3.1. оптимизация и совершенствование системы управления в инвестиционном менеджменте

3.1. оптимизация и совершенствование системы управления в инвестиционном менеджменте

Типы потоков платежей

Потоки платежей — это платежи, последовательные во времени, например, выплаты по купонам облигаций, пенсии и т. д.

Рассмотрим основные определения характеристик потоков платежей, используемых ниже.

Регулярным потоком платежей (финансовой рентой, аннуитетом) называются платежи, у которых все выплаты направлены в одну сторону (например, поступления), а интервалы (периоды) между платежами одинаковы.

Нерегулярным потоком платежей именуются платежи, у которых часть выплат является положительными величинами (поступления), а другая часть ~ отрицательными величинами (выплаты сторонним организациям). Интервалы между платежами в этом случае могут быть не равны друг другу.

Наращенная сумма потока платежей — это сумма всех выплат с начисленными на них к концу срока сложными процентами.

Современная стоимость потока платежей — это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока по сложной процентной ставке.

Рассмотрим общий случай потока платежей. Пусть Л* ~ ряд платежей, имеющих знак «плюс» или «минус», ^ — время

6--1452 67

выплаты под номером к = 1, 2, К, К — количество выплат, 4 общий срок выплат, / сложная процентная ставка наращения, начисляемая один раз в году, выплаты производятся в конце периода.

В соответствии с определением наращенная сумма такого потока платежей рассчитывается по формуле:

5=|;^х(і+о"ґ"'>(3-м)

Современная стоимость потока платежей определяется соотношением:

А=І-^-. (3.1.2)

Современную стоимость, определяемую соотношением (3.1.2), можно получить также дисконтированием наращенной суммы (1.3.1). Действительно:

—= І К х О + 0ім —= І Л, х (1 + /)"" = = А

(1+0* & (1+0 Д

Иначе это выражение можно записать в виде:

S = Ax(i + i)'K (3.1.3)

Пример 3.1.1. Имеется следующий график платежей во времени:

01.01.2001 г. 20 тыс. руб.

г. 30 тыс. руб.

г. 10 тыс. руб.

г. 40 тыс. руб.

Требуется определить сумму задолженности на 01.01.2003 г. и ее современную стоимость на момент выплаты первой суммы при ставке наращения 15\% годовых.

Наращенная сумма вычисляется по формуле (3.1.1):

5' = (20xl,152 +30xl,15u + 10xl,15 + 40)xl000 = 114947,13(^6.

Современная стоимость потока платежей определяется соотношением (3.1.2):

А = (20 + -29+ — + -^-)xlOOO = 86916,54 руб. 1,15й U5 Ц5а' ^

Этот же результат можно получить, используя формулу (3.1.3), т. е.:

^ = 114947ДЗ 54. 1,15і

Постоянной называется рента, выплаты которой не изменяются во времени. По моменту выплат в пределах между началом и концом периода ренты делятся на:

* постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты производятся в конце периода;

» пренумерандо, когда выплаты производятся в начале периода;

♦ ренты с платежами в середине периода. ВИДЫ ФИНАНСОВЫХ РЕНТ

Годовая рента

Постоянной называется рента, выплаты которой не изменяются во времени.

Мы будем рассматривать в основном ренты постнумерандо. Связь рент постнумерандо с остальными типами будет установлена позже.

Рассмотрим различные виды финансовых рент.

Годовая рента постнумерандо предусматривает выплаты начисления процентов один раз в конце года.

Определим наращенную сумму годовой ренты. Пусть в течении я лет в банк в конце каждого года вносится сумма R руб., на которую начисляются сложные проценты по ставке /' \% годовых. Таким образом, на первый взнос проценты начисляются я-1 год, на второй — п-2 года и т. д.

Наращенная сумма к концу срока будет равна:

S = Rx(l + iy~' +Rx(l + i)"-1 + ... + Rx(l + i) + R.

Если посмотреть на это выражение справа налево, то можно увидеть, что оно является суммой геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии q = 1 + /. Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

= Rx(q"-i) g-l '

где R — первый член прогрессии;

и количество членов прогрессии. Таким образом, наращенная сумма годовой ренты к концу срока вычисляется по формуле:

5 = Л*0±ІГЧ. (3.1.4)

Часто эту формулу записывают в виде:

S = Rxsaj, (3.1.5)

где

, -<1+/)ч

(3.1.6)

— коэффициент наращения ренты, табулированная функция.

Для определения современной стоимости годовой ренты необходимо каждый платеж продисконтировать на начало срока ренты и сложить все дисконтированные платежи. Дисконтированное значение первого платежа равно Rv, второго — Rv, последнего Rv, где:

1

V ~ 1+1'

Современная стоимость, равная сумме всех платежей, определяется соотношением

A = Rxv + Rxv2 +Rxv3 +... + Rxv" =J?Xv(l + v+v! + ... + v""').

