7.3. анализ использования производственных мощностей с применением теории массового обслуживания

7.3. анализ использования производственных мощностей с применением теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания представляет собой прикладную область теории случайных процессов. Теория рассматривает вероятностные модели реальных систем обслуживания. Она используется для минимизации издержек в сфере обслуживания, производстве и торговле. При этом учитываются три фактора: 1) ритм изменения количества клиентов или заявок; 2) вероятностные соображения, например каковы шансы столкнуться с необычно большим наплывом покупателей; 3) способ определения издержек ожидания и улучшения обслуживания.

Одноканальная пуассоновская система. Существует несколько моделей очередей в системах обслуживания. Широко применяется простейшая из них — одноканальная пуассоновская система с пуассоновским входящим потоком и бесконечным источником требований. В этой модели учитываются: средняя частота поступления требований — А; средняя пропускная способность канала обслуживания — S.

Модель включает характеристики и уравнения: 1) коэффициент использования системы: А/ S; 2) среднее количество клиентов в системе: А / (S — А); 3) среднее число ожидающих в очереди: А2 / [Sx х (S — А)]; 4) среднее время нахождения клиента в системе: 1 / (S — — А); 5) среднее время стояния в очереди: А/ [S х (S — А)]; 6) удельный вес простоев: 1 — А / S. Покажем анализ системы обслуживания, подчиняющейся условиям указанной модели, на примере.

Пример. На автоматическую мойку машин с одним стендом приезжает по 9 машин в час, причем распределение прибывающих машин близко к пуассоновскому. Время обслуживания одного автомобиля имеет пуассонов-ское распределение, средняя продолжительность составляет 5 мин.

Исходя из этого: А = 9 машин в час; S = 60 / 5 = 12 машин в час. Можно определить: коэффициент использования 9/ 12 = 75\%; среднее число автомобилей на мойке 9 / (12-9) = 3; среднее число машин в очереди 81 / [12 x х (12-9)] = 2,25; среднее время пребывания на мойке 9 / [12 х (12-9)] = = 1/4 ч; удельный вес простоев 1 (9 / 12) = 25\%.

Система обслуживания с ограничением по длине очереди. Она

встречается в практике не реже, чем простейшие системы с неограниченным размером очереди или временем ожидания, которые рассмотрены выше. Пропускная способность систем с ограничением длины очереди определяется так:

q = 1 — (an/n!) х (а/ п)11: : {PWn(«Vk!)] + [(ап/n!) х Zc.0+m(a/n!)c]},

(7.5)

где q — вероятность обслуживания — доля обслуживаемых заявок; а — приведенная плотность потока заявок — коэффициент использования системы, а = А / S; п — количество потоков обслуживания; ц — максимальная длина очереди; к и с — немые индексы; £к = о+п и Zc = o+in — суммы с указанием пределов суммирования; ! — факториал.

Доля времени простоев определяется так:

Р = 1 / {PWn(«V k!)] + [(aV п!) х Zc.0+m(a/n!)с]}. (7.6)

Приведем пример анализа системы обслуживания с ограниченной длиной очереди.

Пример. На станцию технического обслуживания автомобилей поступает в среднем 1 машина в 2 ч. В очереди на обслуживание может стоять до 3 машин. Имеется один пост обслуживания и ремонта. Среднее время ремонта — 2 ч.

Определим: 1) характеристики обслуживания; 2) как они изменятся, если установить еще один пост обслуживания и ремонта.

Плотность потока заявок: А = 0,5 машин в час. Средняя пропускная способность: S = 0,5 машины в час. Число потоков обслуживания: п = 1. Возможное число клиентов в очереди: ц = 3. Коэффициент использования системы: a = 1. По формуле (7.5): q = 1-1 / (1+ 1 + 3) = 0,8. Абсолютная пропускная способность станции: Q = q х А = 0,8 х 0,5 = 0,4 машины в час. Простои станции по формуле (7.6): р = 1 / 5 = 0,2, т.е. 20\% рабочего времени.

Если добавить еще один пост обслуживания, то п = 2. Тогда по формуле (7.1): q = 1 (1/16) /(1+1 +1/2 + 1 /4 + 1 /8 + 1 /16) = 0,98. Пропускная способность: 0,98 х 0,5 = 0,49 машины в час, что на 22\% больше, чем при наличии одного поста. Доля простоев по формуле (7.2): 1 / [1 + 1 + 1 / 2 + + (1 / 2) х (1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8)] = 0,34, т.е. 34\%.