4.7. теория игр в экономическом анализе

4.7. теория игр в экономическом анализе

4.7.1. Теория игр и область ее применения в экономическом анализе

Изучая специальные методы линейного программирования, симплексный и модифицированный симплексный методы, динамическое программирование, можно заметить, что решения принимал один человек, и у него не было никаких конфликтных ситуаций. Решение задач этими методами производилось в случаях, когда известны целевая функция, ограничения по производственным и финансовым ресурсам и способы их использования. В теории игр рассматриваются задачи принятия решений в хозяйственных ситуациях с несколькими участниками. В этом случае значение целевой функции для каждого участника может не совпадать с целевыми функциями других участников хозяйственной ситуации, а порой и зависит от их решений.

Игрой называют математическую модель, адекватно формализующую представление конфликта. Можно построить множество математических моделей на макрои микроуровнях, где адекватно можно формализовать конфликт.

Теорией игр называют совокупность способов и методов разрешения конфликта между участниками в различных процессах и явлениях. В этом качестве выступают социально-экономические, военные, политические, экологические и другие процессы и явления.

Предметом теории игр выступают такие ситуации, в которых протекают конфликты и совместные действия игроков.

Первыми исследователями, которые систематизировали исследования по теории игр в 1944 г., были Дж. фон Нейман и О. Мор-генштерн. Они описали экономические конфликты, поддающиеся численному изучению. Это направление исследований является более простым. В дальнейшем исследования в области теории игр продолжались учеными разных стран. Исследования в области теории игр с детерминированной информацией перешли к игровым математическим моделям конфликтных ситуаций со стохастической информацией.

Различные виды игр были классифицированы по ряду признаков:

по числу игроков;

количеству стратегий;

свойствам функций выигрыша (платежных функций);

возможности предварительных переговоров между игроками и взаимодействия между ними в ходе игры.

В зависимости от числа игроков, участвующих в конфликтном процессе или явлении, различают игры с двумя, тремя участниками и более. В принципе, возможны игры с бесконечным числом игроков.

По количеству стратегий различают конечные и бесконечные игры. В конечных играх игроки располагают конечным числом возможных стратегий. Сами стратегии в конечных играх называют чистыми стратегиями. В бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий.

По свойствам функций выигрыша (платежных функций) игры классифицируются на две группы: игры с нулевой суммой, или антагонистические, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого; игры с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают и проигрывают одновременно. Между этими двумя крайними случаями имеется множество игр с ненулевой суммой, где присутствуют конфликты и согласованные действия игроков.

В зависимости от возможности проведения предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры. Игра называется кооперативной, если до начала участники образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях. Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии, называется некооперативной. Можно сделать вывод, что все антагонистические игры являются некооперативными. Примером кооперативной игры может служить ситуация образования «сговора», или коалиции, различных фракций в парламенте для принятия путем голосования того или иного закона, затрагивающего интересы участников коалиции.

Одна из характерных черт общественных социально-экономических процессов и явлений заключается во множественности, многосторонности интересов участников этих процессов. Классическими примерами выступают ситуации, когда в них участвуют покупатель и продавец. Более сложные ситуации возникают в том случае, когда выступает группа продавцов и группа покупателей. В этом случае объединения или коалиции лиц участвуют в столкновении интересов. Конфликт между ними может возникнуть из-за различия целей отдельных сторон и многосторонних интересов одного и того же лица. Например, продавцу выгоднее продать больше товара по высокой цене. Покупателю нужно купить определенное количество товара по низкой цене, так что в этом случае интересы покупателя и продавца разные и антагонистические. Аналогично можно рассуждать о коалиции продавцов и коалиции покупателей.