Выражение в скобках является суммой геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии v и с количеством членов прогрессии, равным п. Таким образом, современная стоимость годовой ренты вычисляется по формуле:

A = Rx

(ц.0—1 = д„ 1-0+Q-

l-1+i

Часто эту формулу записывают в виде:

A = Rxa„j, (3.1.7) где

а «ы±£1 (3.1.8)

коэффициент приведения ренты, табулированная функция.

Пример 3.1.2. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 ооо руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых. Нужно определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (3.1.6):

, .,(Hi)li=U£ld 799.

«;і і о,і5

Наращенная сумма:

S = Rxsnj = 10000x11,066799 = 1106667,99руб.

Коэффициент приведения ренты находится по формуле (3.1.8):

иі+о-^ьигі=

і 0,15

Современная стоимость определяется соотношением (3.1.7):

А = R х = 1 ООООх 4,16042 = 41604,2 руб.

Ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке

Для годовой ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке проценты начисляются т раз в году каждый раз по ставке j/m, где у номинальная ставка.

Срок ренты равен п лет. Количество начислений на первую выплату равно (я 1), на вторую (я 2)т, на предпоследнюю т, на последнюю 0. Отсюда следует выражение для наращенной суммы ренты:

mm m

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен

= (1 + -4"'.

т

а количество членов — пт. Таким образом:

= дх—"1 = Дх< „я. 0-1.9)

т

где

(1+1)""-I

_ т (3.1.10) т

коэффициент наращения ренты, табулированная функция.

Для определения современной стоимости ренты определим дисконтные множители каждого платежа. Дисконтный множитель для первой выплаты равен

1 , I

, для второй -— ,

(+j/m)m (l+j/m)

для последней — J

(l+j/m)""

Отсюда следует выражение для современной стоимости ренты:

R R R

S = — + - -^ + +  

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен

§ = (1 + —)'", а количество членов п. т

Таким образом:

l-(i+j/m)m

Иначе эту формулу записывают в виде:

-(+j/my

A = Rxamnj/m, (3.1.11)

где* . =^i^ -. (3.1.12)

— коэффициент приведения ренты, табулированная функция.

Пример 3.1.3. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по номинальной ставке 15\% годовых, причем проценты начисляются поквартально. Требуется определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (3.1.10):

mti.jJm

(Н

т

(!+/)--! (1+0Л5/4)4-!

Нарашенная сумма:

S = Дх5„„,;/„Л 0000x11,366392 =113663,92 руб.

Коэффициент приведения ренты определим по формуле (3.1.12):

= (1+j7m)"""-l = (1+015/4)^7-1 а--"- l-^+j/т)" i_(i+0,15/4)4 '

Современная стоимость ренты:

A = Rxawl_jla я 10000x4,054672 = 40546,72дуб.

Ренты с неоднократными выплатами в году

Если выплаты производятся р раз в году, то такая рента называется р-срочной или рентой с неоднократными выплатами в году. Начисления на первую выплату каждого года, равную Р/р, производятся р 1/р лет, на вторую — р 2/р лет, на предпоследнюю — 1/р лет, на последнюю — 0 лет. Наращенная сумма за каждый отдельный год в конце этого года составит:

Д, =R/px{l + iyp-')l',+R/px( + iyp-2)'''+... + R/px(l + i)u''+R/p.

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен (1 + І)1/р. Поэтому:

R.=R/px '-

Сумма всех ежегодных платежей, равных RI, в течение п лет вычисляется по формуле:

l(l+0""-lJ

I

4

(3.1.13)

где

д^ = г л (3-1.14)

коэффициент наращения ренты, табулированная функция.

Дисконтированная величина первой выплаты каждого года на начало этого года равна

R/px 1

(1+0"' '

Ир »

1

второй R/рх

(1+0

предпоследней R/px г-^7->

последней RIрх '

(1+0

Современная стоимость выплат за каждый отдельный год в начале этого года составит:

1 , „, 1

(i+0"p (i+0"p (l+0fp",)"'

1

4 = R1Р х 7777^ + R1Р х 7777J77 + R1Р х 7гг7

R/px

(1+0

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен 1

Up •

(1 + 0

а количество членов р. Поэтому:

A. =RIрх ' -" -х 1 ^ И'+О "

/ 1

(1+0

Сумма всех ежегодных, дисконтированных на начало этого года платежей за п лет вычисляется по формуле:

v"-l _ 1

А =А, +А, xv + А. XVі + ... + А. xv" ' = A.x— , где V-7TT.

v-1 l + i

Подставив сюда выражение для А, получим:

A = Rx '-<1+Г ,. Hfl+O'"-!]

Это выражение обычно записывают в виде:

A = Rxalp,,, (3.1.!5)

где

а^.,= 'г<1+.г i (злл6)

коэффициент наращения ренты, табулированная функция.

Пример 3.1.4. В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых, причем выплаты производятся в конце квартала. Определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (3.1.14):

[(l+0"p~lj 4х(1,15"4-1) ™

Наращенная сумма S = Rxs,p)„,< = 10000x11,671179 = 116711,79/руб.

Коэффициент наращения ренты находится по формуле (1.3.16):

«w~ = v'x I = J=yS= ^87629^6 -рЩ+0 p~l 4x(01,151/J-l) FJ

Современная стоимость фонда:

A = Rxalp)nj = 10000x4,387629 = 43876,29^6.

Рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году

Самым общим типом является рента с начислением процентов номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году.

В любом году производится р выплат по R/p руб., где R -годовая выплата. Количество начислений процентов в году по номинальной ставке j равно т. Срок ренты п лет. Количество начислений на первую выплату любого года к концу этого года равно (р I) т/р, на вторую (р 2) т/р, на предпоследнюю — т/р, на последнюю 0. Наращенная сумма на все выплаты года к концу этого года определяется соотношением:

Я, = Rfpx( + Jim)1"'1"* +R/px(l + j/m)(p-1/p)m +...+

+ R/px(l + jfm)""p +RIp

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен (1 + j І т)'пІр, количество членов р, поэтому сумма:

(l+j/m)H,'-l

Количество начислений до конца ренты на наращенную сумму первого года равно (п )т, на наращенную сумму второго года (я 2)т, на наращенную сумму предпоследнего года -/и, на наращенную сумму последнего года 0. Тогда наращенная сумма всей ренты:

S=RX if-^ '- ; 1.

pxfa + J'™) Р~Ч

Перепишем это выражение в виде:

S = ftxW„, (3.U7) где

(l + j/m)mn-l m 1Jrt

коэффициент наращения ренты, табулированная функ-

Определим современную стоимость ренты. Так как количество приведений на первую выплату любого года к началу этого года равно т/р, на вторую 2т/р, на предпоследнюю -(р-1)хт/р , на последнюю т, то дисконтированная величина первой выплаты каждого года на начало этого года равна

предпоследней R/px

R/px ! —, второй R/px 1 , , ,

(l+j/my

(l+j/m)(p-])n"p ' 1

последней ~ R/pX

Современная стоимость выплат за каждый отдельный год в начале этого года составит:

R —Rl рх —-———— + R/ рх ї-т^ +

R/px ' +R/px1

(l+y/m)"""""' О+У/л)"

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен

Vті р = , а количество членов р. Поэтому:

R,=R/px- v 1

Количество приведений на современную стоимость 1-го года: равно 0, на современную стоимость 2-го года т, на современную стоимость 3-го года 2т, на современную стоимость последнего года — (п 1) х т. Тогда современная стоимость всей ренты: 78

i-(i+y/m)-'""

Л = ЛХ Т— — ; !■

Перепишем это выражение в виде:

^»Jlxew-Jf., (3.I.I9)

где

MHJ/m)-" (ЗЛ.20)

pxfa+jfm)"'-l]

— коэффициент наращения ренты, табулированная функция.

Пример 3.1.5. В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых, причем выплаты производятся в конце квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Нужно определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоим*їиг«иеКоэффициент наращения ренты находим по формуле (3.1.18):

5тв 1Ы = _Ч+Л«Г:1 , = у+0,15/12Г-1 = 12>|0876.

"" pxJ(l+y/«)""-lJ 4х[(1+0,15/12)І2М-і)"

Наращенная сумма S = Rxsmn.Jlm = 10000хІ2,10876 = 121087,6#уб.

Коэффициент приведения ренты находим по формуле (3.1.20):

а - Ьд+^яО""' 1-(1+0,15/12)-';1 1261ggl ","'"m ~ px([l+y/m)""-l]" 4х[(1+0,15/12)ш"-і] '

Современная стоимость фонда:

А = Rxaip)~.,i. = 10000х 4,264981 = 42б4931дуб.

Из соотношений (3.1.17) и (3.1.18), а также из (3.1.19) и (3.1.20) следуют формулы для частного случая, когда количество начислений процентов в году равно количеству выплат в году. Подставив в эти соотношения т = р, найдем:

УдДхд+;/т)--і, (1.з.21)

j

j

Пример 3.1.6. В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых, причем проценты начисляются и выплаты производятся в конце каждого месяца. Требуется определить величину фонда на конец срока.

Решение. Наращенная сумма определяется по формуле (3.1.21):

j 0,15

Ренты с выплатами в начале и в середине периодов

При расчете характеристик рент с выплатами в начале и в середине периодов используются характеристики аналогичных рент постнумерандо.

При выплатах в начале периода (рента пренумерандо) наращенная сумма годовой ренты определяется выражением:

S, = Дх(І + і)'' + Лх(1 + і)""1+-.+ Ях(1 + /) = Дх^^— (1 + 0і

S, = Sx(l + i). (3.1.23)

Здесь и S наращенная сумма годовой ренты пренумерандо и постнумерандо соответственно. Таким образом, наращенная сумма годовой ренты пренумерандо в (1 + /) раз больше наращенной суммы годовой ренты постнумерандо. Это связано с

тем, что число периодов начисления процентов для ренты пренумерандо больше на единицу.

Можно показать, что аналогичная зависимость существует между современными стоимостями рент пренумерандо и постнумерандо, т. е.:

Л = Ax(l + i). (3.1.24)

Здесь А и А — современная стоимость годовой ренты пренумерандо и постнумерандо соответственно.

