8.1.3 выбор оптимального портфеля

8.1.3 выбор оптимального портфеля

Каким образом инвестор выбирает оптимальный портфель (optimal portfolio)? Как это показано на рис. 8.2, инвестор должен нарисовать свои кривые безразличия на одном рисунке с эффективным множеством, а затем приступить к выбору портфеля, расположенного на кривой безразличия, находящейся выше и левее остальных. Этот портфель

/з І2 h
	/ / /
	/ 1 Is
	/ / 1 *
	/ / / *н
	/ / /°
	/7/
	Б*
	•
	G
		СТр
Рис. 8.2. Выбор оптимального портфеля

будет соответствовать точке, в которой кривая безразличия касается эффективного множества. Как это видно из рис. 8.2, таким портфелем является портфель О* на кривой безразличия Несомненно, что инвестор предпочел бы портфель, находящийся на кривой 1у но такого достижимого портфеля просто не существует. Желание находиться на какой-то конкретной кривой не может быть реализовано, если данная кривая нигде не пересекает множество достижимости. Что касается кривой /,, то существует несколько портфелей, которые может выбрать инвестор (например, О). Однако рисунок показывает, что портфель О*является наилучшим из этих портфелей, так как он находится на кривой безразличия, расположенной выше и левее. Рисунок 8.3 показывает, что инвестор с высокой степенью избегания риска выберет портфель, расположенный близко к точке Е. Рисунок 8.4 показывает, что инвестор с низкой степенью избегания риска выберет портфель, расположенный близко к точке S1.

Чисто интуитивно теорема об эффективном множестве кажется вполне рациональной. В гл. 7 было показано, что инвестор должен выбирать портфель, лежащий на кривой безразличия, расположенной выше и левее всех остальных кривых. В теореме об эффективном множестве утверждается, что инвестор не должен рассматривать портфели, которые не лежат на левой верхней границе множества достижимости, что является ее логическим следствием.

Кроме того, в гл. 7 установлено, что кривые безразличия для инвестора, избегающего риск, выпуклы и имеют положительный наклон. Теперь мы покажем, что эффективное множество в общем случае вогнуто и имеет положительный наклон, т.е. отрезок, соединяющий любые две точки эффективного множества, лежит ниже данного множества. Это свойство эффективных множеств является очень важным, так как оно означает, что существует только одна точка касания эффективного множества и кривых безразличия.

G

Рис. 8.4. Выбор портфеля инвестором с низкой степенью избегания риска

КЛЮЧЕВЫЕ ПРИМЕРЫ И ПОНЯТИЯ

Проблемы, возникающие при

Предположим, что капитан современного комфортабельного лайнера принимает решение не использовать современную навигационную систему {систему, которая с помощью компьютеров и спутников определяет местоположение корабля с точностью до нескольких футов). Вместо этого он собирается положиться на метод навигации по звездам старинный метод, имеющий проблемы и приводящий к неточностям. Большинство людей будут считать выбор капитана в лучшем случае эксцентричным, в худшем чрезвычайно опасным.

Когда дело касается формирования портфелей, большинство менеджеров по инвестициям делают свой выбор аналогично капитану данного судна. Они отрицают методы формирования портфелей, основанные на использовании компьютеров, и используют традиционные подходы. Являются ли их решения настолько же глупыми, как и решения капитана корабля? Или, может быть, данный подход продиктован их очевидным сумасшествием?

использовании «оптимизаторов»

Как уже обсуждалось в данной главе, концепции эффективного множества н оптимального портфеля инвестора являются основополагающими в современной инвестиционной теории. Но как инвестор может реально оценить эффективное множество и выбрать оптимальный портфель? В начале 50-х годов Гарри Марковиц описал решение данных проблем. Используя математический метод, известный как квадратичное программирование, инвестор может обработать ожидаемые доходности, стандартные отклонения и ковариаиии для определения эффективного множества. (См. приложение А к данной главе.) Имея оценку своих кривых безразличия, отражающую их индивидуальный допустимый риск (см. гл. 24), он может затем выбрать портфель из эффективного множества.

