3.1. необходимость многомерного дисконтирования

3.1. необходимость многомерного дисконтирования

В результате возможного взаимного усиления денежных поступлений нескольких проектов создаётся дополнительная стоимость. Такая стоимость возникает благодаря взаимному увеличению объёмов продажи одних товаров, связанных с производством и/или приобретением других товаров. Усиление возможно, например, между проектами производителей микропроцессоров и разработчиками программных средств, когда продажа аппаратуры непосредственно связана с необходимостью приобрести соответствующие программные компоненты. В швейной промьштаенности успехи продаж готовых изделий во многом связаны с удачами проектов модельеров.

Допустим в явном виде рациональную множественность инвестиций в реальные, и/или финансовые, и/или нематериальные активы, тогда многомерные обобщения уравнений для роста денежных сумм предыдущей темы должны удовлетворять правилу предельного перехода. Если денежные потоки различных проектов, не имеют взаимного влияния и могут рассматриваться в виде совокупности одномерных денежных потоков, то векторное уравнение должно переходить в совокупность не связанных между собой уравнений сложных процентов.

Упрощенно предположим для вектора денежных сумм линейность приращения, которое фиксируется за один временной период по отношению к вектору денежной суммы предыдущего периода. Такое предположение приводит к степенной зависимости будущих денежных сумм от числа целых периодов времени t наращивания начального вектора.

FV = (I + R)* • PV, (3.1)

где PV вектор денежных сумм, характеризующих вложения инвестора в начале инвестиционного цикла;

60

fv вектор денежных сумм, характеризующих достигнутое благосостояние через t календарных периодов; R матрица ставок сравнения; I единичная матрица.

Диагональные элементы матрицы ставок сравнения соответствуют значениям доходности без учёта взаимодействия. Элементы, расположенные вне главной диагонали этой матрицы, позволяют учесть взаимодействие составляющих сложной денежной суммы.

Допустим, что матрица I+R имеет обратную матрицу, тогда наличие прогноза вектора будущей суммы позволяет найти настоящее значение этого вектора, т.е. осуществить многомерное дисконтирование следующим образом:

PVt = (I + R)-lFVt. (3.2)

Необходимо отметить, что уравнения (3.1) и процедура дисконтирования (3.2) удовлетворяют требованию предельного перехода и в случае диагональной матрицы ставок сравнения переходят в совокупность уравнений сложных процентов и уравнений традиционного дисконтирования соответственно.

Рис. 3.1

61

Наличие кососимметрической составляющей в матричном дисконте позволяет моделировать волнообразные денежные потоки проектов, свойственные развивающейся рыночной экономике (см. рис. 3.1).

3.2. Вектор чистого дисконтированного дохода

Допустим, что каждая будущая сумма представляется элементом векторного потока реальных денег. Тогда вектор чистого дисконтированного дохода за инвестиционный цикл продолжительностью Т определяется следующим образом:

npv = £ (i + r)-tcft, (3.3)

t=0

где CF, вектор реальных денег для периода времени t.

В качестве продолжительности всего инвестиционного цикла может быть принята максимальная продолжительность инвестиционного цикла из всех составляющих многомерного инвестиционного процесса.

Постоянный поток реальных денег. Пусть выполняются следующие условия:

CFt = CF = Const, t = 1, ... ,Т.

Кроме того, допустим, что вектор стартовых инвестиций сосредоточен в начальном моменте времени и равен IC0. Тогда вектор чистого дисконтированного дохода представляется следующим образом:

С r ^

npv = -ic0 +

где матрица

£ zt cf, (3.4) z = (i + r)-1. (3.5)

Введем обозначение

s = z + z2 +... + zt-1 + zt, (3.6)

Несложно показать, что

s = (i z)-1z(e zт).

Следовательно, в этом частном случае вектор чистого дисконтированного дохода можно представить в виде

npv = -ico + (i z)-1 z(i zт )cf , (3.7)

62 что позволяет для практически важных частных случаев получить удобные матричные соотношения и содержательно их проинтерпретировать.

Асимптотические оценки вектора NPV. Допустим, что все собственные значения матрицы Z по модулю меньше единицы, тогда, если т -— оо и вектор потока реальных денег постоянный, имеем оценку вектора чистого дисконтированного дохода

NPVM = -ICo + (і (R +1)-1 )CF . (3.8)

Принятие инвестиционных решений по вектору NPV. Допустим, что в интересах единого собственника параллельно реализуются n инвестиционных проектов, тогда вектор потока реальных денег включает n элементов. Общий инвестиционный эффект может быть оценен суммой всех чистых дисконтированных доходов

NPVS = £ NPVk , (3.9)

где NPVk чистый дисконтарованный доход fe-го инвестиционного проекта, который рассчитывается по формуле (3.3).

Если интересы инвестора представляются подмножеством проектов K, то критерий (3.9) переходит в следующий показатель

NPVZ = £NPVk . (3.10)