Можно привести другой пример, когда продавцом выступает крупный производитель, а покупателями выступают торговые организации. Возьмем мясокомбинат, который произвел различные виды копченостей, колбасных изделий и полуфабрикатов. Ему нужно продать свою продукцию торговой организации. Безусловно, продукция мясокомбината различна по рентабельности. Мясокомбинат ее произвел в условиях, когда он имел две целевые функции. Это максимум дохода (прибыли) и полное использование сырья. Для торговой организации продукция мясокомбината является разной по привлекательности с точки зрения экономической выгоды. Сосиски и сардельки, имеющие низкую рентабельность у мясокомбината и низкую цену, менее выгодны для производства. Напротив, для торговой организации сосиски и сардельки являются «ходовым» товаром, так как они пользуются большим спросом у населения и быстро реализуются. Таким образом, возникает конфликт между мясокомбинатом и торговой организацией. При заключении договора о поставках мясопродуктов и колбасных изделий торговым организациям происходит «торговля купцов». Каждый заявляет: «Ты мне продай такой-то товар, а я у тебя возьму другой», т.е. «Ты мне продай столько-то сосисок и сарделек, — заявляет торговая организация, — а я у тебя возьму столько-то Краковской и Одесской колбасы». Обе организации знают, что эти виды колбасных изделий пользуются меньшим спросом у населения и не выгодны торговой организации, но выгодны мясокомбинату. Для торговой организации важным показателем является скорость оборота капитала. Для мясокомбината важно выгодно продать товар. Таким образом, можно сделать вывод, что на микроуровне теория игр может использоваться между каждым производителем продукции и ее оптовым покупателем, в качестве которого выступает торговая организация; между предприятием услуг и клиентами; между торговой организацией и покупателями.

Теория игр применяется на макроуровне. Например, рассмотрим ситуацию по продаже топлива (угля, газа, мазута и других видов топлива) промышленным предприятиям, различным организациям Российской Федерации, населению. Производители топлива пытаются поднять цены на свою продукцию. У потребителей топлива всегда есть желание снизить цену производителя. Налицо постоянный конфликт между производителем и потребителями.

Теория игр применяется на мировом уровне, например в установлении цен на нефть. В этом процессе участвуют страны, добывающие нефть и выступающие в качестве продавцов, и страны, покупающие нефть. У нефтедобывающих стран всегда присутствует желание поднять цену на свою продукцию. Потребители нефти, естественно, всегда хотят купить ее по низкой цене. Эта конфликтная ситуация переходит в политическую и экономическую борьбу государств. Для регулирования цен на нефть страны, ее производящие, сознательно сокращают объемы производства для создания дефицита.

Конфликт может проявляться не только в результате сознательных действий различных участников социально-экономической, хозяйственной, политической и других ситуаций, но и в результате действия «стихийных сил», так называемых «игр с природой». Такие примеры можно встретить в биологии, социологии, психологии, военном деле и других направлениях деятельности людей.

Теория игр применяется в спортивных состязаниях, карточных играх. Именно с анализа подобных игр начинается история исследований формирования математической теории игр.

Многие математические модели социально-экономических явлений и процессов должны отражать присущие им черты конфликта. Например, в ассортиментной задаче присутствуют ограничения по максимальному и минимальному выпуску какого-либо продукта. Минимальное количество производства продукции вводится в модель под давлением оптового покупателя. В задачах диеты присутствуют ограничения по максимальному и минимальному вводу в смесь каких-либо видов компонентов, гарантирующих качество выпускаемой продукции. На ведение подобных ограничений влияет конкуренция на рынке продукции.

Отражение конфликта в математической модели социально-экономического явления или процесса можно представить:

через множество заинтересованных сторон, называемых «игроками», или «продавцами и покупателями»;

возможными действиями каждой стороны, именуемыми «стратегиями», или «ходами»;

интересами сторон, отражающимися функциями выигрыша (платежа) для каждого игрока.

В теории игр предполагается, что функция выигрыша и множество стратегий доступны каждому игроку. Они для всех общеизвестны, т.е. каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функции выигрыша и стратегии всех остальных игроков. Именно в этой ситуации игроки организуют свое поведение.

4.7.2. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования

Матричная игра служит наиболее удобным примером сведения теории игр к задаче линейного программирования.

Рассмотрим матричную игру mn. Пусть эта игра задана платежной матрицей p = («..), где i = 1, 2, m; j = 1, 2, n. Игрок А расj

полагает стратегиями A1, A2, А,, Am. Игрок В располагает стратегиями B1, B2, Bj, Bn. Требуется определить оптимальніше стратегии* CA = (p1*,p2*, p*, pm*) и С/ = (q1*, q2*, qy*, qn*), где p.*, q* — вероятности применения соответствующих чистых стратегий Ai, Bj;

ij

p1* + p2* + »• + pi + "• + pm* = 1, q1* + q2* + + qj + + qn* = 1.

