Приложение б
Приложение б
Определение структуры «касательного» портфеля Т
«Угловые» портфели и портфель Т
При обобщении модели Марковица с учетом безрисковых возможностей эффективное множество становится прямой линией, проходящей через точку, соответствующую портфелю Т. Этот портфель называется «касательным» портфелем, поскольку он соответствует точке, в которой прямая, исходящая из точки безрисковой ставки, касается эффективного множества Марковица.
Определение структуры портфеля Г (а следовательно, и его расположения) требует тех же процедур, которые были представлены в Приложении А гл. 8. В примере, изображенном на рис. 9.7, портфель Т располагался на эффективном множестве модели Марковица. На рис. 8.13 этот портфель лежит между вторым и третьим «угловыми» портфелями, обозначенными С(2) и С(3) соответственно. Так как Глежит между этими двумя «угловыми» портфелями, то его структура является взвешенным средним структур С(2) и С(3), которые показаны в табл. 8.1. Эти веса [0,86 для С(2) и 0,14 для С(3)] могут быть определены графически путем проведения горизонтальной линии от точки Г до вертикальной оси, по которой измеряется ожидаемая доходность.
В данном примере ожидаемая доходность портфеля Т равна 22,4\%. Так как Т располагается между С(2) и С(3), то его ожидаемая доходность должна равняться взвешенной средней ожидаемых доходностей С(2) и С(3). Таким образом, структура в терминах С(2) и С(3) может быть определена при помощи уравнения (8.13) при г* = 22,4\%, 7" = 23,20\% и 7* = 17,26\%:
22,4\% = (23,20\% х У) + [17,26\% х (1 У)].
Решением этого уравнения является Y= 0,86. Это означает, что портфель Г состоит из С(2) и С(3) в пропорциях 0,86 и 0,14 соответственно.
В терминах величин инвестиций в акции компаний Able, Baker и Charlie это означает:
0,00 | ' 0,84 | 0,12 ' | |||
0,86 х | 0,22 | + 0,14 х | 0,00 | = | 0,19 |
0,78 | 0,16 | 0,69 |
То есть портфель /"состоит из 12\% инвестиций в акции компании Able, 19\% — в акции Baker и 69\% в акции Charlie.
Щ^^Ш Рыночная модель и портфель Т
Имеется и другой метод определения структуры портфеля Т, который не требует определения «угловых» портфелей и, следовательно, является более простым, чем только что описанный. (Все, что требуется для применения этого метода, — это знание электронных таблиц.) Предполагается, что доходности ценной бумаги могут быть описаны рыночной моделью, а также, что существует возможность безрискового заимствования и кредитования по ставке rf Метод, разработанный Элтоном, Грубером и Падбергом (Elton, Gruber, Padberg), далее называемый EGP, можно объяснить на примере10.
Представьте, что инвестор хочет найти «касательный» портфель Т, связанный со следующими 10 ценными бумагами:
Номер ценной | Ожидаемая | «Бета» | Несистемат» |
бумаги/ | доходность( г . ) (в \%) | (Pi/) | риск (а |
1 | 15,0 | 1,0 | 50 |
2 | 17,0 | 1,5 | 40 |
3 | 12,0 | 1,0 | 20 |
4 | 17,0 | 2,0 | 10 |
5 | 11,0 | 1,0 | 40 |
6 | 11,0 | 1,5 | 30 |
7 | 11,0 | 2,0 | 40 |
8 | 7,0 | 0,8 | 16 |
9 | 7,0 | 1,0 | 20 |
10 | 5,6 | 0,6 | 6 |
Далее предположим, что дисперсия портфеля рыночного индекса а/ равна 10, а безрисковая ставка г{ равна 5\%.
Алгоритм EGP начинается с замечания, что наклон линии, выходящей из точки rf и проходящей через любой конкретный портфель (р), равен (G):
«Касательный» портфель /"определяется как имеющий максимальную тхэту (G). Для поиска портфеля, имеющего максимальную G, применяется следующий пятишаго-вый алгоритм:
Упорядочить ценные бумаги в порядке убывания отношений доходности к систематическому риску (reward-to-volatility ratio):
RVOL, = (9.2)
(Отметим, что числитель этого выражения представляет собой ожидаемое «вознаграждение» за приобретение ценной бумаги, а знаменателем является соответствующий ей В-коэффициент. Это отношение иногда называют отношением Трейнора — см. гл. 25.) В колонке (2) таблицы на с. 255 эти бумаги упорядочены по убыванию RVOL.
