6.4.2 распределение вероятностей

6.4.2 распределение вероятностей

Нередко удобнее изображать вероятностные прогнозы графически. Возможные исходы указываются на горизонтальной оси, а отвечающие им вероятности — на вертикальной. Примером служит рис. 6.3. В данном случае исходы качественно различны и могут быть занесены только на горизонтальную ось; порядок и промежутки в размещении — произвольные.

0,6

J3

I-о о

ь 0,4

к

о

о.

си

ш

0,2

Национальная Американская лига лига

Результат

Рис. 6.3. Вероятности победы на первенстве по бейсболу команды Национальной лиги

или Американской лиги

Рисунок 6.4 иллюстрирует несколько иной случай. Альтернативные результаты здесь различаются количественно в отношении одной-единственной переменной величины: доходов в расчете на акцию на будущий год. В данном случае аналитик счел необходимым объединить воедино все возможности, начиная с $0,90 до $0,99, и определить вероятность того, что фактическая сумма окажется в этом диапазоне; затем повторить всю процедуру для диапазонов от $ 1,00 до $ 1,09, от $ 1,10 до $1,19 и других диапазонов шириной $0,10.

0,30

0,25

ё 0,20 о

Ё 0,15 о

I о,ю

0,05 0

$0,90 $1,00 $1,10 $1,20 $1,30 $1,40 Доходы в расчете на акцию на будущий год

Рис. 6.4. Вероятности доходов в расчете на акцию на будущий год (с использованием широких диапазонов)

Этот анализ, разумеется, можно было бы провести на более детальном уровне, с оценкой вероятности результатов в диапазонах от $0,90 до $0,94, от $0,95 до $0,99 и сходных диапазонах шириной $0,05. Еще более детальный анализ установил бы вероятность каждого возможного результата. В этом случае полос значительно прибавилось бы и каждая из них оказалась бы очень узкой, как это и показано на рис. 6.5. Заметьте, что чем больше полос, тем меньше значения сопутствующих вероятностей.

В пределе получается непрерывное распределение вероятностей (continuous probability distribution). Подобная кривая фактически изображает вершины многочисленных узких полос. (Технически кривая изображает то, что происходит, когда этих полос оказывается бесчисленное множество.) Рис. 6.6 приводит три примера такого рода кривых. Заметьте, что по вертикальной оси теперь измеряется плотность вероятности (вместо вероятности).

Используя непрерывные распределения вероятностей, аналитик может отказаться от точной оценки каждого результата в отдельности. Вместо этого аналитик должен прочертить кривую, которая отразит ситуацию так, как он ее видит. Относительная вероятность каждого отдельного результата (скажем, доходов в расчете на акцию $1,035) равна нулю. Однако относительная вероятность любого диапазона доходов определяется путем простого измерения площади между кривой и горизонтальной осью. Так, вероятность того, что доходы окажутся в пределах от $1,03 до $1,04, может быть установлена при измерении площади под кривой между $1,03 и $1,04, что в данном случае составит приблизительно 0,07 (т.е. 7 шансов из 100, что в следующем году доходы будут в пределах $1,03 — 1,04). Для дискретных распределений вероятностей наподобие тех, что показаны на рис. 6.4 и 6.5, ранее отмечалось, что сумма вероятностей должна равняться 1,0. И тогда при непрерывном распределении вероятностей общая площадь под кривой должна составить 1,0.

а) Симметричное

унимодальное распределение

б) Асимметричное унимодальное

в) Распределение с двумя модами

Рис. 6.6. Непрерывное распределение вероятностей

6.4.3 кДереео событий»

Когда события непрерывно следуют одно за другим или в каком-то смысле взаимосвязаны, зачастую полезно описывать альтернативные варианты в виде «дерева». Примером служит рис. 6.7.

Заемщик обещал по возможности выплатить $15 через год и $8 через два года. По мнению аналитика, шансы на то, что первая выплата будет действительно произведена полностью, составляют только 40 к 60. В противном случае, полагает аналитик, заемщику удастся выплатить через год только $10.

Что же касается двухлетнего срока, то вероятность события, на взгляд аналитика, будет зависеть от результата за первый год. Если заемщик сумеет полностью выплатить $15 по истечении первого года, тогда, по мнению аналитика, шансы на то, что заемщику удастся выполнить свое обязательство и выплатить $8 по истечении двух лет, составят лишь 1 к 9. В противном случае заемщик выплатит меньше $6. Однако если заемщик выплатит по истечении первого года $10 и при этом даже не предвидится никакой надежды на возмещение недостающих $5, то, по мнению аналитика, шансы на то, что через два года будут выплачены обещанные $8, окажутся приблизительно равными (50 на 50). Если же этого не произойдет, то, по мнению аналитика, вместо $8 будет выплачено $4.

