Louis, Review, 74, no. 4 (July/August 1992), pp. 36-50.

James C. Van Home, Financial Market Rates and Flows (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994), Chapter 5.

Сравнение традиционной теории непредвзятых ожиданий и современной теории ожидания временной зависимости процентных ставок см. в работе:

John Н. Wood and Norma L. Wood, Financial Market (San Diego, CA: Harcourt Brace Jovanovich, 1985), pp. 645-651.

Обсуждение теории предпочтительных условий временной зависимости процентных ставок см. в работах:

Frank J. Fabozzi and Franco Modigliani, Capital Markets: Institutions and Instruments (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1992), pp. 387-388.

James C. Van Home, Financial Market Rates and Flows (Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994), pp. 101, 112-113.

Интересное объяснение того, почему кривая доходности обычно имеет наклон вверх, основанное на особенностях налогообложения, см. в работах:

Richard Roll, «After-Тах Investment Results from Long-Term vs. Short-Term Discount Coupon Bonds», Financial Analysts Journal, 40, no. 1 (January/February 1984), pp. 43-54.

Ricardo J. Rodriguez, investment Horizon, Taxes and Maturity Choice for Discount Coupon Bonds», Financial Analysts Journal, 44, no. 5 (September/October 1988), pp. 67-69.