Пример 3.1.7. В фонд ежегодно в начале года поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых. Нужно определить величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Величина фонда на конец срока определяется по формуле:

5, =10000x^^x1,15 = 127268,18^6 ■

Современная стоимость фонда:

А, =10000х^|~х1,15 = 47844,83р7бВ любом году производится р выплат по R/p руб., где R — годовая выплата. Причем выплаты осуществляются в начале периода. Количество начислений процентов в году по номинальной ставке j равно т. Срок ренты — п лет. Количество начислений на первую выплату любого года к концу этого года равно т, на вторую О 1)т/р, на третью (р 2)т/р, на последнюю -т/р. Наращенная сумма на все выплаты года к концу этого года определяется соотношением:

Rl=R/Px( + j/m)" +R/px(l + j/m)'-''-"l')n + ...-i-R/px(l + jlm)""' =

={l+j/m)~R!px(i+j/my-"p>m+Rlpx(l+j/m){i'-2"')°,+...' +R/px(l+j/m)",fp+R/p

Знаменатель геометрической прогрессии, сумма которой помещена в квадратные скобки, равен (1 + j/m)m/p, количество членов — р, поэтому:

6-1452

81

Количество начислений до конца ренты на наращенную сумму первого года равно (л )т, на наращенную сумму второго года (я 2)т, на наращенную сумму предпоследнего года -т, на наращенную сумму последнего года 0. Тогда наращенная сумма всей ренты:

S,=Rx j1*^")"-1 .xQ + jtm)"". p]L+J/m)-"-i

Перепишем это выражение в виде:

S, =Sx(l + jlmf", (3.1.24)

где S, S~ наращенная сумма ренты пренумерандо и по-стнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и неоднократными выплатами в году, соответственно.

Аналогично формула для современной стоимости ренты:

A, = Ax(+jlm)mlp, (3.1.25)

где А, А — современная стоимость ренты пренумерандо и постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году, соответственно.

Пример 3.1.8. В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб., на которые начисляются проценты в течение семи лет по ставке 15\%годовых, причем выплаты производятся в начале каждого квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Нужно определить наращенную сумму и современную стоимость фонда.

Решение. Наращенная сумма находится по формуле (3.1.24):

s^rx а-н-у/^г--! (1+у/тГ^.

Наращенная сумма ренты постнумерандо: s = Л* W« =10000x12,10876 = 121087,6руб. Наращенная сумма исследуемой ренты:

Ss=Sx( + j/m)H" =121087,6(1 + 0.15/I2)12/4 = 125685,38дуб. Современная стоимость ренты постнумерандо: А = tfxa"V,/" = 10000 x 4,264981 = 4264981 = 42649,81дуб. Современная стоимость исследуемой ренты:

4 = Ax{+jlm)mlp = 42649,81(1 + 0,15/12)12М = 44269,25руб.

В любом году производится р выплат по R/p руб., где R -годовая выплата. Выплаты производятся в середине периода. Количество начислений процентов в году по номинальной ставке j равно т. Срок ренты и лет. Количество начислений на первую выплату любого года к концу этого года равно (р )т/р + т/2р, на вторую (р 2)т/р + т/2р, на предпоследнюю Зт/2/>, на последнюю т/2р. Наращенная сумма на все выплаты года к концу этого года определяется соотношением:

Rl=R/px( + j/myp'Up)«tmnp+R/px(l + j/m)(p-2p'p)m*'n'l!'+...+

R/px(l+j/m)""p*mnp+R/px(l+j/m)'*'2>'.

Знаменатель геометрической прогрессии, сумма которой записана в квадратных скобках, равен (1 + ;/т)т/р, количество членов р, поэтому общая сумма:

Количество начислений до конца ренты на наращенную сумму первого года равно (я )т, на наращенную сумму 2-го года (л 2)т, на наращенную сумму предпоследнего года т, последнего года 0. Тогда наращенная сумма всей ренты:

Sul =R} xQ + j/my*** +Rl x(l + j/mf"'2^ +... + ^ x(l + jlni)" +^ = Перепишем это выражение в виде:

Sl/2 = Sx(l + jlm)ml2p, (3.1.26)

где St/2 , S наращенная сумма ренты с выплатами в середине периода ренты постнумерандо с начислением процентов

6--1452

83

по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году, соответственно.

Аналогично формула для современной стоимости ренты:

AU2=Ax( + j/m)m'2p, (3.1.27)

где ASI2, А современная стоимость ренты с выплатами в

середине периода ренты постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году соответственно.

Пример 3.1.9. В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых, причем выплаты производятся в середине каждого квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Определить наращенную сумму и современную стоимость фонда.

Решение. Наращенная сумма находится по формуле (3.1.26):

Наращенная сумма ренты постнумерандо: S = Rxsmi:jlm =10000x12,10876=121087,6^6.

Наращенная сумма исследуемой ренты: SU2 = Sx( + j/m)m>2p = !21087,6х(І + 0,15/12)12/8 =123365,07руб.