Рисунок 6.7 показывает также вероятность каждой из четырех возможных последовательностей, или траекторий, на «дереве событий». Например, вероятность того, что обе выплаты будут произведены полностью, составляет только 0,04, так как шансы на осуществление первой выплаты составляют всего 40 из 100, а из этих 40 лишь 1 к 10 говорит за то, что окончательный расчет будет произведен полностью. Это дает нам 4 шанса из 100 для данного исхода, вероятность которого равна 0,04.

6.4.4 Математическое ожидание

Нередко, будучи неуверенным относительно результата, аналитик желает (или вынужден) резюмировать ситуацию с помощью одного или двух чисел — одно указывает основную тенденцию распределения исходов, другое служит мерилом релевантного риска (relevant risk). И доход, и риск рассматриваются в последующих главах; оставшаяся же часть данной главы посвящена первой характеристике.

Как же можно получить одно-единственное число, которое должно охарактеризовать всю совокупность возможных результатов? Очевидно, ни один способ не покажется удовлетворительным, если альтернативные результаты различаются качественно (например, Национальная лига против Американской лиги в завоевании первенства по бейсболу). Но если результаты различаются количественно, особенно если они различаются только по одному параметру, то возникает целый ряд возможностей.

По-видимому, самый распространенный прием заключается в том, чтобы выбрать наиболее вероятное значение. Его называют модой (mode) распределения вероятностей (для непрерывного распределения вероятностей мода есть результат с наивысшей плотностью вероятности). Рис. 6.6 показывает моду каждого из распределений. Отметьте, что на рис. 6.6(b) две моды: в данном случае для ответа на заданный вопрос нельзя использовать ни одно отдельно взятое число.

Вторая альтернатива — указать величину, которая с одинаковой вероятностью может оказаться как заниженной, так и завышенной. Она называется медианой (median) распределения вероятностей. Как показано на рис. 6.6, она может существенно отличаться от моды (мод).

Третья альтернатива — использование математического ожидания (expected value), также известного как среднее (mean), т.е. взвешенное среднее всех возможных результатов, с использованием сопутствующих вероятностей в качестве весов. Здесь принимается в расчет вся информация, отраженная в распределении: как величина, так и вероятность реализации каждого возможного результата. Почти всякое изменение перспектив или же вероятностей инвестиции повлияет на математическое ожидание.

В целом ряде случаев никакой разницы между этими тремя показателями нет. Если распределение симметрично (каждая половина — зеркальное отображение другой) и унимодально (существует одно наиболее вероятное ожидание), то медиана, мода и математическое ожидание совпадают, что иллюстрирует пример на рис. 6.6(a). Аналитик, таким образом, может мыслить в терминах, скажем, медианы, даже если искомое число — это математическое ожидание. Только в случаях, когда распределение вероятностей сильно асимметрично (см. рис. 6.6(6)), эта процедура усложняется.

В тех случаях, когда указанные величины различны, можно с полным основанием предпочесть математическое ожидание. Как было отмечено ранее, оно учитывает все оценки. Есть здесь и еще одно преимущество: оценки, касающиеся перспектив ценных бумаг, служат в качестве исходных данных для создания или ревизии портфеля. Математическое ожидание доходности портфеля самым непосредственным образом связано с математическим ожиданием доходности ценных бумаг в портфеле, однако в целом ни медиана, ни мода портфеля не могут быть определены на основе аналогичных характеристик составляющих его ценных бумаг.

В табл. 6.2 приводится пример расчета математического ожидания. Аналитик пробует предсказать, как повлияет на курс двух ценных бумаг неожиданно объявленное выступление президента по телевидению. Аналитик описал ряд возможных заявлений, начиная с изменения положения на Ближнем Востоке и кончая принятием решения относительно государственного дефицита. Альтернативы, приведенные в данной таблице, были определены как взаимоисключающие и взаимоисчерпывающие (т.е. каждая возможная комбинация представлена отдельной строкой). После долгих раздумий и не без некоторого трепета аналитик оценил также вероятность каждого заявления и его конечное воздействие на цены обеих ценных бумаг. В конце концов, аналитик вычислил соответствующие параметры портфеля, включающего по одной акции каждого вида.

Таблица 6.2

Анализ влияния заявлений нв две ценные бумаги и портфель из ценных бумаг

Заявление Вероятность

Прогнозируемый курс ценной бумаги А

Прогнозируемый курс ценной бумаги в

Прогнозируемая стоимость портфеля из бумаг А и В

а 0,10 $40,00

Ь 0,20 42,00

с 0,10 40,50

d 0,25 41,00

е 0,15 38,00

f 0,10 40,50

д 0,05 45,00

h 0,05 40,50

Математические ожидания: $40,73

$62,00 65,00 60,00 61,00 65,00 59,00 58,00 58,00

$61,90

$102,00 107,00 100,50 102,00 103,00

99,50 103,00

98,50

$102,63

КЛЮЧЕВЫЕ ПРИМЕРЫ И ПОНЯТИЯ

Когнитивная психология

іеории оценки рискованных ценных бумаг основаны на предположении существования рациональных инвесторов, чья реакция на возможность получить прибыль или потерпеть убыток предсказуема. Предполагается, что инвесторы оценивают потенциальные инвестиции на основе ожидаемых исходов, вычисленных на основании оценок вероятностей распределений доходностей данных инвестиций. Кроме того, предполагается, что в оценках инвесторов нет систематических ошибок по отношению к «истинному» распределению вероятностей. То есть при изучении потенциальных инвестиций инвесторы не совершают постоянных ошибок в направлении их переоценки или недооценки.

