5.2. логистическое дисконтирование

5.2. логистическое дисконтирование

Этот метод двухпараметрического дисконтирования позволяет приблизиться к экономической реальности, поскольку он учитывает предел экономического роста и удовлетворяет правилу предельного перехода. Когда ограничение на предел роста отсутствует, логистическое дисконтирование переходит в общепринятую процедуру. Здесь приведены соответствующие определения и уравнения для расчета критериев экономической эффективности.

Многие недоразумения оценки эффективности инвестиций связаны с тем допущением, что наилучшее применение финансов способно обеспечить экспоненциальный рост богатства участника экономического сообщества. Здесь рассматривается процедура двухпараметрического дисконтирования, основанная на допущении об ограниченном пределе этого роста даже в самом благоприятном варианте развития инвестиционного цикла.

Применение степенной функции для дисконтирования, по своей сути, допускает обратимость экономического времени. Реальный экономический рост можно представить в виде последовательности S-образных траекторий. Переход на новую более высокую траекторию роста обычно происходит, когда экономическое развитие наталкивается на очередной барьер. Огибающая к ^-образным роста, как правило, сама повторяет эту же форму. Для того, чтобы выполнить логистическое дисконтирование необходимо идентифицировать параметры этой процедуры. Для корректного исследования показателей экономической эффективности инвестиционного цикла следует идентифицировать инвестиционный цикл системы, в которую включена исследуемая подсистема. Для российской экономики, по мнению автора, цикл является десятилетним и начинается в 1999 году, но из-за возмущающих воздействий на российскую экономику политического и военного характера этого года, а также для удобства анализа разумно принять начало фазы качественного роста 2000 год. К этому году следует отнести начало качественных изменений в российской экономике. За этот и следующий десятилетний период можно ожидать рост на порядок размера вовлеченного в хозяйственный оборот национального богатства страны. Темпы и пределы экономического роста хозяйствующих объектов, погруженных в глобальную для них систему, могут быть самыми разными.

Для сопряжения построенной ниже модели с ранее построенными приложениями разумно предъявить к ней требование перехода в традиционную степенную модель сложных процентов.

Среди моделей ограниченного роста, удовлетворяющих этому требованию, выделяется функция логистического роста (ФЛР). Эта функция с успехом используются для исследования развития экономических и технологических систем. За начало отсчета времени здесь выбирается начало перехода системы на качественно новый виток спирали развития.

y(t) = tl° . (1)

где

b = Уж_ параметр пределов роста, характеризующий потенциал

y 0

роста от начального y 0 до предельно достижимого y ж; апараметр темпа роста.

ФЛР для значений времени, удовлетворяющих условию t <<1, близка к функции экспоненциального роста, а ее предел роста ограничен и равен b y0 .

Заметим, что уравнение (1) может быть представлено в следующем виде

y(t) = logistC (b,a, t) ■ y 0. (2)

где логистический оператор logistC для непрерывного времени определяется уравнением

logistC (b,a, t)

b

1 + (b -1) • e ~"-t

(3)

Пусть процесс роста исследуется в дискретном временном представлении, тогда между параметром темпа роста и процентной ставкой r имеется следующее соотношение:

a = ln(1 + r),

(4)

b

(5)

Чтобы получить удобные разностные уравнения для вычисления ФЛР рассмотрим её значение для следующего момента времени

y (t +1)

b^y 0

1 + (b -!)• e~at •e~a

(6)

Из (1) (3) следует, что

y(t +1)

b^y 0

b^y 0

1 + (b !)• e ~at^e ~a 1 + -^ e -a

y(t)

(7)

y 00

1 + -1)

y(t)

1

1 + r

Если возникает необходимость оценить значение ФЛР на предыдущем шаге по известному значению y(t+1), то удобно использовать следующее соотношение. Имеем

1

y(t) J 1 + r y (t + 1)

-1

y(t)

-1 =

(

y(t+1)

-1

)(1+

r)

Отсюда следует соотношение, позволяющее найти настоящего значения будущей суммы y(t) = ( у"' )

1+(i+I)-1)41+r)

Для дисконтирования необходимо уметь обращать логистические операторы для вычисления начальных значений. Из (1) следует, что

у0 = (1 + (1 - ^e V (9)

а для дискретного представления времени получаем, что

"0 = G + (1 У ^(1 + Г)-t )y(t). (10)

Таким образом, обращение логистического оператора приводит к убывающей экспоненте следующего вида:

expIC (g ,a, t) = g + (1 g) ■ e-**, (11)

где g = —. Иначе b

logistC 1 (b, a, t) = expIC (b 1, a, t) (12)

Аналогично для дискретного представления времени получаем,

что

expID( g, r, t) = g + (1 g) ■ (1 + r) "t, (13)

следовательно,

logistD 1 (b, r, t) = expID(b 1, r, t). (14)

Теперь можно наделить определенный выше формализм экономическим смыслом. Пусть время дискретно, а будущий элемент денежного потока оценивается в результате прогноза значением FVL (Future Value Logistic). Уравняем это значение в соответствии с подходом раздела 7.1 с настоящим значением PVL (Present Value Logistic), на который воздействует скалярный дискретный логистический оператор. Тогда

FVL

PVL = g • FVL + (1 g) .