Оптимальная стратегия CA* обеспечивает игроку А средний выигрыш не меньше, чем цена игры v при любой стратегии игрока В, и выигрыш, равный цене игры v при оптимальной стратегии игрока А. Полагаем, что v > 0. Этого можно добиться, сделав все элементы «j > 0. Если игрок А применяет смешанную стратегию CA* = (p1*, p2*, pi*, pm*) против любой чистой стратегии B. игрока В, то он получает средний выигрыш или математическое ожидание выигрыша «j = «1j p1 + «2/. p2 + ... + pm , где j = 1, 2, n (т.е. элементы j-го столбца платежной матрицы почленно умножаются на соответствующие вероятности стратегий первого игрока А1, А2, Ат и результаты складываются).

Для оптимальной стратегии первого игрока СА* все средние выигрыши не меньше цены игры v, поэтому можно построить систему неравенств:

«12 P + «22 P2 +

+ «m2Pm > V,

(4.8)

ЙЛА+ «2«А++ amnPm > v.

Каждое из неравенств можно разделить на число v > 0. Введем новые переменные:

= 1 = 1

Xi — ' Xi — ' Xi

(4.9)

Тогда система (4.8) примет вид:

«11 x1 + a21 x2 + ... + am1 xm > 1

a12x1 + «22X2 + ... + «m2Xm > 1 (4.10) «1nX1 + «2nX2 + ... + «mnXm > 1.

Цель игрока А — максимизировать свой гарантированный выигрыш, т.е. цену игры v.

Разделив на v Ф 0 равенство p1 + p2 + ... + pm = 1, получаем, что переменные xi (i = 1, 2, ..., m) удовлетворяют условию: x1 + x2 + ... + xm = . Максимизация цены игры v эквивалента минимизации величи1

ны v, поэтому задача может быть сформулирована следующим образом: определить значения переменных xi > 0, i = 1, 2, m, так, чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям (4.10) и при этом линейная функция

Z = x1 + x2 + ... + xm —» min (4.11)

обращалась в минимум. Это задача линейного программирования. Решая задачи (4.10), (4.11), получаем оптимальное решение p1*, p2*, pm* и оптимальную стратегию СА*.

Для определения оптимальной стратегии CB* = (q^, q2*, qn*) следует учесть, что игрок В стремится минимизировать гарантированный выигрыш, т.е. найти max —. Переменные q1, q2, qn удовлетворяют неравенствам:

«np1 + q2 + ... + a1nqm < V

«12p1 + «22q2 + ... + «2nqm < V (4.12)

m1 1 m2 2 mn m

которые следуют из того, что средний проигрыш игрока В не превосходит цены игры, какую бы чистую стратегию не применял игрок А. Если обозначить

y. = ^ , j = 1, 2, n, (4.13)

V

то получим систему неравенств:

«11 y1 + «12y2 + ... + «1nyn < 1,

«21 y1 + «22y2 + ... + «2nyn < 1, (4.14) «m1 y1 + «m2y2 + ... + «mnyn < 1.

Переменные yt (j = 1, 2, n) удовлетворяют условию y1 + y2 +

Игра свелась к следующей задаче — определению значения переменных yj > 0, j = 1, 2, n, которые удовлетворяют системе неравенств (4.14) и максимизируют линейную функцию

Z = y1 + y2 + »• + yn

(4.15)

Решение задач линейного программирования (4.13), (4.14) определяет оптимальную стратегию CB* = </2*, </n*). При этом цена игры

1 1

v = ^7 = ——. (4.16)

max Z mm Z

Составив расширенные матрицы для задач (4.10), (4.11) и (4.14), (4.15), убеждаемся, что одна матрица получилась из другой путем транспонирования:

>< 

Таким образом, задачи линейного программирования (4.10), (4.11) и (4.14), (4.15) являются взаимно-двойственными. Очевидно, при определении оптимальных стратегий в конкретных задачах следует выбрать ту из взаимно-двойственных задач, решение которой менее трудоемко, а решение другой задачи найти с помощью теорем двойственности.

Пример 4.1

Промышленное предприятие может произвести три вида продукции (А1, А2 и А3), получая при этом прибыль, зависящую от спроса покупателя, который может быть в одном из четырех состояний (В1, В2, В3, В4). Дана матрица (табл. 4.15), ее элементы cij характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции с j-м состоянием спроса покупателя.

Необходимо определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.

Решение. Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей (табл. 4.15).