Если подобные предположения относительно рациональности применимы к индивидуальным инвесторам, мы могли бы с полным основанием полагать, что они тем более применимы в отношении институциональных инвесторов. В конце концов, ре-шая проблемы управления портфелем ценных бумаг, институциональные инвесторы пускают в ход мощные аналитические ресурсы. Более того, структуры институциональных инвесторов, ответственные за принятие решений, такие, как персонал всех уровней, комитеты, а также системы опенки достигнутых результатов, призваны стимулировать последовательный и рациональный выбор инвестиций.

Традиционный взгляд на инвесторов как на людей, принимающих объективное решение, долгое время бытовал в академических кругах, не подвергаясь сомнениям. В то время как многие профессиональные инвесторы доказывали, что в инвестировании преобладают чувство страха и алчность, ученые отмахивались от их суждений, как от анекдотических и своекорыстных. Однако сравнительно недавно в научном мире сложилось теоретическое направление, утверждающее, что инвесторы могут реагировать на рискованный выбор не совсем рациональным образом. В своей аргументации оно опирается на область психологии, известную под названием когнитивная психология, которая изучает способность человека к восприятию и вынесению суждений.

Применительно к изучению принятия решения экономического характера, в частности относительно инвестиций, когнитивная психология позволяет сделать несколько весьма любопытных заключений. На самом деле люди, оказывается, вовсе не проявляют последовательности в своих действиях, будучи поставлены перед экономически эквивалентным выбором, если выбор представлен в существенно различных контекстах. Эти различия именуются эффектами контекста. Два видных специалиста в области когнитивной психологии Дэниел Канеман и Эймос Тверски приводят в своей работе простой пример эффектов контекста (см. «The Psychology of Preferences*. Scientific American, January 1982).

Предположим, что вы идете на брод-вейский спектакль, имея на руках билет стоимостью $40. Подойдя к театру, вы обнаруживаете, что потеряли билет. Вы бы заплатили на месте еще $40 за билет? Предположим теперь, что вы собирались приобрести билет на месте. Придя, вы обнаружили, что потеряли по дороге $40. Вы бы все равно купили билет? С экономической точки зрения последствия этих двух ситуаций одинаковы. Вы потеряли $40 и должны решить, потратить ли еще $40. Но вот что интересно: большинство людей покупает билет не в первом, а во втором случае. Очевидно, что люди воспринимают свой выбор по-разному. К потере наличных денег они относятся иначе, чем к потере билета.

Применительно к инвестированию было высказано предположение, что данные эффекты контекста вызывают отклонения от рационального принятия решения. К примеру людн оказывается по-разному реагируют на ситуации, связанные с возможностью получения больших прибылей, и ситуации, сопряженные с риском больших потерь. Иначе говоря, предполагается, что инвесторы предпочтут более рискованную операцию менее рискованной только в том случае, если ожидаемая доходность более рискованной инвестиции превышает ожидаемую доходность менее рискованной. (Эта особенность известна как рисковая осторожность см. гл. 7.) Данное предположение действительно срабатывает в ситуациях, связанных с крупными прибылями. Рассмотрим, к примеру, такую ситуацию: вложив свой капитал в начинающую компанию, вы имеете 90\% шансов заработать $1 млн. и 10\% шансов остаться ни с чем. Отсюда математическое ожидание дохода равняется $900 000f(0,9 х $1 000 000) + + (0,1 х $0)]. Если бы кто-нибудь предложил выкупить ваши акции за $850 000, то, вероятнее всего, вы бы это предложение приняли, поскольку прибыль окажется почти такой же, как вы и ожидали, зато риск куда меньше. Таким образом, вы как инвестор проявите рисковую осторожность.

Теперь рассмотрим ситуацию, сопряженную с большими потерями. Представьте, что вы вложили капитал в другую начинающую компанию. Дела идут плохо, и если так пойдет и дальше, у вас 90\% шансов потерять $1 мли. и только 10\% шансов на то, что дела могут еще выправиться и вы ничего ие потеряете (но и не заработаете). Таким образом, математическое ожидание убытка равняется $900 000 [(0,9 х $1 000 000) + + (0,1 х $0)]. Другой инвестор предлагает перекупить (выкупить) у вас компанию, если вы выплатитеему $850 000, тогда явная потеря составит $850 000. Большинство людей откажутся от этого предложен ия, оставив за собой рискованный выбор, даже если математическое ожидание будет меньше (—$900 000 против $850 ООО), Таким образом, в ситуации, чреватой большими ожидаемыми потерями, люди, как мы видим, не проявляют рисковой осторожности, что свидетельствует о наличии эффекта контекста.