Все просто, не правда ли? Что касается 50-х годов, то, конечно, нет. Используя средства обработки информации, доступные инвестору в то время, было практически невозможно вычислить эффективное множество даже для нескольких сотен ценных бумаг. Однако с появлением дешевых и высокопроизводительных компьютеров в 80-х годах, а также с развитием сложных моделей риска (см. гл. Ш стало возможным определение эффективного множества хтя нескольких тысяч ценных бумаг за несколько минут. Необходимое компьютерное оборудование и программное обеспечение являются доступными фактически для любого инвестиционного института. В действительности данный процесс стал настолько банальным, что даже приобрел собственную терминологию. Использование компьютера для определения эффективного множества и формирования оптимального портфеля в разговорном языке'^ШШШ^ЩШШШШШШШ. ей. Портфели «оптимизируются», а про инвесторов говорят, что они применяют ОПНесмотря на доступность «оптимнза■ ЩйШ0ш но инвестициям Ш'ШШЩШШіШЬ• ? сій используют их при формировании портфеля. Вместо этого они в основном по 

Почему менеджеры по инвестициям отказываются применять оптимизационную технику прн формировании портфелей? Вряд ли это связано с незнанием вопроса. Большинство менеджеров по инвестициям хорошо осведомлены о концепциях Марковица по формированию портфеля и о доступных технологиях, так как являются выпускниками школ бизнеса, в которых данные концепции детально рассматриваются. Причиной сопротивления являются два момента: профессиональные интересы и несоответствия в практическом воплощении концепций.

торов большинство инвесторов просто не чувствуют себя комфортно при использовании качественных методов. 8 их методах принятия решений подчеркивается значение интуиции и субъективных решений. Использование оптимизационной техники в формировании портфеля требует наличия системной

ни принять на себя ответственность за формирование количественных прогнозов ожипортфелями должны выполнять решения компьютера. R результате этого «оптимизаторы» уничтожают «артистизм и фацию» управления инвестициями.

Кроме того, с внедрением «оптимизаторов» возрастает влияние новой породы профессионалов по инвестициям — числовых аналитиков (презрительно именуемых «квантами»), которые координируют получение н применение оценок риска и доходности. Авторитет, приобретаемый числовыми аналитиками, уменьшает влияние аналитиков н менеджеров портфелей, использующих традиционные методы, к их большому неудовольствию.

Что касается перспектив применения «оптимизаторов», то здесь существуют серьезные проблемы. В частности, они имеют тенденцию к созданию чисто интуитивных портфелей, не подходящих для реаль-Щ£|р.:, инвестиций. Данная ситуация обьяе-: няетея не столько проблемами «оптимизаторов», сколько ошибками операторов, обеспечивающих ввод данных. Здесь работает парадигма GJGO (что расшифровывается как «мусор на входе — мусор на выходе»).

«Оптимизаторы» предпочитают ценные бумаги, обладающие высокими ожида-емыми доходностями, малыми стандартными отклонениями и малой величиной ковариации с другими ценными бумагами. Очень часто при оценке этих величин используется информация из старых баз данных, содержащих тысячи ценных бумаг. До тех пор пока информация о доходности н риске не будет тщательно проверена, ошибки (например, преуменьшение стандартного отклонения ценных бумаг) могут привести к тому, что «оптимизатор» будет рекомендовать произвести покупку некоторых ценных бумаг, исходя из неправильных предпосылок. Даже если информация является выверенной, экстремальные исторические события могут привести «оптимизатор» к практически неверным решениям.

До тех пор пока программа не будет принимать во внимание операционные издержки, «о п ти ми заторы» будут также демонстрировать плохую привычку к операциям, приводящим к большому обороту, и рекомендациям о покупке ценных бумаг с низкой;::; Ликвидностью. Высокий оборот (high turnover) связан с существенными изменениями в портфеле от периода к периоду. Высокий оборот может являться причиной неприемлемо высоких операционных издержек (см. гл. 3), отрицательно сказывающихся на функционировании данного портфеля. Ликвидность (liquidity) означает возможность реального приобретения ценных бумаг, выбранных «оптимизатором». Выбранные бумаги могут обладать желательными характеристиками по доходности и риску, но продаваться в незначительных количествах, не позволяющих институциональным инвесторам приобрести их без ощутимых дополнительных расходов на покупку.

