7.4.7 ожидаемая доходность
7.4.7 ожидаемая доходность
Исходя из подхода Марковица к инвестициям, инвестор должен обратить особое внимание на конечное (в конце периода) благосостояние Wy Это означает, что, принимая решение, какой портфель приобрести, и используя свое начальное (в начале периода) благосостояние Wu, инвестор должен обратить особое внимание на эффект, который различные портфели оказывают на Wv Этот эффект может быть выражен через ожидаемую доходность и стандартное отклонение каждого портфеля.
Как было отмечено ранее, портфель представляет собой набор различных ценных бумаг. Таким образом, кажется логически правильным, что ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля должны зависеть от ожидаемой доходности и стандартного отклонения каждой ценной бумаги, входящей в портфель. Также кажется очевидным, что значительное влияние оказывает то, какая часть начального капитала была инвестирована в данную ценную бумагу.
Для того чтобы показать, как ожидаемая доходность портфеля зависит от ожидаемой доходности индивидуальных ценных бумаг и части начального капитала, инвестированного в эти ценные бумаги, рассмотрим портфель, состоящий из трех ценных бумаг, представленный в табл. 7.2(a). Предположим, что инвестор имеет период владения, равный одному году, и на этот период он провел оценку ожидаемой доходности по акциям Able, Baker и Charlie, которые составили 16,2, 24,6 и 22,8\% соответственно. Это эквивалентно заявлению, что инвестор оценил стоимость акций этих трех компаний на конец периода, которая составила соответственно $46,48 (потому что ($46,48 — $40)/ $40 = 16,2\%), $43,61 (потому что ($43,61 $35)/$35 = 24,6\%) и $76,14 (потому что ($76,14 — $62)/$62 = 22,8\%)8. Кроме того, предположим, что начальное благосостояние инвестора составляет $17 200.
Использование стоимостей на конец периода
Ожидаемая доходность портфеля может быть вычислена несколькими способами, все они дают один и тот же результат. Рассмотрим метод, приведенный в табл. 7.2(6). Этот метод включает вычисление ожидаемой цены портфеля в конце периода и использование формулы для вычисления уровня доходности, которая была приведена в гл. 1. Таким образом, начальная стоимость портфеля (И^) вычитается из ожидаемой стоимости портфеля в конце периода (И^ ) и затем эта разность делится на начальную стоимость портфеля (IV0), результатом этих операций является ожидаемая доходность портфеля. Хотя в примере, приведенном в табл. 7.2(6), используются три ценные бумаги, эта процедура может быть применена для любого количества ценных бумаг.
Использование ожидаемой доходности ценных бумаг
Альтернативный метод вычисления ожидаемой доходности портфеля приведен в табл. 7.2(b). Эта процедура включает вычисление ожидаемой доходности портфеля как средневзвешенной ожидаемых доходностей ценных бумаг, являющихся компонентами портфеля. Относительные рыночные курсы ценных бумаг портфеля используются в качестве весов. В виде символов общее правило вычисления ожидаемой доходности портфеля, состоящего из /V ценных бумаг, выглядит следующим образом:
N
гр=-ЦХ(7-За) = Л г, +Х2 г2+ ... +XN rN, (7.36)
где rf - ожидаемая доходность портфеля;
X, - доля начальной стоимости портфеля, инвестированная а ценную бумагу і:
г. — ожидаемая доходность ценной бумаги і
N - количество ценных бумаг в портфш.
Таблица 7.2
(б) Вычисление ожидаемой доходности портфеля с использованием стоимости
на конец периода
Наименование Количество ценной бумаги акций в
портфеле
Able 100
Baker 200
Charlie 100
Ожидаемая стоимость одной акции в конце периода
$46,48
43,61
76,14
Совокупная ожидаемая стоимость а конце периода
$46,48 х 100 = $4648 $43,61 х 200 = 8722 $76,14 х 100 = 7614
Ожидаемая стоимость портфеля в конце периода = И/, = $20 984
Ожидаемая доходность портфеля = гр = ($20 984 $17 200)/$17 200 = 22,00\%
Таким образом, вектор ожидаемой доходности (expected return vector) может быть использован для вычисления ожидаемой доходности любого портфеля, состоящего из N ценных бумаг. Вектор состоит из одной колонки цифр, где в /-ой строке находится ожидаемая доходность /-ой ценной бумаги. В предыдущем примере вектор ожидаемых доход-ностей был оценен инвестором следующим образом:
Строка 1 Строка 2 Строка 3 16,2\% 24,6\% 22,8\%
где элементы в 1, 2 и 3-й строках обозначают ожидаемые доходности 1, 2, и 3-й ценной бумаги соответственно.