Современная стоимость ренты постнумерандо: А = R xa^mjim = ЮООО х 4,264981 = 42649,81руб. Современная стоимость исследуемой ренты:

AU2 =Ax(l + jlm)ml2p = 42649,81х(1 + 0,15/12)12/8 =43451,99г>уб.

Из соотношений (3.1.26) и (3.1.27) следуют формулы для других типов рент. Для годовой ренты т ,р1:

S,l2 =5х(1 + jfm)"2; AU2=Ay.(_ + j/my/2.

Для ренты с начислением процентов т раз в году и при выплатах один раз в году, т. е. при р = 1:

SU2 = Sx( + jim)nl2 ; AXI2 =Ax{ + jim)""2.

Для ренты с начислением процентов один раз в году, т. е. т = 1, и при выплатах р раз в году:

Sl/2 =Sx( + j/m)m'2('i А]/2 = Лх(1 + jlm)mnp.

Отложенные ренты

Отложенными называются ренты, у которых начало выплат сдвинуто вперед. При расчете современной стоимости такой ренты вначале находят современную стоимость исходной ренты, у которой моментом приведения считается начало выплат, а затем приводят полученный результат к началу отложенной ренты. Для годовой отложенной ренты современная стоимость Й рассчитывается по формуле:

lA = Axv! ^Rxan.,v', (3.1.28)

где А современная стоимость исходной ренты, у которой момент приведения считается начало выплат;

I время задержки в выплате ренты;

ап1 коэффициент приведения ренты к началу выплату' = (1+ /)"'.

Пример 3.1.10. Спустя три года после образования в фонд начинают поступать средства по 10 ООО руб. в конце каждого года в течение последующих 7 лет, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых. Нужно определить современную стоимость и наращенную сумму фонда.

Решение. Современная стоимость фонда определяется по формуле (3.1.28), которую перепишем в виде:

H^x1"(1 + 0""x(l + i-rt. і

Подставив сюда данные примера, получим:

3А =10000х1~а + 0,15)—ха + 0Д5)"3 = 27355,44рИ?.

0,15 У

Наращенная сумма фонда определяется по формуле:

5 = Дх(1 + ')"~1 = 1 ООООх1,157 = 110667,99076.

і 0-15 r*

Рассмотрим одну из задач, решаемых с помощью отложенной ренты. Пусть годовая рента постнумерандо, имеющая годовую выплату R и срок и, делится между двумя участниками (например, наследниками), причем первому участнику причитается доля X капитализированной стоимости ренты, второму — (1 X). Определить время получения ренты первым лі и вторым — «2 участниками.

Если известно время получения ренты первым участником, то время получения вторым определяется по формуле:

п2 =п~щ. (3.1.29)

Из условия задачи следует соотношение Alfx=,A1/l~x. Раскрыв это выражение, получим:

„ . „ 1 -(1 + О""1 „ 1-0+0""2 1

(1-*)хДх—^—— = xxRx—Ц-^—х

0 + 0'

Учитывая соотношение (1.3.29), а также следующее из условия задачи равенство п = t, полученную формулу можно переписать в виде:

1-а+О""-*+*х0+о-'" =хх(і+і)-"' ~хх(ї+і)-",

(1 + 0"" =1-х+хх(1 + іУ".

Прологарифмировав последнее выражение, получаем: и, х 1п(1 + 0 = ln[l х + х(1 + 0"" j-Окончательно получим:

' 1п(1 + /)

Пример 3.1.11. Пусть годовая рента постнумерандо со сроком 20 лет делится между двумя участниками, причем первый участник получает 25\% от капитализированной стоимости ренты. Процентная ставка принимается равной 15\% годовых. Определить длительность периодов получения ренты первым и вторым участниками.

86

Решение. Срок получения ренты первым участником определяется формулой (3.1.30):

„ >п&-дс + jcQ + Q~*I_ 1п(1-0,25 + 0,25х1,15'г|1) ~ ln(l + i) " lnU5

Можно положить «t=2 года. Доля второго участника следующие 18 лет.

Вечные ренты

Если срок ренты очень большой или конкретно не оговаривается, т. е. если «-»<», то такая рента называется венной. Формула для вычисления современной стоимости р-срочной вечной ренты с начислением процентов несколько раз в году следует из соотношений (1.3.29) и (1.3.30) при л~>«:

где R — годовая выплата; j — номинальная процентная ставка; р количество выплат в году; т — количество начислений процентов в году.

Пример 3.1.12. Определить цену р-срочной вечной ренты, выплаты по которой в конце каждого месяца составляют 2000 руб. при номинальной процентной ставке 12\% годовых и при начислении процентов один раз в году.

Решение. Из условия задачи следует р = 12, т = ,j = і — 0,12. Подставив результаты в формулу (1.3.31), получим:

АІЩш =2107743 дуб.

Формула для вычисления современной стоимости годовой ренты следует из (3.1.31) при подстановке туда р 1, т = 1:

4.=-(3.1.32) і

Пример 3.1.13. Определить цену годовой вечной ренты, выплаты по которой в конце каждого года составляют 24000 руб. при процентной ставке 12\% годовых.