Таблица 4.15

Прежде чем решать задачу, можно попытаться упростить игру, проведя анализ платежной матрицы и отбросив стратегии, заведомо невыгодные или дублирующие. Так, вторая стратегия (второй столбец) матрицы (табл. 4.15) невыгодна для игрока В по сравнению с первой (элементы второго столбца больше элементов первого столбца), так как цель игрока В — уменьшить выигрыш игрока А. Поэтому вторую стратегию можно удалить из матрицы. В результате получим матрицу Р размером 3 х 3.

Г3 6 8 ^

P

v

942 754

Определим нижнюю и верхнюю цены в табл. 4.16. Так как [3, то седловая точка отсутствует и оптимальное решение следует искать в смешанных стратегиях игроков:

СА* = (p1, p2, p3 ) и CB* = (q1, q2, q3). Обозначив = — , , = 1, 2, 3 и yx = —, у = 1, 2, 3, составим две

v V

взаимно-двойственные задачи линейного программирования (см. (4.10), (4.11) и (4.14), (4.15)).

Задача 1 Задача 2

3x1 + 9x2 + 7x3 > 1, 3y1 + 6y2 + 8y3 < 1,

6x1 + 4x2 + 5x3 > 1, 9y1 + 4y2 + 2y3 < 1,

8x1 + 2x2 + 4x3 > 1, 7y1 + 5y2 + 4y3 < 1,

xt > 0, , = 1, 2, 3, yy > 0, j = 1, 2, 3,

Z = x1 + x2 + x3 ^ min. Z = y1 + y2 + y3 ^ max.

Решаем симплексным методом задачу 2. Введем дополнительные переменные в неравенства, прибавляя их к соответствующим уравнениям системы, т.е.:

3y1 + 6y2 + 8y3 + y4 = 1,

+ + = 1,

+ + + 1,

Уу > 0, j = 1, 2, 6.

Целевая функция будет иметь вид:

Z = У1 + У2 + У3 + У4 х 0 + y5 х 0 + y6 х 0 ^ max.

В качестве опорного плана в симплексной таблице используем:

y= (У4; У5; У6) = (1; 1; 1).

Для решения задачи 1 необходимо превратить неравенства в системе в равенства путем введения дополнительных переменных —x4; —x5; —Так как отрицательные неизвестные нельзя вводить в базис, введем в равенство искусственные неизвестные x7; x8; x9. Следовательно, получим следующую систему уравнений:

3x1 + 9x2 + 7x3 — x4 + x7 = 1,

6x1 + 4x2 + 5x3 — x5 + x8 = 1,

8x1 + 2x2 + 4x3 — x5 + x9 = 1.

Целевая функция будет иметь вид:

Z = x1 + x2 + x3 — 0 х x4 0 x x5 0 x x6 + M x x7 + M x x8 + + M x x9 —» min.

x. > 0, j = 1, 2, 9.

j

Как видно из представленной задачи линейного программирования, процедура решения ее модифицированным симплексным методом значительно сложнее, потому что размер симплексной таблицы увеличен.

За опорный план другой задачи можно принять:

X = (x7; x8; x9) = (1; 1; 1).

Целевые функции при решении задач 1 и 2 совпадают. Решая задачи симплексным методом, получим: цену игры v = 5,4, СА = (0,4; 0; 0,6).

Следовательно, предприятию нужно выпустить 40\% продукции А1 и 60\% продукции А3. Продукцию А2 выпускать не следует.

Так как в решении СВ = (0,2; 0; 0,8), то оптимальный спрос покупателя для состояния В1 равен 20\%, а для состояния В3 — 80\%.

4.7.3. Перспективы развития и применения теории игр в рыночных условиях хозяйствования

Ценность теории игр состоит в том, что это почти единственный метод исследования операций, позволяющий найти оптимальное решение в конфликтной ситуации двух сторон и более. Оптимальное решение достигается за счет применения точных количественных методов оптимизации использования ресурсов. Ценность теории игр возрастает с применением ЭВМ и компьютерной техники. Это позволяет ускорить проведение трудоемких вычислительных процессов.