Так как ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенные ожидаемые доходности ценных бумаг, то вклад каждой ценной бумаги в ожидаемую доходность портфеля зависит от ее ожидаемой доходности, а также от доли начальной рыночной стоимости портфеля, вложенной в данную ценную бумагу. Никакие другие факторы не имеют значения. Из уравнения (7.3а) следует, что инвестор, который просто желает получить наибольшую возможную ожидаемую доходность, должен иметь портфель, состоящий из одной ценной бумаги, той самой, у которой ожидаемая доходность наибольшая. Очень небольшое число инвесторов поступает таким образом, и очень небольшое число консультантов по инвестициям посоветует проводить такую экстремальную политику. Вместо этого инвесторы должны диверсифицировать портфель, т.е. их портфель должен содержать более одной ценной бумаги. Это имеет смысл, так как диверсификация может снизить риск, измеряемый стандартным отклонением.
7.4.2 Стандартное отклонение
Полезная мера риска должна некоторым образом учитывать вероятность возможных «плохих» результатов и их величину. Вместо того чтобы измерять вероятности различных результатов, мера риска должна некоторым образом оценивать степень возможного отклонения действительного результата от ожидаемого. Стандартное отклонение — мера, позволяющая это сделать, так как она является оценкой вероятного отклонения фактической доходности от ожидаемой.
Может показаться, что простая мера риска в лучшем случае является очень грубой суммой «плохих» возможностей. Но в наиболее типичной ситуации стандартное отклонение является в действительности очень хорошей мерой степени неопределенности оценки перспектив портфеля. Наилучшим примером является случай, когда распределение вероятностей (probability distribution) доходности портфеля может быть аппроксимировано известной кривой, имеющей форму колокола, которая носит название нормального распределения (normal distribution). Это часто рассматривается как правдоподобное предположение при анализе доходности диверсифицированных портфелей, когда изучаемый период владения относительно короток (например, квартал или менее).
В результате возникает вопрос о стандартном отклонении, как о мере риска: зачем вообще учитывать «счастливые неожиданности» (т.е. случаи, когда доходность превышает ожидаемую) при измерении риска? Почему бы просто не рассмотреть отклонения ниже ожидаемой доходности? Меры риска, при которых поступают таким образом, имеют достоинства. Однако результат будет тем же самым, если вероятностное распределение симметрично как при нормальном распределении. Почему? Потому что левая часть симметричного распределения является зеркальным отображением правой части. Таким образом, перечень портфелей, упорядоченный на основе «риска снижения курса», не будет отличаться от перечня, упорядоченного на основе стандартного отклонения, если доходность нормально распределена9.
КЛЮЧЕВЫЕ ПРИМЕРЫ И ПОНЯТИЯ
Альтернативные меры риска
Фактически все учебники по инвестированию (данный не представляет исключения) определяют инвестиционный риск портфеля как изменчивость доходности, которая измеряется стандартным отклонением (дисперсией) распределения доходности портфеля. Это определение доминирует в педагогике, что отражает академическую практику и в меньшей степени практику тех профессионалов по инвестициям, которые ограничиваются применением количественной техники управления портфелем.
Если попросить среднестатистического человека с улицы определить, что такое инвестиционный риск, то он однозначно сошлется на возможность того, что случится что-нибудь плохое. Если сказать данному человеку, что риск некоторым образом связан с возможной вероятностью хороше-го резульгата. он почти наверняка отнесется к этим словам с недоверием.
Если сразу видно, что определение риска из учебников оказывается довольно далеким от интуитивного чувства риска, по-['ШЩ;Ш тогда определение риска как «стандартною отклонения» так часто доминиру ; ет в инвестиционных исследованиях? Далее, почему все альтернативные меры риска, напрямую связанные с вероятностью; возникновения нежелательных исходов, не были широко изучены и рассмотрены?