Люди, по-виднмому, также склонны переоценивать вероятность маловероятных событий и недооценивать вероятность событий средней вероятности. Этим можно объяснить такую популярность лотерей. Но данная особенность может непосредственно влиять на иены инвестиций, когда шансы на успех малы, это относится к облигациям и акциям обанкротившихся компаний, начинающих компаний, а также опционов, цены реализации которых намного выше курса соответствующих ценных бумаг.

Эффекты контекста могут быть также связаны и с наблюдающейся тенденцией к чрезмерной реакции инвесторов на плохие и хорошие новости. Так, некоторые исследования показывают, что инвесторы соглашаются платить более высокие цены, если компании сообщают о неожиданно хороших доходах сверх их реального роста. Прямо противоположное наблюдается в компаниях, сообщающих о неожиданно низких доходах.

Насколько наблюдения, сделанные представителями когнитивной психологии, важны при изучении финансовых рынков?

Действительно ли эффекты контекста вызывают рыночные аномалии, порождающие реальные инвестиционные возможности, а то и подрывающие основы общепринятых теорий оценки ценных бумаг? Или же эти эффекты контекста не более чем занимательные рассказы, а их действие подавляется рассудительностью и стремлением к прибыли? Конечно же, в целом поведение инвесторов далеко не иррационально, ибо большие и устойчивые несоответствия между «справедливыми» н рыночными курсами обнаружить трудно. Тем не менее поведенческие наблюдения представителей когнитивной психологии, возможно, будут способствовать лучшему пониманию того, как инвесторы принимают решения, и помогут объяснить некоторую явную неэффективность рынка.

Математические ожидания указаны в нижней части табл. 6.2. Каждое из них получено в результате умножения вероятности каждого заявления на соответствующий курс и последующего суммирования. Например, ожидаемый курс бумаги А определен как [(0,10 х $40,00) + (0,20 х $42,00)+...]; ожидаемый курс бумаги В как [(0,10 х $62,00) + + (0,20 х $65,00) +...]; а ожидаемая стоимость портфеля как [(0,10 х $102,00) + (0,20 х х $107,00) +...]. Неудивительно, что математическое ожидание цены портфеля равняется сумме математических ожиданий курсов составляющих его ценных бумаг. Когда математические ожидания ценных бумаг складываются вместе, вы, по сути прибавляете (0,10 х $40,00 +...) к (0,10 х $62,00 +...). Ясно, что это даст вам математическое ожидание портфеля, которое равно 0,10 х ($40,00 + $62,00) +....

6.4.5 Ожидаемая доходность к погашению против обещанной

Если выплаты по облигации достоверно известны, то разницы между ожидаемой и обещанной доходностью к погашению нет. Однако многие облигации не соответствуют этим стандартам. В этом случае речь может идти о двух видах риска. Во-первых, эмитент может отсрочить некоторые платежи. Текущая стоимость доллара, полученного в отдаленном будущем, конечно же, меньше, чем у доллара, полученного в оговоренный срок. Следовательно, приведенная стоимость облигаций будет тем меньше, чем больше вероятность задержки платежей. Второй вид риска потенциально гораздо серьезнее. Заемщик может не выполнить своих обязательств в целом или частично по выплате процентов или же номинальной стоимости на дату погашения. Когда фирма явно неспособна выполнить такие обязательства, она становится банкротом. Тогда оставшиеся средства распределяются в судебном порядке между разными кредиторами согласно условиям, на которых осуществлена эмиссия долговых обязательств.

Чтобы определить ожидаемую доходность к погашению рискованного долгового обязательства, в принципе необходимо рассмотреть все возможные исходы и вероятность каждого из них в отдельности. Для пояснения этой процедуры можно воспользоваться простым примером, приведенным на рис. 6.7. Предположим, что рассматриваемая ценная бумага стоит $15, т.е. заемщик желает получить сегодня $15, обязуясь взамен выплатить $15 через год и $8 по истечении двух лет. Обещанная доходность к погашению — процентная ставка, которая приравнивает текущую стоимость этих выплат к $15. В данном случае это 38,51\% годовых — цифра поистине внушительная.

Однако, по мнению аналитика, вероятность получения такой доходности к погашению составляет всего 0,04. Табл. 6.3 показывает возможные последовательности событий (траектории на «дереве событий»), а также вероятность реализации и доходность к погашению каждой из них. Ожидаемая доходность к погашению есть ни что иное, как взвешенное среднее этих величин с использованием вероятностей и качестве весов [например, (0,04 х 38,51\%)+(0,36х30,62\%)+(0,30х 13,61\%)+(0,30 х-5,20\%)=15,09\%].