Теория игр может быть использована в планировании, выработке управленческих решений и экономическом анализе. Все зависит от поставленных целей и задач игроков или коалиций в исследуемой экономической, политической или военной ситуации. Особенно это важно в рыночных условиях хозяйствования, когда возникают риски и неопределенности в оценке хозяйственных ситуаций, когда неопределенность можно оценить вероятностными характеристиками. Безусловно, науке необходимо разработать соответствующие способы и методы решения конфликтных ситуаций в условиях детерминированной и стохастической информации. Для каждого случая должны быть разработаны методология и методика исследования, позволяющие практическому работнику использовать теорию игр в своей работе. Эти методики должны быть просты по содержанию, чтобы практические работники не отказывались работать с ними. Например, службам маркетинга на предприятиях и в организациях различных отраслей экономики в первую очередь придется освоить теорию игр для практического использования при заключении договорных поставок со своими партнерами (покупателями). Маркетологи вполне могут разработать программу конкурентной борьбы на рынке сбыта продукции, заключения договоров с поставщиками сырья на предприятие. Безусловно, теория игр выступает как инструмент поиска оптимальных решений в условиях конфликтных ситуаций на рынках сырья и готовой продукции.

В связи с тем что конфликтные ситуации проходят от низших звеньев хозяйствования до управления на макроуровне, теоретические и методические вопросы использования теории игр в планировании, экономическом анализе, поиске управленческих решений должны найти центральное место в экономических, математических и психологических исследованиях. Поэтому с развитием рыночных отношений в Российской Федерации и вступлением ее в ВТО возрастает перспектива использования теории игр в торговых отношениях внутри страны и на внешнем рынке.

С использованием детерминированных методов оптимизации в разрешении конфликтов, возникающих в рыночных отношениях между участниками рынка, возрастает роль использования компьютерной техники и ЭВМ. Поэтому можно сделать заключение, что перспектива развития теории игр связана с применением компьютерной техники и ЭВМ, а практическая ценность теории игр состоит в нахождении оптимального решения при антагонистических интересах двух игроков или коалиций.

В настоящее время в связи с наличием стандартных компьютерных программ симплексного метода предоставляется возможность находить оптимальные решения с применением теории игр в конфликтных ситуациях покупателя и продавца. Для этого конфликтную ситуацию сводят к матричной игре. Это позволяет свести стратегию каждого игрока к задаче линейного программирования, решаемой симплексным методом. Решив две двойственные задачи, размерностью mn, получаем оптимальные стратегии для каждого игрока x*, y* и цену игры v. Все эти вычисления можно провести на компьютере по стандартной программе симплексного метода и найти оптимальное решение в конфликтной ситуации. Это решение устроит обе стороны игрового процесса. Данная постановка имеет практическую ценность и может быть использована экономистами и маркетологами в работе во всех отраслях экономики Российской Федерации.

На современном этапе развития рыночных отношений существуют решения игр с ненулевой суммой и кооперативных игр. Эти решения трудоемки, и практические работники не имеют возможности применить их в своей работе. Подобные исследования нужно упрощать и доводить методики их применения до минимальной степени сложности.

Заслуживает внимания использование позиционных игр, в которых задается последовательность принятия решений игроками. Число игроков в такой игре может быть равно двум, трем и более. К позиционным играм двух игроков можно отнести игру в шахматы и шашки. Здесь игроки принимают решение, зная обо всех предыдущих решениях партнеров. Позиционную игру представляет не матрица выигрышей, а дерево решений или в общем случае можно назвать граф решений, приводящий игроков из исходной позиции в конечную. Эти игры удобны. Они дают возможность получить рациональное решение, но не гарантируют оптимальных решений. Применение этих игр в конкурентной борьбе на практике дало хорошие результаты. Безусловно, в чистом виде позиционных игр нет. К ним примешиваются политика запугивания одной фирмы другой, влияния рисков и многие неожиданности, которые предвидеть, тем более просчитать, иногда не представляется возможным.

Контрольные вопросы и задания

В чем сущность линейного программирования?

Назовите особенности метода динамического программирования.

В каких случаях применяется теория массового обслуживания?

Что такое имитационное моделирование?

Как формируется имитационная модель анализируемого объекта?

Каким образом осуществляется прогнозирование деятельности анализируемого объекта?

Что такое эвристика? Перечислите эвристические приемы.

Что такое игра?

Что такое теория игр? Каков ее предмет?

Когда возникает игровая ситуация?

Что такое двойственная задача?

Назовите область применения теории игр в маркетинге на предприятии.

Каковы перспективы применения теории игр?

Что такое позиционная игра?

Назовите область применения позиционных игр.

Каким способом решаются позиционные игры?