Прямым ответом на первый вопрос является тот факт, что стандартное отклонение является гораздо более простым в вы-■'■аді^евд*іі»:.^Ш^ЗШЙ! .Щьтернатйвная мера. Формирование и исследование различных ириниипов и нвестиционного риска и доход -ности обычно проше проводить, используя стандартное отклонение как меру риска. Например, Гарри Марковий изначально (в первой своей работе по эффективным наборам (см. гл. 7—9)) предполагал, что мера риска включает в себя только негативные результаты. В дальнейшем он отказался от этого подхода в пользу стандартного отклонения, MMislsfe чтобы упростить вычисления. ■';:'[
Среднестатистический человеке улицы интуитивно її о ннмаст, что н анбол ьшей проблемой со стандартным отклонением явля-ется то. что оно представляет в невыгодном свете инвестиции с преобладанием положительных отклонений от ожидаемой доходности. Мы предполагаем, что инвестор не любит рисковать. Поэтому если мы при определении риска не различаем плохие и хорошие результаты, тогда наша опенка награды за риск при инвестировании будет снижать привлекательность инвестиций, способных пре-иоднести радостные сюрпризы к той же степени, к какой она учитывает их способность преподнести огорчительные сюрпризы.
Все эти заключения являются спорными в том случае, когда доходность инвестиций подчиняется симметричному распределению, например в случае нормального распределения (или кривой, имеющей форму колокола). В этом случае вероятность того, что положительный результат находится на заданном расстоянии от центра распределения, так же велика, как и вероятность того, что отрицательный результат находится на равном расстоянии от центра в противоположном направлении. Тот факт, что результаты, превышающие ожидаемую стоимость, включаются в расчеты вместе с результатами, недостигающими ожидаемой стоимости, не имеет значения. Стандартное отклонение суммирует «плохую» часть распределения доходности инвестиций.
Однако что будет, если доходность инвестиций не является нормально распределенной? Для примера мы может рассмотреть ситуацию, когда доходность обыкновенных акций не удоволетворяет данному предположению. Допустим, что инвестор на рынке обыкновенных акций столкнулся с ограниченной ответственностью (см. гл. 17). Самое большое, что он может потерять в данном случае, это первоначальные инвестиции. При этом потенциальный выигрыш от повышения ие ограничен. Наконец, ожидается падение большинства доходностей по обыкновенным акциям до среднего рыночного значения. То, что мы только что описали, носит название распределения, смещенного вправо по отношению к нормальному. Стандартное отклонение недостаточно характеризует риск «смещенной вправо» ценной бумаги, так как при этом игнорируется тот факт, что большая часть изменчивости ценной бумаги приходится на «хорошую» сторону ожидаемой доходности ценной бумаги.
Интересно, что простыми математическими действиями можно свести смещенное вправо распределение к нормальному. Если прибавить 1,0 к доходности ценной бумаги, а затем вычислить натуральный логарифм этого значения, тогда получившееся преобразованное распределение доходности может оказаться нормальным. Поэтому исследователи часто интересуются тем, удовлетворяет ли доходность ценной бумаги «логнормаль-ному» распределению более, чем нормальному распределению. Хотя эмпирическое доказательство может быть оспорено, большинство экспертов рассматривает «логнормаль-ность» как адекватную характеристику доходности обыкновенных акций.
К сожалению, доходность на некоторые виды ценных бумаг не является нормально или «логнормадьно» распределенной. Самым простым примером являются опционы (см. гл. 20). Например, опцион на покупку позволяет его владельцу получать прибыль в случае положительной доходности соответствующей акции, но в то же время избегать убытков в случае ее отрицательной доходности. По существу, опцион на покупку отсекает распределение доходности акций в той точке, где начинаются потери. Инвестору,: таким образом, принадлежит только «хорошая», или правая, сторона в распределении доходности. Соответственно доходность опциона на покупку по определению не является нормально распределенной.
Кроме того, некоторые ценные бумаги имеют включенные в них опционы. Например, отзывные облигации (см. гл. 14) позволяют эмитентам/осуществить их погашение по своему усмотрению. Они делают это только тогда, когда процентная ставка изменяется в их пользу. Жилищная ипотека (см. гл. Н) имеет похожие свойства по предоплате. Поэтому ее доходность также не является нормально распределенной.
Если мы хотим при определении и измерений риска принять во внимание только вероятность нежелательных результатов инвестирования, то какие альтернативы (стандартному отклонению. Ред.) возможны? Простейшим ответом является вероят-ность "недобора». Она измеряет шансы на то, что доходность ценной бумаги окажется Ниже ожидаемой доходности. По существу, это доля вероятностного распределения, лежащая слева от ожидаемой доходности.