Ожидаемая доходность к погашению значительно меньше, чем обещанная: 15,09\% против 38,51\%. Для анализа инвестиции первая цифра более важна. Это немаловажный момент. Доходность к погашению при обычных вычислениях основана на обещанных выплатах, производимых в оговоренные сроки. Если существует хоть какая-то доля риска, что заемщик не выполнит свои платежные обязательства полностью и вовремя, то ожидаемая доходность к погашению будет меньше этой цифры; и чем больше риск, тем больше разница. Иллюстрацией к этому служит табл. 6.4, показывающая значения обещанной доходности к погашению применительно к шести группам облигаций промышленных компаний, распределенных по степеням риска крупнейшей рейтинговой службой Standard & Poor's. Хотя уровни всех шести доходностей отражают общий уровень процентных ставок на соответствующий момент, разница между ними главным образом обусловлена разницей в степенях риска. Если бы обещанные доходности всех облигаций были одинаковы, то ожидаемые доходности облигаций повышенного риска оказались бы меньше, чем облигаций пониженного риска, — ситуация поистине невероятная. Напротив, более рискованные облигации обещают более высокие доходности, так что их ожидаемые доходности по крайней мере не меньше, чем малорискованных облигаций.

Суть большинства долговых обязательств намного бы прояснилась, если бы контракты были составлены несколько иначе. В настоящий момент стандартная облигация, лишенная каких-либо отличительных признаков, «гарантирует», что заемщик будет выплачивать кредитору, скажем, $90 ежегодно в течение 20 лет, а спустя 20 лет уплатит $1000. Куда уместнее было сделать запись, в которой отмечалось бы, что заемщик обязуется выплачивать не более чем $90 ежегодно в течение 20 лет, а спустя 20 лет уплатит не более $1000.

Таблица 6.3

Первая выплата через год

$15

15

10

10

Вторая выплата через два года

0,04 0,36 0,30 0,30

Доходность к погашению

38,51\%

30,62

13,61

-5,20

Ожидаемая доходность к погашению

15,09\%

Таблица 6.4

Доходность облигации промышленной компании на август 1993 г.

Рейтинг

AAA

АА

А

ВВВ

ВВ

В

Доходность к погашению

6,68\% 7,32 7,80 8,45 9,11 10,57

Источник: Standard & Poor's Bond Guide, September 1993, p. 3.

■^^Н Ожидаемая доходность за период владения

6.5.1 Расчет ожидаемой доходности за период владения

При вычислении доходности к погашению не учитываются изменения в рыночной стоимости ценной бумаги, подлежащей погашению. Это можно понимать в том смысле, что владелец не заинтересован в продаже документа, подлежащего погашению, независимо от того, что будет с его ценой или же с положением дел самого владельца. Эти расчеты не дают возможности удовлетворительно оценить промежуточные выплаты. Если владелец бумаги не хочет расходовать начисленные проценты, он может приобрести еще несколько ценных бумаг. Но количество бумаг, которые могут быть куплены в любое время, зависит от их стоимости на данный период времени, и вот это обстоятельство никак не учитывается при расчете доходности к погашению.

Хотя мало кто оспаривает значимость доходности к погашению как индикатора совокупной доходности облигации, этим ее достоинства и ограничиваются. Для некоторых целей могут больше пригодиться другие характеристики. Более того, есть виды ценных бумаг, не подлежащих погашению; наиболее важным примером служат обыкновенные акции.

Показатель, который может быть использован применительно к любой инвестиции, — это ее доходность за период владения (holdingperiod return). Идея заключается в том, чтобы определить период владения основным капиталом, после чего допустить, что любые выплаты, полученные за этот период, реинвестировали. Хотя подобные допущения могут варьироваться в зависимости от обстоятельств, обычно принято считать, что любая выплата, полученная по ценной бумаге (например, дивиденд по акции, купонный платеж по облигации), используется для дальнейшего приобретения ценных бумаг по текущему рыночному курсу. Такая процедура позволяет дать оценку бумаги путем сравнения ее стоимости, полученной в конце периода владения, с первоначальной стоимостью. Эта относительная стоимость (value-relative) может быть преобразована в доходность за период владения, если отнять от нее единицу1:

_ Стоимость на конец периода владения hp Стоимость на начало периода владения

Доходность за период владения можно преобразовать в эквивалентную доходность за единичный период. С учетом эффекта начисления сложного процента соответствующая величина определяется из соотношения:

(1 + г)" = 1 + г.,

или

'-, = (! + \%YISI.

где Л' - количество единичных промежутков за период владения; /•„. ■ доходность за период владения; г - эквивалентная доходность за один период.

Представим, что акции, стоившие $46 за штуку в начале первого года, принесли за этот год дивиденды в размере $1,50, в конце года стоившие $50, принесли в следующем году дивиденды в размере $2 и к концу второго года котировались уже по курсу $56. Какова же доходность акций за период владения в два года?

