3.6. векторная функция логистического роста (вфлр)

3.6. векторная функция логистического роста (вфлр)

Рассмотрим процедуру многомерного логистического дисконтирования для построения критериев экономических эффективности, которые учитывают взаимосвязанные пределы роста альтернативных капиталовложений.

Инвестиционная практика предоставляет примеры взаимного влияния темпов роста и пределов экономического роста инвестиционных процессов, параллельно реализуемых на одном предприятии или на предприятиях, связанных технологическими цепочками.

Когда инвестиционные циклы вытолняются в интересах единого собственника или кооперирующихся собственников, конечные экономические результаты этих циклов также могут взаимно усиливаться или взаимно ослабляться. Ограниченная емкость рынка для продуктов и услуг каждого инвестиционного проекта приводит к тому, что интегральный инвестгащонный эффект ограничен. Таким образом, пределы локального и глобального экономического роста взаимно связаны. Эти особенности сложных инвестиционн^іх процессов необходимо учесть и исследовать для оценки технико-экономической реализуемости портфелей инвестиционных проектов и/или ценных бумаг.

Определим матричную логистическую функцию для дискретного времени следующим образом:

Y(t) = (I + (B I) • (I + R)-1 )-1B, (3.18)

где R квадратная матрица ставок сравнения, размер которой определяется числом взаимодействующих инвестиционных циклов;

B матрица пределов роста;

I единичная матрица.

65

ВФЛР является векторной функцией времени, заданной операцией умножения матричной функции Y(t) на некоторый вектор начального состояния.

Интерпретация для денежного представления экономического ограниченного роста состоит в следующем. Значение вектора будущих сумм определяется ВЛФР векторным уравнением сложных процентов

FVL (t) = (I + (B I) • (I + R)-1 )-1 B • PVL , (3.19)

где PVL -значение вектора денежных сумм в начальный момент времени;

FVL(t)будущее значение вектора денежных сумм.

Если все вещественные части собственных значений матрицы (I + R)-1 по абсолютной величине меньше 1, то асимптотическое значение вектора будущих сумм можно оценить, зная матрицу пределов роста

FVL и = B • PVL . (3.20)

Допустим, что матрица пределов роста обратима, тогда уравнение (3.19) можно решить относительно вектора PVL. Многомерный рост теперь позволяет привести прогноз значения вектора будущих денежных сумм к настоящему моменту времени с учетом взаимного влияния инвестиционных составляющих, используя уравнение

PVL = B-1 • FVL + (I B-1) • (I + R)-tFVL . (3.21)

Для исследования показателей экономической эффективности в непрерывном времени необходимо решить следующее матричное уравнение:

eA = I + R (3.22)

относительно матрицы A.

Матричная экспонента e-tA определяется следующим разложением в ряд:

etA = £ (tA)k-. (3.23) k=0 k!

66

Теперь ВФЛР (3.19) приобретает следующий вид:

FVL (t) = (I + (B I) • e-tA )-1 B • PVL . (3.24)

Допустим, что спектр собственных значений матрицы А является простым и состоит из положительных чисел. Тогда финальное значение ВФЛР

lim FVL(t) = B • PV (3.25)

t->m

и, следовательно, не зависит явно от элементов матрицы А.

Дисконтирование вектора будущих локальных инвестиционных эффектов для непрерывного временного представления инвестиционного цикла задается соотношением

PVL t = B-1 • FVL t + (I B-1) • e-tA • FVL t . (3.26)

3.7. Вектор логистического чистого дисконтированного дохода

Воспользуемся уравнением (3.21) для дисконтирования векторного потока реальных денег CFt. Вычисляя сумму дисконтированных элементов этого потока, имеем для вектора логистического чистого дисконтированного дохода следующее соотношение:

NPVL = B-1 •£CFt +(i-B-1 )•£( + R)-tCFt . (3.27)

t=0 t=0

Если определить вектор чистого дохода многомерного инвестиционного потока

CF2 = £ CFt (3.28)

t=0

и вектор чистого дисконтированного дохода

t t=0

NPV = £(l + R )-tCFt

то уравнение (3.27) представляется в наглядной форме:

NPVL = B-1 • CFE+(l B-1 )• NPV . (3.29)

67