Более сложные измерения риска получения доходности ниже ожидаемой производятся с помощью семейства статистических данных, известных как частичные моменты таких порядков. Например, средний недобор измеряет среднее отклонение доходности ценной бумаги вниз от ожидаемой доходности. Средний недобор является более полезным, чем вероятность недобора, так как он принимает во внимание величину каждого отрицательного отклонения. В то время как вероятность недобора показывает нам только, насколько вероятно, что доходность ценной бумаги может упасть ниже ожидаемой доходности, средний недобор показывает, какова может быть величина уменьшения относительно ожидаемой доходности.
Полудисперсия является аналогом дисперсии, но в ее вычислении используются только те возможные доходности, которые лежат ниже ожидаемой доходности. Так как полудисперсия является среднеквадратичным отклонением вниз от ожидаемой доходя осги. ОНа Снижает прийлекатетьность пенных бумаг с относительно высоким потенциальным, недобором:
Применительно к ценным бумагам, доходность по которым имеет распределение, отличающееся от нормального (и «догнор-мольного»},: эти измер ители риска не толь ко более приемлемы интуитивно, но и более гибки, чем традиционные измерители риска; Стандартное отклонение измеряется на основе средней величины распределения доходности. Однако инвестор может захотеть оценить и нвестп ни и. и с под ьзуя какую-либо величину как цель, например доходность на индекс рынка, или просто число, такое, как 0\%. Измеритель риска понесения убытков может учитывать все эти предпочтения.
Однако использование измерителей риска понесения убытков создает некоторые проблемы. В частности, они игнорируют возможность получения результатов, превышающих целевую доходность. Альтернативой использования этих измерителей риска является прямой учет смещенности при оценке инвестиций. В качестве альтернативы мы можем предположить, что инвестор анализирует потенциальные инвестиции, не только исходя из их ожидаемых доходностей и стандартных отклонений, но и с точки зрения величины их смешения вправо. В сущности, риск становится многомерным, так как он включает и стандартное отклонение, и смещенность. Есди две инвестиции имеют одинаковую ожидаемую доходность и одинаковое стандартное отклонение, то предпочтение отдается инвестиции, наиболее смещенной вправо. ,
Ни от одной меры риска нельзя ожидать, что она будет показывать точные результаты в любых обстоятельствах. Стандартное отклонение доказало свою эффективность в большинстве ситуаций, с которыми сталкиваются практики. В тех случаях, когда оно не является адекватной мерой, альтернативы должны рассматриваться не только в свете того, как хорошо они описывают распределение доходности, но и с точки зрения сложностей, которые они вносят в анализ.
Формула для вычисления стандартного отклонения
Теперь рассмотрим, как вычисляется стандартное отклонение портфеля. Для портфеля, состоящего из трех ценных бумаг (Able. Baker и Charlie), формула выглядит следующим образом:
з з
1/2
'7
(7.4)
где о(7 обозначает ковариацию (covariance) доходностей ценных бумаг / и j. Ковариация
Что такое ковариация? Это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных. То есть это мера того, насколько две случайные переменные, такие, например, как доходности двух ценных бумаг / и j, зависят друг от друга. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной из ценных бумаг должна, вероятно, повлечь за собой лучшую, чем ожидаемая, доходность другой ценной бумаги. Отрицательная ковариация показывает, что доходности имеют тенденцию компенсировать друг друга, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной ценной бумаги сопровождается, как правило, худшей, чем ожидаемая, доходностью другой ценной бумаги. Относительно небольшое или нулевое значение ковариации показывает, что связь между доходностью этих ценных бумаг слаба либо отсутствует вообще.
Корреляция
Очень близкой к ковариации является статистическая мера, известная как корреляция. На самом деле, ковариация двух случайных переменных равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:
ент корреляции нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами случайных переменных.
Коэффициент корреляции всегда лежит в интервале между —1 и +1. Если он равен — 1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если +1 — полную положительную корреляцию. В большинстве случаев он находится между этими двумя экстремальными значениями.
Рисунок 7.6 (а) представляет собой точечную диаграмму доходностей гипотетических ценных бумаг А и 5, когда корреляция между двумя этими ценными бумагами полностью положительна. Заметим, что все точки лежат на прямой наклонной линии, идущей из левого нижнего квадранта в правый верхний. Это означает, что когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, тогда и другая ценная бумага имеет относительно высокую доходность. Соответственно, когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно низкую доходность, тогда и другая имеет относительно низкую доходность.