Чтобы упростить расчеты, предположим, что все выплаты дивидендов были произведены в конце года. Тогда на означенные $1,50, полученные в течение первого года, можно было купить в конце этого года 0,03 ($1,50/$50) акции. Разумеется, на практике это было бы осуществимо, только если бы деньги были объединены с другими аналогично вложенными ценными бумагами, например, во взаимный фонд (дивиденды по 100 акциям могли бы использоваться для покупки трех дополнительных акций). Как бы то ни было, по каждой акции, приобретенной первоначально, инвестор мог бы получить за второй год дивиденды в размере $2,06 (1,03 х $2) и к концу второго года располагать акционерным капиталом стоимостью $57,68 (1,03 х $56). Конечная стоимость составила бы, таким образом, $59,74 ($57,68 + $2,06), отсюда относительная стоимость будет равна:

l^Zi= 1,2987. 46,00

Доходность за период владения составила, таким образом, 29,87\% за два года. Это эквивалентно (1,2987)1/2 1 = 0,1396, или 13,96\% годовых.

При альтернативном методе вычисления показатели определяются как аналогичные величины за отдельные периоды. Например, если V0 — первоначальная стоимость, Vl — стоимость в конце первого года, К, — стоимость в конце второго года, то:

V V V

_! = _1х_

V V V •о у *о

Более того, нет никакой необходимости увеличивать число акций от одного периода к другому, поскольку данный фактор (1,03 в приведенном примере) просто сокращается в соотношениях, относящихся к последующим периодам. Каждый период можно проанализировать отдельно, вычислить соответствующую величину, а затем их перемножить.

В нашем примере обладание в течение первого года акциями с первоначальной стоимостью $46 привело в конце года к получению акций и денег на сумму $50 + $1,50. Таким образом:

YJ-J*W =1,1196. К0 $46,00

К концу второго года обладания акциями первоначальной стоимостью $50 было получено акций и денег на сумму $56 + $2. Таким образом:

К, $50

Тогда относительная стоимость для двухгодичного периода владения будет равна:

1,1196 х 1,16 =1,2987,

что равняется стоимости, полученной ранее.

Относительную стоимость каждого периода можно рассматривать как [1 + доходность] за этот период. Таким образом, доходность анализируемого акционерного капитала составила 11,96\% за первый год и 16\% за второй. Относительная стоимость за период владения есть произведение сомножителей вида [1 + доходность] за единичный период. Если речь идет об N периодах, то: -JL = (l+rl)(l+r2)...(l+/-JV).

ч>

Чтобы преобразовать полученный результат в доходность за время владения в расчете на один период с учетом начисления сложных процентов, вы можете вычислить среднегеометрическую доходность (geometric mean return) за отдельные периоды:

I +';=[(! +',)(! + гг)...{ + rJY<».

На этой общей основе можно производить и более сложные расчеты. Каждая выплата дивидендов может использоваться для приобретения акций немедленно по получении или же, наоборот, может быть оставлена на сберегательном счете до конца периода в целях получения процентов. Можно также учитывать брокерскую комиссию (за совершение сделки) и другие расходы, связанные с реинвестированием дивидендов, хотя размеры таких расходов, несомненно, будут зависеть от общего объема рассматриваемых вложений. Приемлемая степень сложности будет, как всегда, зависеть от того, в каких целях исчисляются эти характеристики.

К сожалению, наиболее подходящий период владения зачастую столь же неопределен, как и доходность для заданного периода владения. Ни положение дел инвестора, ни его предпочтения, как правило, не могут быть предсказаны с определенностью. Более того, с точки зрения стратегии управляющий портфелем клиента хотел бы держать данную ценную бумагу только до тех пор, пока она превосходит по своим показателям имеющиеся альтернативы. Попытки заранее установить периоды редко приносят полный успех, однако менеджеры (и это вполне естественно) не оставляют этих попыток. Доходность за период владения, так же как и доходность к погашению, является полезным способом упрощения сложной реальности инвестиционного анализа. Не являясь универсальным средством, она позволяет аналитику сфокусировать свое внимание на наиболее подходящем в данной ситуации временном промежутке и дает ему в руки хороший критерий.

6.5.2 Оценка ожидаемой доходности за период владения

Вычислить доходность за период владения задним числом не так уж и сложно. Совсем другое дело — определить ее заблаговременно. Тут необходимо учитывать любую неопределенность, связанную с выплатами по ценной бумаге, осуществляемыми эмитентом в течение периода владения. Однако это, как правило, намного проще, чем вычислить рыночные стоимости в конце периода владения, которые нередко определяют большую долю совокупной доходности. К примеру, может показаться, что предсказать доходность на следующий год по акциям Xerox очень просто. Действительно, предсказать размеры выплачиваемых дивидендов зачастую сравнительно легко. Но стоимость в конце года будет зависеть от отношения инвесторов к данной компании и ее акциям к этому времени. Для того чтобы предсказать доходность даже за одногодичный период, придется рассмотреть период куда более длительный и определить не только будущее компании, но и будущее отношение инвесторов к ней, что крайне сложно.

Совершенно очевидно, что при определении доходности за период владения необходимо так или иначе учитывать фактор неопределенности. Если требуется одна-единственная оценка, то она должна удовлетворять вышеизложенным принципам. Несомненно, что ожидаемая величина должна быть получена при рассмотрении различных возможностей наряду с их вероятностями. Более конкретно, ожидаемая доходность за период владения ценной бумагой исчисляется как средневзвешенное возможных доходностей за период владения с использованием вероятностей в качестве весов2.