Существуют различные решения данных проблем, начиная с аккуратной проверки вводимой информации и кончая введением ограничений на максимальный оборот и минимальную ликвидность. Тем не менее ничто не может заменить прогноз квалифицированного специалиста о доходности и риске ценных бумаг, основанный на правильном применении понятия рыночного равновесия.

Профессиональные проблемы и проблемы практического воплощения дают менеджерам по инвестициям удобный повод избегать применения «оптимизаторов» и сконцентрироваться на использовании традиционных методов формирования портфелей. Однако рассмотрение количественных методов формировании портфелей очень важно. Повышающаяся эффективность финансовыхрынков заставляет менеджером институциональных инвесторов обрабатывать больше информации о большем количестве ценных бумаг и с большей скоростью, чем котдл-.шоо раньше. К;ік с іе клипе. ОНИ ВЫНуЖЛеНЫ г> бі.їЬИіеи CICIIJI1I!

увеличить использование количественных инструментов анализа инвестиций. Хотя большинство из них еще не включили «оптимизаторы» в процедуру формирования портфелей, фактически все они стали более восприимчивы к нечОхи.шмосги создании дикерсифшіирошініг ,і пиргфелей, имеющих наивысшим уровень ожидаемом доходности при дог.летворитс.н.ном урон не риска.

■j¥^H Вогнутость эффективного множества

Для того чтобы понять, почему эффективное множество является вогнутым, рассмотрим следующий пример портфеля из двух ценных бумаг. Первая ценная бумага компании Ark Shipping имеет ожидаемую доходность в 5\% и стандартное отклонение в 20\%. Вторая ценная бумага компании Gold Jewelry имеет ожидаемую доходность в 15\% и стандартное отклонение в 40\%. Соответствующие им точки отмечены буквами А и С на рис. 8.5.

8.2.1 Границы местоположения портфелей

Теперь рассмотрим все возможные портфели, состоящие из этих ценных бумаг, которые может купить инвестор. Пусть Х^ обозначает долю фондов инвестора, вложенную в Ark Shipping, а Х2 = I — Xl — долю, инвестированную в Gold Jewelry. Таким образом, если инвестор покупает только акции Ark Shipping, то Х{ = I и Х2 = 0. Если же инвестор покупает только акции Gold Jewelry, то Х{ = 0, а Х2 = I. Комбинация из 0,17 Ark Shippings. 0,83 Gold Jewelry также возможна, как и комбинация из 0,33 и 0,67 соответственно или 0,5 и 0,5 соответственно. Хотя существует много других возможных портфелей, нами будет рассмотрено только семь из них:

Для того чтобы рассмотреть возможные инвестиции в эти семь портфелей, необходимо вычислить их ожидаемые доходности и стандартные отклонения. Мы имеем всю необходимую информацию для вычисления ожидаемых доходностей этих портфелей согласно уравнению (7.3а):

r,= Е V/= Е X,r, = Xl гх+Х2гг х5\%) + (Х2х5\%).

(7.3а)

Для портфелей А и Сданные вычисления тривиальны, так как инвестор покупает акции только одной компании. Таким образом, ожидаемые доходности составляют 5 и 15\% соответственно. Для портфелей В, С, D, Е и / ожидаемые доходности соответственно равны:

~гв = (0,83x5\%) + (0,17 х 15\%) = 6,70\%;

7 с = (0,67 х 5\%) + (0,33 х 15\%) = 8,30\%;

70 = (0,50x5\%) +(0,50 х 15\%)= 10\%;

~гЕ = (0,33 х 5\%) + (0,67 х 15\%) = 11,70\%;

~rF =(0,17х 5\%) + (0,83х 15\%)= 13,30\%.

