4.2.2. математические модели оценки акций

4.2.2. математические модели оценки акций

С точки зрения постановки проблемы, задача правильной оценки акции проста: цена акции должна равняться ее экономической стоимости, которая, в свою очередь, определяется приведенной стоимостью всех денежных потоков, обеспечиваемых акцией. Акция предоставляет инвестору денежные доходы двух типов: дивиденды, выплачиваемые регулярно по результатам работы компании, и суммы денег, равные цене акции в момент ее продажи (ликвидации). Значит, чтобы найти рыночную цену акции в любой момент времени, необходимо дисконтировать поток дивидендов и ликвидационную сумму на интересующий нас момент времени.

Существуют три теоретические модели оценки акций: дисконтирования потока дивидендов, дисконтирования потока доходов и дисконтирования потока денег. Если используемые в этих моделях переменные величины подобраны правильным способом, то все модели дадут один и тот же результат. Наиболее часто используется модель дисконтирования дивидендов. Рассмотрим ее.

Представим, что в исходный момент времени t = 0 цена акции составляла Po руб. По прошествии холдингового периода цена акции возросла до P1 руб., и владельцу акции выплачивается дивиденд в размере D1 руб. Тогда доходность (k) акции за холдинговый период:

P1 + D1 Po

k = . (4.4)

Po

Эту формулу можно преобразовать и найти величину Po:

D1 P1

Po = + . (4.5)

(1 + k) (1 + k)

Доходность, которая в формуле 4.5 служит ставкой дисконта для вычисления приведенной стоимости акции, называется рыночной ставкой капитализации. В условиях эффективного рынка став72

2) Во-вторых, Гордон предложил считать все величины gi равными друг другу, то есть дивиденды возрастают ежегодно в (1 + g) раз, причем величина g не меняется до бесконечности. Иными словами, в модели Гордона:

D2 = D1 х (1 + g),

D3 = D2 х (1 + g) = D1 х (1 + g)2,

D4 = D3 х (1 + g) = D2 х (1 + g)2 = D1 х (1 + g)3 и т.д.

С учетом этого допущения, формула 4.7 примет вид:

D1 D1 х (1 + g)2 Dlх(1 + g)3

PV = Po = + + + ... (4.8)

(1 + k)1 (1 + k)2 (1 + k)3

Если же считать, что дивиденд D1 = + g), где Do дивиденд, выплачиваемый годом раньше, то формула (4.8) может быть записана так:

D0 х (1 + g)1 D0 х (1 + g)2 D0 х (1 + g)3

PV = Po = + + + ... (4.9)

(1 + k)1 (1 + k)2 (1 + k)3

Выражение (4.9) представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Сумма членов такой прогрессии:

D1

S = Po = . (4.10)

k g

Итак, согласно модели Гордона, приведенная стоимость акции (Po) определяется делением величины ожидаемого по результатам текущего года дивиденда (D1) на разность между рыночной ставкой капитализации (k) и ожидаемой ставкой прироста дивиденда (g).

4.2.3. Взаимосвязь факторов, воздействующих на стоимость акции

Обратимся к формуле 4.10:

D1

Po = . (4.10)

(k g)

и выразим отсюда ставку капитализации:

D1

k = + g.

Po

74

Первое слагаемое (D^o) называют дивидендной доходностью, и ее оценка не вызывает особой сложности. Труднее обстоит с величиной g. Для ее оценки можно применить следующий способ: пусть в течение года акция принесла прибыль на акцию (E1). Выплачиваемые дивиденды определяются долей выплат (p): D1 = p х E1. Например, если фирма выплачивает в виде дивиденда 40\% доходов на акцию, полученных за год, то p = 0,4 и D;i = 0,4 х Еь Остальная часть идет на реинвестирование, то есть направляется фирмой на закупку нового или обновление старого оборудования. Эта часть определяется долей возврата (b). Значит, p = (1-b) и D1 = (1 b) х E1 = = 0,4 х E1. Если предполагать, что фирма использует только собственные средства, то доходность реинвестированных доходов равняется отношению прибыли на акцию (E1) к балансовой стоимости акции. Эту доходность называют доходностью капитала (return on equity ROE):

чистая прибыль на акцию E1

ROE = .

балансовая стоимость акции

Можно доказать, что величина g = b х ROE. Если подставить полученные выражения для D1 и g в формулу 4.10, то получим:

E1 х (1 b)

Po = . (4.11)

k-b х ROE

Эта формула связывает между собой две доходности: k ставку капитализации, определяющую издержки упущенной возможности приобретения акции, то есть доходность наилучшего альтернативного средства такого же уровня риска, и ROE доходность капитала. Взаимодействие этих двух величин с учетом дивидендной политики фирмы (что определяется величиной b) воздействуют на текущую стоимость акции, и все акции условно можно разбить на три группы: акции «нормальных» компаний, акции «растущих фирм», акции «угасающих» фирм».