Ожидаемая доходность и оценка ценных бумаг

Существует весьма простая взаимосвязь ожидаемой доходности за период владения, ожидаемой стоимости в конце периода и текущей стоимости:

Ожидаемая доходность _ Ожидаемая стоимость в конце периода _

за период владения ~ Текущая стоимость

Таким образом:

^ Ожидаемая стоимость в конце периода

Текущая стоимость =

I + Ожидаемая доходность за период владения

Итак, для того чтобы определить стоимость ценной бумаги, необходимо оценить ожидаемую стоимость в конце периода владения и ожидаемую доходность за период владения, которая является подходящей для данной ценной бумаги.

Заключительная фаза — решающая. Что такое подходящая ожидаемая доходность и от чего она зависит? Оставшаяся часть теории оценки ценных бумаг посвящена этому вопросу.

Краткие выводы

Оценка рискованных ценных бумаг включает в себя явный и неявный анализ обстоятельств, обусловливающих платеж по этим бумагам.

Обусловленный платеж — это гарантированный поток денежных средств, который будет иметь место в том и только в том случае, если возникает определенное обстоятельство (или совокупность обстоятельств).

Стоимость рискованной ценной бумаги можно было бы вычислить, суммируя взносы, соответствующие страховым полисам на каждый обусловленный платеж, если бы такие полисы существовали в действительности.

Поскольку возможности применения подхода с использованием страховых полисов весьма ограничены, для инвестиционных целей чаще всего применяется метод оценки рискованных ценных бумаг, основанный на соотношении «риск—доходность».

Вероятностное прогнозирование включает в себя определение различных альтернативных результатов и вероятностей того, что они будут достигнуты. Такие прогнозы могут быть сделаны только на основе прошлых наблюдений или же путем сочетания наблюдений в прошлом с оценками будущего.

Распределения вероятностей отражают (в числах или графически) вероятности достижения различных возможных результатов.

«Дерево событий» описывает вероятности достижения последовательности альтернативных результатов.

Математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода служат характеристиками основной тенденции распределения вероятностей. В целом, математическое ожидание является наиболее предпочтительной характеристикой, так как учитывает все возможные результаты и соответствующие им вероятности.

Ожидаемая доходность к погашению облигации будет отличаться от обещанной в том случае, если хотя бы один из платежей по облигации имеет вероятностный характер. Разница будет варьировать в прямой зависимости от степени неопределенности этих платежей.

10. Ожидаемая доходность ценной бумаги за период владения представляет собой отношение математического ожидания всех денежных поступлений, связанных с данной бумагой за данный период времени (при условии реинвестирования указанных денежных поступлений по предполагаемой процентной ставке), к текущему рыночному курсу ценной бумаги.

Вопросы и задачи

Один из самых крупных букмекеров в Лас-Вегасе принял в марте ставки на те команды, у которых был шанс попасть на первенство страны по бейсболу. К примеру, вы могли поставить $10 на Minnesota Twins, полагая, что именно она будет представлять на первенстве Американскую лигу. Если бы эта команда действительно попала на первенство страны, выигрыш при такой ставке составил бы $1500, в противном же случае он бы равнялся нулю. Выигрыши при ставке в $1 на все команды основной категории Американской лиги составляли:

Команда Выигрыш при ставке $1

Chicago White Sox $180 Cleveland Indians 210 Kansas City Royals 60 Milwaukee Brewers 250 Minnesota Twins 150

а. Какова была приведенная стоимость $1, обусловленная событием: «Twins попадут на первенство страны»?

б. Какова была приведенная стоимость $1, обусловленная событием: «Brewers попадут на первенство страны»?

в. Почему ответы в пунктах (а) и (б) различны?

г. Если бы кто-нибудь предложил вам $1, когда любая команда Американской

лиги попадет на первенство страны, сколько бы вы заплатили за такую ставку

(«ценную бумагу»)? Будь вы абсолютно уверены в том, что одна из этих команд

попадет на первенство страны, дали бы вы другой ответ? Если да, то почему?

Mondovi Optical — мелкая фирма. Ее владелец Талли Спаркс обратился к местному банку с просьбой предоставить фирме двухгодичную ссуду размером $25 ООО. Государственное управление по делам мелких фирм готово полностью гарантировать такую ссуду за $1000 комиссионных. Если безрисковая двухгодичная процентная ставка равна 5\% в год, то какова будет процентная ставка, которую банк должен назначить для Mondovi"?

Почему при оценке рискованных ценных бумаг подход, связанный со страховыми полисами, так трудно применить на практике?

С позиции страховой компании приведите два примера неблагоприятного отбора и два примера морального риска.

Укажите, в чем различие между непрерывными и дискретными распределениями вероятностей.

В чем состоят преимущества и недостатки использования прошлых результатов инвестиций при оценке вероятностей достижения ожидаемых результатов для инвестиций в будущем?