Решение. Подставим данные примера в формулу (3.1.32), получим:

А„ = 24000/0,12 = 200000руб.

Определение параметров рент

При определении величины годовой выплаты ренты используются полученные выше формулы для расчета наращенной суммы и современной стоимости различных рент. При этом должны быть заданы все параметры ренты, кроме годовой выплаты. Для р—срочной ренты с начислением процентов т раз в году величина годовой выплаты определяется по формулам (3.1.17) и (3.1.19):

R =

где S и А ~ наращенная сумма и современная стоимость ренты, соответственно s(p)mn;

j'/m, а(р)тп, j/m — коэффициенты наращения и приведения ренты, соответственно;

т — количество начислений процентов в году;

j номинальная процентная ставка;

п — срок ренты в годах.

Пример 3.1.14. В фонд ежегодно в конце периода поступают средства в течении семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно (раз в году). Наращенная сумма к концу срока составит 100 ООО руб. Определить коэффициент наращения ренты и годовую выплату.

Решение. Коэффициент наращения ренты при поквартальных выплатах и начислении процентов ежемесячно находится по формуле (3.1.18):

(„) _ (l + jtmr(1 + 0,15Л2)'"-1 ,,шол,

зку'шг,)1т = г ; 1= 1 тгг,—Ч 12,1 Об /о

px[( + j/m)n"'-l 4x[(l+0,15/12)l2'"-lj

Коэффициент наращения ренты при поквартальных выплатах и начислении процентов один раз в году (т 1) определяется формулой:

(1 + 0"-1 (1 + 0,15)7-1

рх[(1 + 0"" -lj 4х[(1 + 0,15)|/4 -lj"

Годовые выплаты при начислении процентов ежемесячно составят: 88

s,pi„m:i/», 12,10876

Годовые выплаты при начислении процентов раз в году составят:

R = —г-.— = = 8568,1 руб ■

5{р,! 11,67118

Для р-срочной ренты пренумерандо с начислением процентов т раз в году величина годовой выплаты определяется по формулам (3.1.24) и (3.1.25):

Л = 3 г-, R = 4 г-, (3-1.34)

где S[ и А наращенная сумма и современная стоимость ренты пренумерандо, соответственно;

s(p)mn, j/m и а(р)тп, j/m — коэффициенты наращения и приведения ренты постнумерандо соответственно.

Пример 3.1.15. В фонд ежегодно в начале периода в течение семи лет поступают средства, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно (раз в году). Наращенная сумма к концу срока составит 100 000 руб. Определить годовую выплату ренты.

Решение. Коэффициент наращения ренты постнумерандо при поквартальных выплатах и начислении процентов ежемесячно находится по формуле (3.1.18);

$w„JlK =12,10876.

Коэффициент наращения ренты постнумерандо при поквартальных выплатах и начислении процентов один раз в году (т = I) равен;

= 11,67118.

Годовые выплаты при начислении процентов ежемесячно составят:

R = — ■— = — 7956,37руб ■

W-0 + j/m)-" 12,Ю876(1 + 0,!5/12)Ш4

Годовые выплаты при начислении процентов один раз в

году:

R = —А_ = 100000 ім = 8273,9 Хрув ■VjO + i)1" 12,ю876(1 + 0,15)1м

В практической деятельности возникают задачи определения срока ренты при прочих известных параметрах. Срок ренты определяется из формул для наращения суммы и современной стоимости ренты, которые получены нами раньше. Наиболее общим случаем постоянной ренты является рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году. Для этой ренты наращенная сумма определяется формулами (3.1.17) и (3.1.18), Перепишем эти формулы, объединив их в одну:

S = Rx 0 + ;/"Г-ї .. (3.1.35) px[(l + j/my"'~l

Представим формулу (1.3.35) в виде:

-хрх[(1 + jtm)H'' -l]+ = (l + Jfm)mK. R

Прологарифмировав правую и левую части этого равенства, получаем:

1n-xpx[(l + j/m)"" -l]+l = mx«xln(l + j/m). R

Решив это уравнение относительно и, окончательно получим:

b~xPx[(l + j/m)a"'-\]+

„ = _й (3.1.36)

mxln(l + j/m)

При расчете по этой формуле срок получается, как правило, дробным. Поэтому количество периодов пр округляется до целого числа. Затем уточняется значение разового платежа по формуле, следующей из (3.35):

X = Sx(l + jlmy"P~l. (3.1-37) р (1+_/7т)™""-1

Пример 3.1.16. В фонд поступают средства, на которые начисляются проценты по ставке 15\% годовых, причем выплаты 90 производятся в конце каждого квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Величина фонда к концу срока составит 100 тыс. руб., годовая выплата — 10 тыс. руб. Определить срок ренты. Решение. Срок ренты определяется по формуле (3.1.36):

*{*Р*Ь + ЛтГ>-У ,п2,518828 л]о7

п = — = : = 6,197 лет ■

мхш(1 + j/m) 12x!nl,0125

Количество кварталов в полученном сроке составит и х р = 6,197 х 4 = 24,788. Округляем полученное число до 25, т. е. количество лет ренты принимается равным 6,25. Подставив это число в формулу (1.3.37), получим величину ежеквартальной выплаты:

R_SyQ + Jfm)'"'-l_l0,i, (1 + 0,15/12)""-1 р ~ (1 + j/m)""" -1 " (i + 0,15/12)IIA" -1

Аналогично находят формулу для срока ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году по ее современной стоимости. Эта формула имеет вид:

In

п = —

1+_/■/«)-"-l]

(3.1.38)

mxln(l + j/m) Формула для уточнения значения разового платежа:

Д^х0+//«)-''-1, (ЗЛ.39)

р -(l+j/mT'"m

Для других типов ренты срок находится аналогично.