Однако корреляция между доходностями двух различных ценных бумаг будет абсолютно отрицательной, когда точечная диаграмма показывает, что точки лежат именно на прямой наклонной линии, идущей из левого верхнего квадранта в правый нижний, как это показано на рис. 7.6 (б). В данном случае можно сказать, что доходности двух ценных бумаг изменяются противоположно друг другу. То есть когда одна из ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, другая имеет относительно низкую доходность.
Особый случай возникает, когда точечная диаграмма доходности ценных бумаг показывает разброс точек, который даже приблизительно не может быть представлен
прямыми наклонными линиями. В таком случае делается вывод о некоррелированности доходностей, т.е. о равенстве нулю коэффициента корреляции. Рис. 7.6 (в) представляет данный пример. В такой ситуации, когда одна из ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, другая может иметь и относительно высокую, и относительно низкую, и среднюю доходности.
Двойное суммирование
Рассматривая, что такое ковариация и корреляция, очень важно понимать, как производится двойное суммирование, используемое в уравнении (7.4). Хотя существует много способов двойного суммирования, приводящих к одному и тому же результату, один из способов, возможно, представляется более подходящим, чем другие. Он начинается с первого суммирования и присвоения / значения 1. Затем выполняется второе суммирование с последовательным присвоением j значений от 1 до 3. В этот момент / в первом суммировании увеличивается на 1, следовательно, теперь / = 2. Опять производится второе суммирование для всех j от I до 3, но только теперь / = 2. Далее / в первом суммировании увеличивается на 1, т.е. / = 3. Затем еще раз выполняется второе суммирование для всех j от 1 до 3. В данный момент нужно заметить, что / и j достигли своего верхнего предела, равного 3. Это означает, что настало время остановиться, так как двойное суммирование уже закончено. Этот процесс может быть представлен алгебраически следующим образом:
1/2
2XjC2j +
5>з*у<
з;
(7.6а)
= ІХ Х °11 + Х Х2 °12 + Х Х1 °13 +
+ Х2 Хх а,| + Х2 Х2 о22 + Х2 Х3 а23 + + X3Xla3l +XlX1on+X,XloJn.
(7.66)
Каждый член двойной суммы включает в себя произведение весов двух ценных бумаг, I и I, и ковариации этих двух ценных бумаг. Заметим, что нужно сложить девять членов, для того чтобы вычислить стандартное отклонение портфеля, состоящего из трех ценных бумаг. То, что количество членов, которые нужно просуммировать (9), равно числу ценных бумаг, возведенному в квадрат (З2), не является простым совпадением.
В общем случае вычисление стандартного отклонения портфеля, состоящего из 7V ценных бумаг, требует двойного суммирования N ценных бумаг, для чего необходимо сложить N2 членов:
V2
(7.7)
/=і j'=i
Интересное свойство двойных сумм проявляется, когда индексы / и j относятся к одной ценной бумаге. В уравнении (7.6) такая ситуация возникает в первом (XiXlau), пятом (Х2Х2а22) и девятом (Х}Х}ап) членах. Что же это означает, если индексы при вычислении ковариации относятся к одной ценной бумаге? Например, рассмотрим первую ценную бумагу (Able) и случай, когда і = j = 1. Так как аи обозначает ковариацию ценной бумаги номер один (Able) с ценной бумагой номер один (Able), уравнение (7.5) имеет вид:
°ii = PiiCTiai<7-8)
Так как мы имеем корреляцию ценной бумаги с самой собой, то можно показать, что рп равен +110. Это означает, что уравнение (7.8) приводится к следующему виду:
О,, = 1 XOj X о, = of ,
что является стандартным отклонением ценной бумаги, возведенным в квадрат, известным как дисперсия ценной бумаги. Таким образом, в двойном суммировании используются и дисперсии, и ковариации.
Ковариационная матрица
 |
Элемент, находящийся в ячейке (/, j), обозначает ковариацию между ценными бумагами / и j. Например, элемент в ячейке (1,3) обозначает ковариацию между первой и третьей ценными бумагами, которая в данном случае равна 145. Элемент в ячейке (/, /) обозначает дисперсию /-ой ценной бумаги. Например, дисперсия второй ценной бумаги находится в ячейке (2,2) и равняется 854. Стандартное отклонение любого портфеля, состоящего из инвестиций в акции компаний Able, Baker и Charlie, может быть вычислено с помощью ковариационной матрицы и формулы, приведенной в уравнении (7.66).