Начиная с верха таблицы, добавлять ценные бумаги одну за другой и вычислять Ф:
, і" і а .
2 tj
(9.3)
у-юеу
Результаты представлены в колонке (3).
Сравнивать величины Ф. с соответствующими RVOL. до тех пор, пока Ф. меньше RVOLr С некоторого момента это соотношение изменится на противоположное. Пусть к — максимальный номер, для которого это соотношение еще не выполнено. Тогда ценные бумаги с 1 по к будут иметь не нулевые веса в портфеле Т, а остальные — нулевые. Таким образом, Фк является «ставкой отсечения» для RVOL.
Заметьте, что в колонке (3) для первых пяти рядов RVOL. больше, чем Ф., а затем до конца таблицы становится меньше, чем Ф Поэтому к = 5 и «ставка отсечения» (обозначенная звездочкой в колонке (3)) равняется 5,45. Чтобы входить с не нулевым весом в портфель Т, ценные бумаги должны иметь отношение доходности к систематическому риску большее, чем 5,45.
Вычислить величины Z, чтобы определить, с какими весами будут входить в портфель первые к ценных бумаг:
2
Г'~Г/
Р,7
Ф.
(9.4)
Значения Z. для і = к + 1, N полагаются равными нулю.
Значения Zf показаны в колонке (4). Так как к = 5, обратите внимание на то, что Z6, Z10 равны нулю, a Zp Z5 — положительные числа.
5. Разделить каждую Z на сумму Z. для получения весов для ценной бумаги /:
n
*, = Vl*,. (9.5)
; = i
Это сделать необходимо, так как сумма Z обычно не равна единице".
В примере сумма равняется 0,3879. Следовательно, вес первой ценной бумаги равен = 0,0910/0,3879=0,2345. Этот и другие веса показаны в колонке (5) таблицы.
Определение структуры оптимального портфеля
инвестора
После того как инвестор определил положение прямого участка эффективного множества путем нахождения «касательного» портфеля, можно приступать к определению структуры его оптимального портфеля. Этот портфель, обозначаемый О* на рис. 9.8, соответствует точке касания эффективного множества и одной из кривых безразличия инвестора. Процедура нахождения структуры этого портфеля аналогична описанной для модели Марковица в Приложении А к гл. 8. Вначале инвестор находит графически уровень ожидаемой доходности портфеля О*. Для этого он измеряет ординату точки О*, проводя через нее горизонтальную прямую до пересечения с вертикальной осью.
Если ожидаемую доходность оптимального портфеля обозначить через г*, а безрисковая ставка и ожидаемый доход касательного портфеля равны rfM г т соответственно, то для определения структуры оптимального портфеля вначале должно быть решено относительно К следующее уравнение:
г* = (ггхУ) + {Г/х(-У)]. (9.6)
Оптимальный портфель будет состоять на долю У из «касательного» портфеля и на долю (1 — К) из безрискового актива. Таким образом, пропорции ценных бумаг в оптимальном портфеле определяются умножением их пропорций в «касательном» портфеле на Y.
В примере, если оптимальный портфель инвестора соответствует портфелю, изображенному в части (а) рис. 9.8, то г* = 14\%. При этом уравнение (9.6) будет записано так:
14\% = (22,4\% х Y) + [4\% х (1 У)], (9.7)
так как г т = 22,4\% и г = 4\%. Решением уравнения (9.5) является У= 0,54. Это означает, что оптимальный портфель состоит на 0,54 из «касательного» портфеля и на 0,46 из безрискового актива.
В терминах инвестиций в акции компаний Able, Baker и Charlie это означает:
0,12 | 0,07' | ||
0,54 х | 0,19 | = | 0,10 |
0,69 | 0,37 |
Таким образом, инвестор должен инвестировать часть начального капитала в долях 7\%, 10 и 37\% в акции компаний Able, Baker и Charlie соответственно. Далее, 46\% начального капитала должны быть использованы для покупки казначейских векселей (безрискового актива).
Аналогично, если оптимальный портфель инвестора соответствует портфелю, изображенному в части (б) рис. 9.8, то /• * = 27\%. При этом уравнение (9.6) будет записано так:
27\% = (22,4\% х Y) + [4\% х (1 Y)], (9.8)
Таким образом, инвестор должен инвестировать деньги вдолях 15, 24 и ного капитала в акции компаний Able, Baker и Charlie соответственно,
его началь-
Обсуждение Инвестиции
Комментарии, рецензии и отзывы