Для вычисления стандартных отклонений данных портфелей необходимо применить уравнение (7.7):

Лn

1/2

1/2

і= і j= і

= і уі

-[x,X,au +X,X2al2+X2X,a2l + X2X2a22]1/2 = И°.+^ + 2№і2],/2 =

1/2

[x] x 20\%2) + [x] x40\%2) + 2XlX2al

(7.7)

Для портфелей А и Сданные вычисления опять будут тривиальными, так как инвестор приобретает акции только одной компании. Таким образом, стандартное отклонение будет составлять 20 и 40\% соответственно.

Для портфелей В, С, D, Е и F применение уравнения (7.7) показывает, что стандартное отклонение зависит от значения ковариации между двумя ценными бумагами. Как показано в уравнении (7.5), этот ковариационный член равняется корреляции между двумя ценными бумагами, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

о, = р,.ухохо. (7.5)

Полагая z = 1 и у = 2, получим:

°і2 = Ріг * °i х аг= Ріг х 20\% х 40\% = 800р12.

Это означает, что стандартное отклонение любого портфеля, составленного из акций Ark Shipping и Gold Jewelry, может быть выражено следующим образом:

[х] х 20\%2) + [х22 х40\%2) + (2Х{Х2 х 800р12) = [400^ + 1600ЛҐ2, + 1600^,^2р12]'/2.

1/2 _

(8.1)

Рассмотрим вначале портфель D. Значение стандартного отклонения данного портфеля будет лежать в интервале между 10 и 30\%, его точное значение зависит от величины коэффициента корреляции. Как же были определены данные границы в 10 и 30\%? Для начала отметим, что для портфеля D уравнение (8.1) приводится к следующему виду:

ад = [(400 х 0,25 + 1600 х 0,25) + (1600 х 0,5 х 0,5р,,)]1/2 =

= [500 + 400pJ1/2. (82)

Изучение уравнения (8.2) показывает, что ад будет минимальной тогда, когда коэффициент корреляции будет минимальным. Теперь вспомним, что минимальным значением коэффициента корреляции является —1, отсюда можно увидеть, что нижняя граница величины ад будет такова:

а0 = [500 + 400 х (-1)]1/2 = [500 400]1/2 = [100]1/2 = 10\%. Аналогично, изучение уравнения (8.2) показывает, что о0 будет максимальным, когда коэффициент корреляции будет максимальным, т.е. равным 1. Таким образом, верхняя граница величины oD будет такова:

сд = [500 + (400 х 1)р= [500 + 400]1/2 = [900]1/2 = 30\%. В общем случае, как это можно заметить из уравнения (8.1), для любого заданного набора весов Jf, и Хг нижние и верхние границы будут достигаться при равенстве коэффициента корреляции величинам —1 и 1 соответственно. Подобный анализ других портфелей показывает, что их верхние и нижние границы равняются следующим значениям:

Стандартное отклонение портфеля

Интересен тот факт, что все верхние пограничные значения лежат на прямой линии, соединяющей точки А и G. Это означает, что любой портфель, составленный из этих двух бумаг, не может иметь стандартное отклонение, соответствующее точке, лежащей правее прямой линии, соединяющей эти две ценные бумаги. Вместо этого значение стандартного отклонения должно лежать на этой прямой линии или левее нее. Это означает желательность диверсификации портфеля. А именно, диверсификация ведет к уменьшению риска, так как стандартное отклонение портфеля будет в общем случае меньше, чем средневзвешенное стандартное отклонение бумаг, входящих в портфель.

Также интересно наблюдение о том, что все нижние пограничные значения лежат на одном из двух отрезков, идущих из точки А до точки на вертикальной оси, соответствующей значению В 8,30\%, а оттуда — до точки G. Это означает, что любой портфель, составленный из данных ценных бумаг, не может иметь стандартное отклонение, изображаемое точкой, лежащей левее любого из этих двух отрезков линии. Например, портфель В должен лежать на горизонтальной линии, проходящей через вертикальную ось в точке 6,70\%, но ограниченную значениями в 10 и 23,33\%.

В заключение можно сказать, что любой портфель, состоящий из этих двух ценных бумаг, лежит в пределах границ треугольника, изображенного на рис. 8.5. Его фактическое местоположение зависит от значения коэффицента корреляции между этими двумя ценными бумагами.