Например, рассмотрим портфель, приведенный в табл. 7.2, который имеет следующие пропорции: Х1 = 0,2325, X, = 0,4070, Х} = 0,3605:
о =[AiAjo„ + J|;ґ2o-|2+*l*3o-13+ +^c2, +^о-22+^о-23+ + Х2ХІаІІ+ХіХ2аі2 + ХіХіаіз]^ = = [(0,2325 х 0,2325 х 146) + (0,2325 х 0,4070 х 187) + + (0,2325 х 0,3605 х 145) +
+ (0,4070 х 0,2325 х 187) + (0,4070 х 0,4070 х 854) + + (0,4070 х 0,3605 х 104) +
+ (0,3605 х 0,2325 х 145) + (0,3605 х 0,4070 х 104) + + (0,3605 х 0,3605 х 289)]1/2 = = [277,13]1/2 = = 16,65\%.
Следует отметить некоторые интересные свойства ковариационной матрицы. Во-первых, матрица является квадратной, т.е. количество столбцов равняется количеству строк, а общее число ячеек для N ценных бумаг равняется N2.
Во-вторых, дисперсии ценных бумаг лежат на диагонали матрицы, которая представляет собой ячейки, лежащие на линии, проходящей из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол. В предыдущем примере дисперсия первой ценной бумаги (146) лежала на пересечении первой строки и первого столбца. Соответственно дисперсия второй ценной бумаги (854) лежала на пересечении второго столбца со второй строкой, а третьей (289) на пересечении третьего столбца с третьей строкой.
В-третьих, матрица является симметричной. Это означает, что элемент, расположенный в /-ой строкеу'-ого столбца равен элементу, расположенному ву'-ой строке /-ого столбца. То есть элементы ячеек, расположенных над диагональю, повторяются в соответствующих ячейках, расположенных под диагональю. Из предыдущего примера видно, что элемент из первой строки второго столбца (187) равен элементу второй строки первого столбца. Соответственно 145 появляется и в первой строке третьего столбца, и в третьей строке первого столбца, а 104 появляется и во второй строке третьего столбца, и в третьей строке второго столбца. Это свойство имеет простое объяснение: кова-риация между двумя ценными бумагами не зависит от порядка, в котором эти две бумаги упоминаются. Это означает, что, например, ковариация между первой и второй ценной бумагами является такой же, как и ковариация между второй и первой".
Краткие выводы
Подход Марковица к проблеме выбора портфеля предполагает, что инвестор старается решить две проблемы: максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска и минимизировать неопределенность (риск) при заданном уровне ожидаемой доходности.
Ожидаемая доходность служит мерой потенциального вознаграждения, связанного с портфелем. Стандартное отклонение рассматривается как мера риска портфеля.
Кривая безразличия представляет собой различные комбинации риска и доходности, которые инвестор считает равноценными.
Предполагается, что инвесторы рассматривают любой портфель, лежащий на кривой безразличия выше и левее, как более ценный, чем портфель, лежащий на кривой безразличия, проходящей ниже и правее.
Предположения о ненасыщаемости и избегании риска инвестором выражаются в том, что кривые безразличия имеют положительный наклон и выпуклы.
Ожидаемая доходность портфеля является средневзвешенной ожидаемой доходностью ценных бумаг, входящих в портфель. В качестве весов служат относительные пропорции ценных бумаг, входящих в портфель.
Ковариация и корреляция измеряют степень согласованности изменений значений двух случайных переменных.
Стандартное отклонение портфеля зависит от стандартных отклонений и пропорций входящих в портфель ценных бумаг и, кроме того, от ковариаций их друг с другом.
Вопросы и задачи
 |
1. Ниже приводится список некоторого количества портфелей с их ожидаемыми доход-ностями, стандартными отклонениями и уровнем полезности (измеряемым в условных единицах), которые были рассмотрены Арки Боном. Исходя из этой информации необходимо построить график кривых безразличия инвестора Арки.
Почему делается предположение, что кривые безразличия наклонны и направлены вверх и вправо?
Что говорит набор выпуклых кривых безразличия об оценке инвестором соотношения риска и доходности для различных значений риска?
Почему предполагается, что типичный инвестор предпочитает портфель, расположенный на кривой безразличия выше и левее?
Что означает заявление, что «инвестор, избегающий риска, демонстрирует уменьшение предельной полезности дохода»? Почему уменьшение предельной полезности приводит к тому, что инвестор отказывается принять условия «честного пари»?
Объясните, почему кривые безразличия инвестора не могут пересекаться?
Почему кривые безразличия инвестора, избегающего риска в большей степени, имеют более крутой наклон, чем кривые безразличия инвестора, избегающего риска в меньшей степени?