Нормальные фирмы характеризуются тем, что для них k = ROE. Значит, нормальная фирма и ее конкуренты выбрали возможности инвестировать собственные средства в проекты с NPV > 0 и вынуждены вкладывать деньги в инвестгащонные объекты с NPV = 0. Поэтому ROE каждой фирмы уравниваются и приближаются к рыночной ставке капитализации (k). Подставим выражение k = ROE в формулу 4.12 и получим:

E1 х (1-b) E1 х (1-b) E1 х (1-b) E1

Po = = = = . (4.12)

k b х ROE k b х k k х (1-b) k

75

Эта формула позволяет сделать два вывода: во-первых, ставка дисконта (k) может быть выражена через соотношение Po/E1 только в том случае, если k = ROE. Во-вторых, если фирма «нормальная», то инвесторам абсолютно безразлична ее дивидендная политика, они получают одинаковую отдачу от акции вне зависимости от соотношения дивидендов и ценового выигрыша.

Для растущей фирмы ROE > k, то есть эта фирма имеет возможность инвестировать собственные средства в такие проекты, для которых NPV > 0. Иными словами, подобные фирмы имеют возможность приобретать капитальные ресурсы с издержками k процентов и получать от их эксплуатации доходность ROE, превышающую k.

Наконец, для угасающей фирмы ROE < k. Она не в состоянии реинвестировать деньги в проекты с NPV > 0. Подобные фирмы переживают значительное сокращение производства и, как правило, получают отдачу за счет более высокой доли дивиденда.

Модель Гордона утверждает, что если источником финансирования фирмы служат только ее собственные средства без привлечения средств со стороны, то дивидендная политика фирмы оказывает воздействие на ее цену только в случае «ненормальности» фирмы. В случае «растущей» фирмы стоимость акции повышается при увеличении доли (b) доходов, идущей на реинвестирование; когда фирма «угасает», то повышение цены акции возможно при расширении дивидендных сумм.

4.3. Принципы ценообразования облигаций 4.3.1. Типы облигаций

Существуют два основных типа облигаций.

Одни продаются по номинальной стоимости и обеспечивают владельцу облигации получение регулярных купонных выплат плюс получение номинала в срок погашения облигации. Такие облигации называются купонными. Другие продаются по дисконтной цене ниже номинала, выплата по ним производится один раз в день погашения облигации, когда владелец облигации получает ее полную стоимость. Облигации подобного типа относят к чисто дисконтным, или бескупонным.

76

При оценке облигаций обоих типов основное значение имеет понятие приведенной стоимости, под которой, в общем случае понимают ту сумму денег, которую инвестор должен заплатить за финансовое или реальное средство, чтобы через определенные промежутки времени это средство приносило требуемые инвестором суммы денег.

4.3.2. Оценка облигаций

Приведенная стоимость (PV) облигации высчитывается по формуле:

PV = P = V t +

й (+ i)t Є + ')n, (4.13)

где: PV приведенная стоимость облигации, равная цене (Po) облигации в момент ее покупки (при t = 0);

Ct периодические купонные выплаты по облигации; Mn номинальная стоимость облигации; i ставка дисконта;

n количество периодов, по окончании которых производятся купонные выплаты.

Как следует из формулы 4.13, для определения PV (следовательно, и текущей цены (Р0)) облигации необходимо задать, по меньшей мере, следующие параметры:

а) величину купонных выплат (Ct) и номинала (Mn);

б) периодичность получения купонных выплат (определяемую

величиной t); для облигаций может быть установлена любая

периодичность через месяц, раз в полгода, раз в год и т.п.;

в) длительность холдингового периода облигации, зависящую от

величины n;

г) ставку процента i, по которой дисконтируются потоки денежных выплат; эта ставка называется требуемой доходностью (в

дальнейшем будет показано, что она определяет доходность к

погашению облигации).

Приведенная стоимость (PV) бескупонных облигаций находится из формулы (6.13), полагая величины купонных выплат Ct = 0. Отсюда:

Mn

PV = Po = . (4.14)

(1 + i)n

77

Mn 1000

Po = = = 258,4 рублей

(1 + i)n (1,07)20

Приведем пример расчета цены облигации в случае многократных купонных выплат в течение года. Положим, m = 2, то есть процент по облигации выплачивается раз в полгода. Для нашей облигации применительно к формуле 4.15 имеем: m х n = 2 х 20 = 40;

Ci/2 = 25 рублей; i/2 = 3,5\%, значит:

„ 25 1000

P0 = 7 Г + = 786,5 руб.

0 f=1(1 + 0,035)' (1 + 0,35)40