(1 + r))

(15)

Принципиальное значение имеет целевое назначение процедуры дисконтирования. Допустим, что необходимо сравнить два инвестиционных цикла с одинаковыми стартовыми инвестициями разной протяженности, начатые в разное время, по их эффективности. Тогда следует привести для каждого проекта все локальные эффекты к началу качественных изменений в глобальной системе, а затем их просуммировать.

Параметры логистического дисконтирования имеют следующий смысл: g является величиной обратной к величине отношения предела роста к настоящему значению, а r процентная ставка. Заметим, что в случае малых значений g логистическое дисконтирование переходит в обычное дисконтирование.

Для обоснования инвестиционных решений используется чистый дисконтированный доход. Основой для расчета этого показателя является прогноз будущих денежных потоков доходов и затрат. Для этого осуществляется приведение локальных по времени экономических эффектов к моменту времени принятия решения.

Если воспользоваться уравнением (15), то чистый дисконтированный доход приобретает форму

NPVL = g .V NCFt + (1 g) •У^г, (16)

to to (1 + r)

где

NCFt элемент потока реальных денег (Net Cash Flow).

NPVL чистый дисконтированный доход логистический, если все элементы денежного потока NCFt приводятся к актуальному для анализа моменту времени оператором, обратным логистическому.

В тех случаях, когда начало инвестиционного цикла лежит левее момента времени перехода на качественно новую траекторию глобального экономического роста, поток реальных денег формально дополняется равными нулю элементами. Представим соотношение (16) в виде

NPVL = g • NCF2 + (1 g) • NPV , (17)

где сумма чистых доходов

NCF z = V NCFt , t=0

а чистый дисконтированный доход

NCFt

NPV = > -,

t0(1 +r) t

Следует подчеркнуть, что такое определение интегрального экономического эффекта в предельном случае при малых значениях параметра уравнения (17) g переходит в обычный показатель чистого дисконтированного дохода.

Интересно отметить, что такой подход взвешивает и в определенной степени примиряет два главных подхода к исследованию инвестиций: бухгалтерский подход и подход, учитывающий фактор времени с помощью дисконтирования. Когда консервативно мыслящий бухгалтер исключает возможность экономического роста, он фактически использует параметр свертки g для суммарных чистых доходов, равный 1. В противоположность ему оптимистически настроенный аналитик верит в возможность экономического роста по степенному закону и принимает g=0.

Рассмотрим частные случаи.

Когда стартовые инвестиции сосредоточены в начале жизненного цикла проекта, уравнение (16) приобретает следующую форму

IC 0 Г 1 g

NPVL = 0— + • > | 2+

0

I &+gI NCFt , (18)

где

IC 0 величина стартовых инвестиций проекта;

t0 количество периодов времени от начала качественных изменений в глобальной экономической системе.

В еще более частном случае постоянного потока реальных денег, формула для расчета NPVL становится такой:

NPVL = Ic0— + [(1 g) • • (1 (1 + r)-(r-10) ) + g • (т 10 )] • NCF , (19)

(1 + r)t0 r

а для продолжительного инвестиционного цикла, когда стартовые инвестиции осуществляются в начале глобального цикла и выполняется условие r>0, последнее соотношение приобретает следующее приближенное представление:

NPVL IC0 + [(1 g) — + g NCF , (20)

r

Рассмотрим следующий по важности критерий экономической эффективности. Внутренняя норма доходности логистическая IRRL соответствует такой ставке сравнения, при которой логистический чистый дисконтированный доход, определенный уравнением (16), равен нулю. Таким образом, для расчета этого показателя следует решить относительно IRRL следующее уравнение

Y ncf, =(b -1) -J ncf' t, (21)

или в другой форме

Y NCFt =-_!_, (21') j-0 (1 + IRRL)t b 1

где нормированный по величине суммарной чистой прибыли поток реальных денег удовлетворяет условию

ncf;= ncf^.

t ncf z

В простейшем случае, соответствующему уравнению (20), получаем

IRRL

, ncf

b t

IC 0

Заметим, что уравнение (21') позволяет утверждать о наличии подобных по определяющим величинам b, IRRL, т инвестиционных процессов. Кроме того, присутствие дополнительного параметра потенциала роста b позволяет избежать многих неприятностей, связанных с неопределенностью оценки внутренней нормы доходности в традиционном подходе.

Не вызывает принципиальных затруднений определить и исследовать срок окупаемости и индекс рентабельности, когда для прогноза экономического развития используется ^-образная ФЛР.

Разработанный подход позволяет проводить инвестиционное проектирование, учитывая ограничения экономического роста.

Практическое применение этой процедуры логистического дисконтирования позволяет:

Сравнивать инвестиционные циклы разной продолжительности с разными началами реализации;

Учитывать в аналитических процедурах оценки экономической эффективности инвестиций циклические насыщения экономического развития.

Объединяя методы и идеи многомерного дисконтирования и логистического дисконтирования, следующим логическим шагом для разработки аналитического инструментария построения многомерных моделей с учетом существующих ограничений экономического роста.