7.2. оптимизация производства продукции в ассортименте методами математического программирования

7.2. оптимизация производства продукции в ассортименте методами математического программирования

Математическое программирование объединяет многочисленные методы решения задач подготовки оптимальных, т.е. наилучших по определенным критериям, планов. Задачи математического программирования заключаются в отыскании максимума или минимума некоторой функции при наличии ограничений на переменные характеристики — элементы решения.

Линейное программирование. Этот метод математического программирования объединяет методы решения задач, которые описываются линейными уравнениями. Если предприятие работает на рынке, близком по свойствам к рынку чистой конкуренции, на котором оно вынуждено продавать товары по неизменной, установившейся независимо от предприятия цене, то между выручкой от реализации, издержками и количеством реализованной продукции может существовать линейная зависимость. Ограничения выпуска продукции по загрузке производственных мощностей выпускаемой продукции могут быть описаны линейными неравенствами. В этом случае составление оптимального по прибыли или выручке от реализации плана производства сводится к решению задачи линейного программирования.

Для решения задач линейного и нелинейного программирования могут быть использованы программы, включенные в состав электронных таблиц для персональных компьютеров. Из их числа наиболее распространены таблицы MS Excel электронного офиса Windows.

Постановка задач линейного программирования состоит в формулировке целевой функции и ограничений — уравнений или неравенств. Рассмотрим постановку и решение такой задачи на примере.

Пример. Предприятие производит продукцию двух видов — А и Б. Данные о производстве приведены в табл. 7.3.

Таблица 7.3

Данные о производстве предприятия

Б

Показатели по продуктам

А

Максимально возможная загрузка в неделю, ч

Сборочный цех Отделочный цех Валовая прибыль

ед. / ч 4 ед. / ч

ед. / ч 2 ед. / ч

25 тыс. руб. / ед. 40 тыс. руб.,

100 90

Руководство предприятия ставит своей целью наиболее прибыльное сочетание этих двух видов продукции. Определим переменные — элементы решения: А — выпуск продукции вида А (ед.), Б — выпуск продукции вида Б (ед.). Целевая функция — валовая прибыль (ВП), которую нужно максимизировать:

ВП = 25 X А + 40 X Б. Ограничения: 1) по производительности и загрузке сборочного цеха: 2хА + 4хБ<100;

по производительности и загрузке отделочного цеха:

З X А + 2 X Б < 90;

требование неотрицательности элементов решения:

А, Б > 0.

Получим задачу:

ВП = 25 X А + 40 X Б -> max; 2хА + 4хБ<100; З X А + 2 X Б < 90; А > 0; Б > 0.

Решение задач линейного программирования с двумя элементами решения, подобных задаче в рассматриваемом примере, можно получить даже графически. Но на практике для решения используют компьютеры.

Продолжение примера. Используем для решения задачи средства электронных таблиц MS Excel. Введем в одну ячейку таблицы уравнение целевой функции, в четыре другие ячейки — уравнения четырех ограничений. С помощью команды «Сервис / Поиск решения» получим решение А = 20, Б = 15, а также отчет о величине целевой функции и степени использования производственных мощностей. Максимальная прибыль составит 1100 тыс. руб. при полной загрузке обоих цехов.

С помощью линейного программирования можно решить и следующую задачу: имеет ли смысл увеличить количество доступного ресурса. Например, каков результат увеличения рабочего времени в сборочном цехе на 1 ч в неделю. Этот результат — добавочная валовая прибыль, которая может быть получена, называется двойственной оценкой данного ресурса.

Двойственную оценку можно рассматривать как упущенную выгоду, как прибыль, недополученную из-за нехватки ресурсов. Расширение цеха будет оправдано, если двойственная оценка превосходит затраты на это. Рассчитывать двойственные оценки можно так: 1) добавить час или больше к значению ограничения; 2) решить задачу вновь и найти наибольшее значение целевой функции; 3) подсчитать разницу между прежним и новым значениями, она и составит двойственную оценку данного ресурса.

Пример. Если в приведенном выше примере рабочую неделю в сборочном цехе увеличить на 8 ч, то новое оптимальное решение будет: А = 18 штук. 5 = 18 штук, ВП = 1170 тыс. руб. Двойственная оценка составит: 1170-1100 = = 70 тыс. руб. Таким образом, каждый дополнительный час работы сборочного цеха принесет 70 000 / 8 = 8750 руб. дополнительной прибыли.

Нелинейное программирование. Оно объединяет методы решения задач, которые описываются нелинейными соотношениями. Постановка и решение задач нелинейного программирования принципиально не отличаются от постановки и решения задач линейного программирования. К задачам нелинейного программирования относятся задачи оптимизации производства для большинства предприятий, поскольку в настоящее время они действуют на неоднородном рынке в условиях монополистической конкуренции и спрос на их продукцию зависит от цены.

Оптимизация по максимуму выручки или прибыли. Предприятие, действующее на неоднородном рынке, или предприятие-монополист может легко использовать этот метод, если связь цены и сбыта представить линейной функцией. Выручка от реализации определяется так:

ВВ = Et = i+n Pi х Qi = Іі = 1+n (at x Qt bt x Qt2), (7.1)

где ВВ — валовая выручка; Pt — цена і-го вида продукции; Qt — объем производства и реализации і-го вида продукции; ^непостоянные коэффициенты линейной зависимости цены соотве-ственно от объема производства и сбыта і-го вида продукции; і — порядковый номер вида продукции; п — общее число видов продукции, которую предполагается производить в планируемом периоде; Xi= 1+п — суммы по всем п видам продукции. Прибыль предприятия определяется так:

G = ВВ ВИ = Еі = [(гц х Qt bt х Qt2) (ПОИ + СПИі х Qi)], (7-2)

где ВИ — валовые издержки; ПОИ — постоянные издержки;

СПИ — средние переменные издержки в производстве і-го вида

продукции.

Из (7.1) вытекает целевая функция для максимизации выручки: ВВ = Ei = i+n (ai х Qt — bt х Qt2) —> max.

ax. (7.3)

Из (7.2) вытекает целевая функция для максимизации прибыли: G = Et = i+n [£Ц х Qt (bt СПИі) х Qi2 ПОИ] -> max. (7.4)

Ограничения по загрузке производственных мощностей и по неотрицательности объемов производства продукции не отличаются от случая постановки задачи линейного программирования, как и техника получения решений средствами электронных таблиц MS Excel.