Важной проблемой при анализе потоков платежей является задача расчета процентной ставки ренты. Если известны все параметры ренты, кроме процентной ставки, то расчет процентной ставки можно трактовать как определение доходности финансовой операции. Процентная ставка определяется из соотношений для расчета наращенной суммы и современной стоимости по формулам, полученным выше, для различных типов рент.

В отличие от определения годовой выплаты ренты и ее срока выражение для расчета процентной ставки, как правило, нельзя представить в виде формулы. Поэтому процентную ставку ренты рассчитывают цифровыми способами. Для этой цели могут быть использованы различные методы, из которых наиболее употребляемыми являются методы линейной интерполяции и Ньютона-Рафсона.

Метод линейной интерполяции. Введем следующие обозначения:

А

а= — _ коэффициент приведения ренты; R

s = — — коэффициент наращения ренты;

ін — нижняя граница ставки процента; івверхняя граница ставки процента; / искомая ставка процента;

а„ и ав, — коэффициенты приведения ренты, рассчитанные исходя из нижней и верхней границ ставки процента;

5Н и se, — коэффициенты наращения ренты, рассчитанные исходя из нижней и верхней границ ставки процента.

(= /и+-Іі£і-х(/,-і,), (3.1.40) е.-е.

, = I-H+J_^X(f.-0.

5. -S..

(3.1.41)

Величины /„ и i„ определяются экспертным путем. Величины а или s задаются условиями задачи.

Пример 3.1.17. На основе ежегодных взносов 10 ООО руб. предполагается создать фонд 120 ООО руб. в течение 5 лет. Какова должна быть учитываемая в расчетах ставка процента?

Решение. Расчеты проведем по формуле (3.1.41). 5 = 120/10 = 12. Предположим, что i„ = 35\%, І„= 50\%. Найдем значения коэффициентов наращения ренты ів и І„ коэффициент наращения при ставке процента, находящейся на нижней границе:

5И=[(1 +0,35)511/0,35 = 9,95;

коэффициент наращения при ставке процента, находящейся на верхней границе: 5в = |(1 +0,5)513/0,5 = 13,19.

Искомая ставка процента: і = 0,448, или 44,8\%.

Проверка s = [{1 + 0,448)5 11/0,448 = 11,98. Значение s = 11,98 близко к фактическому значению s = 12, значит, найденная ставка процента рассчитана достаточно точно.

Метод Ньютона—Рафсона. Если есть уравнение fix) = 0, где х корень равнения, то решить его можно итеративным путем (последовательным приближением), т. е. выполнением ряда последовательных этапов (итераций) расчета. Количество итераций зависит от требуемой точности расчета величины х.

Искомая величина х определяется на основе рекуррентного соотношения, выраженного формулой:

**« =**-/0ч)ЛГ(*і)>

(3.1.42)

где fixi;) — значение функции fix) при л: = хк, f(xk) ~~ значение первой производной функции fix) при х — хк, к индекс (номер) итерации.

Последовательность расчетов может быть следующей. Сначала задается значение д: на нулевой итерации (xq) и находятся значения Дхі) и /(х*). Эти величины подставляются в формулу (3.1.42) и на этой основе определяется х]. Если х^ дает хорошее приближение решения уравнения fix) = 0, то расчеты прекращаются, и величина х = х принимается за корень данного уравнения. В противном случае расчеты продолжаются, и далее аналогичным образом рассчитываются xj, jcj и т. д. в зависимости от требуемой точности расчетов.

Для использования метода Ньютона-Рафсона необходимо построить функцию fix). Для этой цели можно использовать как коэффициент наращения, так и приведения. Рассмотрим применение коэффициента наращения

Обозначим через q величину (1 + і), тогда:

к к к

Отсюда искомая функция будет иметь вид:

f(q) = (q"-D-^(q-l)

(3.1.43)

Далее следует, что:

fq) = --nxq

(3.1.47)

(3.1.48)

/'(?) = -Xpl""-|)-nxg-<n-|>. R

(3.1.49)

Пример 3.1. is. Определить доходность инвестиций, выраженную в виде годовой ставки процента, если вложения составили 100 млн. руб., ожидаемая отдача будет представлена квартальной рентой постнумерандо при годовой сумме дохода 10 млн. руб. Срок ренты 15 лет.

Решение. Начальная стоимость инвестиций 100 млн. руб. это современная стоимость ренты. R = 10 млн. руб. У нас ^-срочная рента, значит, платежи начисляются ежеквартально по 2,5 млн. руб.