Рассмотрите наборы кривых безразличия двух инвесторов: Хока Вилсона и Кики Кайлера. Определите, кто (Хок или Кики):
а) больше избегает риска;
б) предпочитает инвестицию А инвестиции В;
в) предпочитает инвестицию С инвестиции D.
Объясните, почему вы ответили таким образом.
с
р
9. Рассмотрите четыре акции со следующими ожидаемыми доходностями и стандартными отклонениями:
Акция Ожидаемая Стандартное
доходность (в \%) отклонение (в \%)
А 15 12
8 13 8
С 14 7
D 16 11
Есть ли среди этих акций те, которые инвестор, избегающий риска, предпочтет всем остальным?
Согласны ли вы с предположениями о ненасыщенности и избегании риска? Придумайте случай, противоречащий этим предположениям.
В начале года Корне Бредли обладал четырьмя видами ценных бумаг в следующих количествах и со следующими текущими и ожидаемыми к концу года ценами:
Ценная Количество Текущая Ожидаемая цена
бумага акций цена (в долл.) к концу года (в долл.)
А 100 50 50
В 200 35 40
С 50 25 50
D 100 100 110
Какова ожидаемая доходность портфеля Корнса за год? 12. Имея следующую информацию об акциях, входящих в портфель, вычислите для каждой акции ожидаемую доходность. Затем, используя эти индивидуальные ожидаемые доходности ценных бумаг, вычислите ожидаемую доходность портфеля.
Акция
А В С D
Начальная стоимость инвестиции (в долл.)
500 200 1000 900
Ожидаемая стоимость инвестиции в конце периода (в долл.) 700 300 1000 1500
Доля в начальной рыночной стоимости портфеля (в \%)
19,2 7,7 38,5 34,6
13. Сквики Блюг рассматривал возможность инвестиций в акции компании Oakdale Merchandising. Сквики оценил следующее вероятностное распределение доходности акций Oakdale:
Доходность (в \%) Вероятность
-10 0,10 0 0,25 10 0,40 20 0,20 30 0,05
Основываясь на оценках Сквики, вычислите ожидаемую доходность и стандартное отклонение акций компании Oakdale. 14. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение акций А и В составляют:
Акция Ожидаемая Стандартное
доходность (в \%) отклонение (в \%)
А 13 10
В 5 18
Мокс Макквари купил акций А на $20 ООО и совершил операцию «продажа "без покрытия"» с акциями В на $10 ООО, после чего использовал все полученные средства для покупки дополнительного количества акций А. Корреляция между двумя ценными бумагами равняется 0,25. Какими будут ожидаемая доходность и стандартное отклонение портфеля Мокса?
И ковариация, и коэффициент корреляции измеряют степень взаимосвязанности доходностей двух ценных бумаг. Какая зависимость существует между этими двумя статистическими мерами? Почему коэффициент корреляции является более удобной мерой?
Приведите пример двух обыкновенных акций, для которых, как вы ожидаете, корреляция будет относительно низкой. Затем приведите пример двух обыкновенных акций, которые будут иметь относительно высокую корреляцию.
Гибби Брок произвел следующую оценку совместного вероятностного распределения доходностей от инвестиций в акции компаний Lakeland Halfway Homes и Afton Breweiy:
Lakeland (в \%) Afton (в \%) Вероятность
-10 15 0,15
5 10 0,20
10 5 0,30
20 0 0,35
Основываясь на оценках Гибби, вычислите ковариацию и коэффициент корреляции двух инвестиций.
Вычислите корреляционную матрицу, которая соответствует ковариационной матрице для акций компаний Able, Baker и Charlie, приведенной в тексте.
Вычислите стандартное отклонение портфеля по заданной ковариационной матрице для трех ценных бумаг и процентному содержанию бумаг в портфеле.
Ценная Ценная Ценная
бумага а бумага В бумага с
Ценная бумага А 459 -211 112
Ценная бумага В -211 312 215
Ценная бумага С 112 215 179
X, = 0,50 Хд = 0,30 Хс = 0,20
20. Рубе Бреслер имеет три вида акций. Он произвел оценку следующего совместного вероятностного распределения доходностей:
| Результат | Акция а | Акция В | Акция с | Вероятность |
| 1 | -10 | 10 | 0 | 0,30 |
| 2 | 0 | 10 | 10 | 0,20 |
| 3 | 10 | 5 | 15 | 0,30 |
| 4 | 20 | -10 | 5 | 0,20 |
Вычислите ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля, если Рубе инвестирует 20\% средств в акции А, 50\% в акции В и 30\% в акции С. Предполагается, что доходность каждой ценной бумаги является некоррелированной с доходностью остальных ценных бумаг.