Средняя годовая доходность обыкновенных акций с 1926 по 1993 г. по индексу S&P 500 составила 12,34\%. Если 1 января 1994 г. вам бы потребовалось дать оценку ожидаемой доходности на индекс S&P 500 в следующем году, остановились бы вы на цифре 12,34\%? Если да, то почему? Если нет, то почему?

Какое значение имеет «дерево событий» для принятия решений по инвестициям?

Возьмите для рассмотрения компанию Fort McCoy, акции которой в настоящий момент стоят $10 за штуку. Доуд Паскерт, специалист в области финансов, определил потенциальные курсы акций в конце года и сопутствующие вероятности для двух последующих лет:

Первый год Акции имеют 30\% шансов подняться до $20, 60\% шансов подняться до $12 и 10\% шансов упасть до $8.

Второй год Если акции поднимутся за первый год до $20, у них будет 50\% шансов подняться до $25 и 50\% шансов упасть до $15. Если акции поднимутся за первый год до $12, у них будет 70\% шансов подняться до $15 и 30\% шансов упасть до $10. Если акции упадут за первый год до $8, у них будет 40\% шансов упасть до $4 и 60\% шансов подняться до $12.

а. Нарисуйте «дерево событий» применительно к акциям компании Fort McCoy.

второго года.

Вычислите ожидаемую доходность, моду и медиану доходности акций, характеризующиеся следующим распределением вероятностей:

П. Фирма Bear Tracks Schmitz определила следующее распределение вероятности выплаты дивидендов по акциям Mauston Inc. в будущем году. Каково, по оценке Bear Tracks, математическое ожидание дивиденда этой компании?

Распределение вероятностей на рис. 6.6(6) «смещено вправо». Объясните, почему математическое ожидание распределения больше, чем медиана, которая в свою очередь больше моды.

Дьюпи Шоу, специалист по ценным бумагам с фиксированным доходом, рассматривает облигацию, выпущенную корпорацией Wyeville. Срок погашения облигации — один год, после чего корпорация обязуется выплатить $100. Ее текущий курс составляет $90. Дьюпи Шоу полагает, что Wyeville может и не выплатить полностью $100 в конце года. Дьюпи оценил следующее распределение вероятностей для размеров платежей по итогам года:

Выплата Вероятность

$82 0,05 90 0,10 95 0,30 98 0,30

100 0,25

Какова, по оценке Дьюпи Шоу, ожидаемая доходность к погашению облигации Wyevillel

Если инвестиция приносит 7\% годовых, сколько времени потребуется на то, чтобы стоимость инвестиции удвоилась?

Пол Перрит приобрел 100 акций Waunakee Inc. и держал эти акции в течение четырех лет. Доходности за период владения за эти четыре года составили:

Год Доходность

+20\%

+30

+50

-90

а. Какова относительная стоимость инвестиций Пола Перрита за четырехлетний период?

в. Какова среднегеометрическая доходность его инвестиции за четырехлетний период?

Акции Stoughton Services стоят в настоящий момент $40. Ожидается, что выплата по ним в течение нескольких последующих лет составит $2 в год. Только что был выплачен дивиденд. Пинки О'Нил предполагает, что через два года акции Stoughton поднимутся до $50. Реинвестиционная ставка составит 5\%. Какова при таком ожидаемом результате эквивалентная годовая доходность от обладания этими акциями в течение двухлетнего периода?

Определите, в чем состоит разница между ожидаемой доходностью за период владения и доходностью к погашению.

Примечания

1 Термин «относительная цена» (price-relative) обозначает отношение курса ценной бумаги в данный день к курсу на предшествующий день. Это отношение совпадаете относительной стоимостью, если между этими двумя указанными днями не имели место успешные поступления, связанные с этой ценной бумагой.

2 Ожидаемая доходность является также математическим ожиданием доходов за период владения, отсюда название подхода «вариация средней», которая является краеугольным камнем в современной теории инвестиционного портфеля.

Ключевые термины

полный рынок

метод предпочтения состояния

неблагоприятный отбор

моральный риск

мода

медиана математическое ожидание среднее

доходность за период владения относительная стоимость относительная цена

Рекомендуемая литература

Метод предпочтения состояния был развит двумя лауреатами Нобелевской премии по экономике, см.:

Gerard Debreu, Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium (New York: John Wiley, 1959).

Kenneth J. Arrow, «The Role of Securities in the Optimal Allocation of Risk-Bearing», Review of Economic Studies, 31, no. 86 (April 1964), pp. 91-96.

Обсуждение применения метода предпочтения состояний к финансам см. в работе:

Thomas Е. Copeland and J. Fred Weston, Financial Theory and Corporate Policy (Reading, MA: Addison-Wesley, 1988), Chapter 5.

Co статистической концепцией, обсужденной в этой главе, можно познакомиться в простейшем учебнике статистики, таком, как:

James Т. McClave and P. George Benson, Statistics for Business and Economics (San Francisco: Dellen, 1991).