Если ожидаемая доходность портфеля равна средневзвешенной ожидаемой доходности ценных бумаг, входящих в портфель, почему же тогда общий риск портфеля не равняется средневзвешенной стандартных отклонений ценных бумаг, входящих в портфель?
Когда стандартное отклонение портфеля равняется средневзвешенному стандартному отклонению его компонентов? Покажите это математически для портфеля, состоящего из двух ценных бумаг. (Подсказка: Для решения данной проблемы требуются некоторые алгебраические действия; не забудьте, что a:j = р а ар используйте различные значения р ..)
Рассмотрите две ценные бумаги А и В с ожидаемыми доходностями 15 и 20\% соответственно и стандартными отклонениями 30 и 40\% соответственно. Вычислите стандартное отклонение портфеля, состоящего из двух ценных бумаг, взятых в одинаковой пропорции, если корреляция между ними составляет:
а) 0,9;
б) 0,0;
 |
Здесь перечислены оценки стандартных отклонений и коэффициентов корреляции для трех типов акций:
а. Если портфель составлен на 20\% из акций А и на 80\% из акций С, каким будет
стандартное отклонение портфеля?
б. Если портфель составлен на 40\% из акций А, на 20\% из акций В и на 40\% из
акций С, каким будет стандартное отклонение портфеля?
в. Какая структура инвестиций в портфеле, состоящем из акций А и В, приведет
к нулевому стандартному отклонению портфеля? (Подсказка: Для решения данной проблемы требуется произвести некоторые алгебраические действия. Не
забудьте, что Хв= 1 — Хл.)
Приложение Рискующие и безразличные к риску инвесторы
Ранее было отмечено: подход Марковица предполагает, что инвестор избегает риска. Хотя это предположение является вполне резонным, оно не является необходимым. Вместо этого можно предположить, что инвестор азартен или нейтрален к риску.
Сначала рассмотрим азартного инвестора. Если данный инвестор столкнется с «честной игрой», он предпочтет принять участие в данном проекте. Кроме того, крупные игры являются более привлекательными, чем мелкие. Это объясняется тем, что он получает больше «удовольствия» от выигрыша, чем «разочарования» от проигрыша. Так как вероятности выигрыша и проигрыша равны, то азартный инвестор предпочтет принять участие в игре. Это означает, что при выборе из двух портфелей, имеющих одинаковую доходность, азартный инвестор выберет тот, у которого больше стандартное отклонение.
Например, при выборе между А и /"(рис. 7.4) азартный инвестор выберет F. Этот факт позволяет предположить, что азартный инвестор будет иметь отрицательно наклоненные кривые безразличия12. То есть азартный инвестор предпочтет портфель, находящийся на кривой безразличия, расположенной выше и правее других. Рис. 7.7 представляет график кривых безразличия гипотетического азартного инвестора. Как показано на рисунке, при выборе между А, В, Си D (эти же четыре портфеля приведены на рис. 7.1) данный инвестор выберет портфель В.
Случай нейтральности к риску находится между случаями избегания риска и азартности. В то время как инвестор, избегающий риска, не хочет принимать участие в «честной игре», а азартный инвестор, наоборот, хочет, нейтральному к риску инвестору все равно, принимать участие в игре или нет. Это означает, что риск или, точнее, стандартное отклонение не является важным фактором для инвестора, нейтрального к риску, при оценке портфеля. Соответственно кривыми безразличия данного инвестора являются горизонтальные линии, как это показано на рис. 7.8. Данный инвестор предпочитает выбирать портфели, находящиеся на кривых безразличия, расположенных наиболее высоко. При выборе из/1, В, Си Жданный инвестор выберет В, потому что данный портфель имеет наивысшую ожидаемую доходность.
Несмотря на то что отдельный инвестор может быть азартным или нейтральным к риску, наблюдения показывают, что большинство из них можно охарактеризовать как избегающих риска. Одно из наблюдений говорит о том, что исторически в среднем доходность по обыкновенным акциям превышает доходность по облигациям, поскольку инвесторов необходимо стимулировать большим вознаграждением для совершения более рискованных вложений.
Обсуждение Инвестиции
Комментарии, рецензии и отзывы