Известно, что A/R = 100/10 = 10 млн. руб. Значит можно примерно определить ставку процента на примерном уровне /0 = 5,9\%. В этом случае до равно 1,059.

Теперь можно найти fiq) и fq):

/(l,059) = (l,089-|S-l) + 10x4x(I,059^-l) = 0,00059,

f'{ 1,059) = 10x1,059^"' -15x1,0$9<1*-1) = 3,5846.

Следовательно, q, = 1,059 0,00059/3,5846 = 1,05883, а і, =5,883\%.

Подставив найденное значение процентной ставки в формулу исчисления коэффициента приведения для 15 лет, ^-срочной ренты и т = 1, получим расчетное значение данного коэффициента (арасч) и сравним его с фактическим значением (афакту.арасч 10,0003, афакт = A/R = 10. Значения арасч и афакт близки, поэтому можно ограничиться одной итерацией.

Финансовая эквивалентность обязательств

В практической деятельности довольно часто возникают ситуации, когда один поток платежей заменяется другим потоком или одним платежом. При этом соблюдается неизменность финансовых отношений сторон до и после заключения контракта или, как говорят, финансовая эквивалентность обязательств. Расчет платежей в этом случае базируется на уравнении эквивалентности.

Уравнением эквивалентности является равенство сумм заменяемых и заменяющих платежей, приведенных к одному моменту времени.

Принцип финансовой эквивалентности обязательств позволяет, в частности, сравнивать два отдельных платежа, выплачиваемые в различные моменты времени. При этом используются простые проценты, если сроки платежей меньше года, и сложные проценты если сроки больше года.

Пусть имеются два платежа S и со сроками соответственно «| и «2При оценке этих платежей сравниваются их современные стоимости, и тот платеж считается большим, у которого больше его современная стоимость. Иногда возникает необходимость в определении критической ставки ікр, при которой два рассматриваемых платежа оказываются равными. Рассмотрим два варианта.

Для простых процентов критическая ставка находится из уравнения эквивалентности, получаемого путем приравнивания современных стоимостей первого и второго платежей:

1 + и. xi, І + п, xf,.„

l up 1 кр

Решая это уравнение относительно Ікр, найдем:

/ = s>~s> (3.1.50)

Пример 3.1.19. Первый платеж, равный 900 руб., должен быть выплачен через 30 дней, а второй, равный 920 руб., выплачивается через 270 дней. Сравнить эти платежи при простой процентной ставке 15\% годовых и при базе К = 360.

Решение. Современная стоимость первого платежа:

Р = = 888,89дуб.

1 1 + 30/360x0,15

Современная стоимость второго платежа:

р _ ?°2 = 826,97руб.

1 + 270/360x0,15

При заданной ставке первый платеж превышает второй.

Пример 3.1.20. Первый платеж, равный 900 руб., должен быть выплачен через 30 дней, а второй, равный 920 руб., выплачивается через 270 дней. Определить критическую ставку при базе К= 360.

Решение. Критическая ставка, при которой платежи эквивалентны, определяется по формуле (3.1.50):

S2-S, _ 920-900

= 0,0334, или 3,34\%

S, хп2-S2 хл, 900x270/360-920x30/360

Для сложных процентов уравнение эквивалентности имеет

вид:

Решая это уравнение относительно ікр, найдем:

о 1Аиг-»|)

V=f (3.1.51)

Пример 3.1.21. Первый платеж, равный 9 тыс. руб., должен быть выплачен через два года, а второй, равный 12 тыс. руб., выплачивается через пять лет. Сравнить эти платежи при сложной процентной ставке 15\% годовых.

Решение. Современная стоимость первого платежа:

Р1=7Г^_ = 6805,29руб.

Современная стоимость второго платежа:

_12000 = ' (1 + 0,15);

При заданной ставке первый платеж превышает второй.

Пример 3.1.22. Первый платеж, равный 9000 руб., должен быть выплачен через два года, а второй, равный 12000 руб., выплачивается через пять Лет. Определить критическую ставку.

Решение. Критическая ставка, при которой платежи эквивалентны, определяется по формуле (3.1.51):

і^=^- -1 = (12/9)"""1' -1 = 0,1006. или 10,06\% -

7-1*52

97

Пусть мы имеем серию платежей в размерах S[, S2, S$, Sm с соответствующими сроками щ, п2, из, , пт . Заменяем эту серию платежей на один платеж в размере Sq со сроком уплаты лоВеличина So неизвестна, но мы знаем срок консолидированного платежа — поДля определения размера консолидированного платежа рассмотрим два варианта:

«о находится внутри ряда п, п2, «з, , пт, т. е. п < щ < пт. Пронумеруем платежи в интервале щ. \% через j(Sj, я,), а в интервале «о*>т ~ через к (Sk, щ). Тогда разница в сроках определится так: tj= щ п/, t/cпкщ.

Далее необходимо привести все платежи к единой временной точке. Возьмем в качестве такой точки время уплаты консолидированного платежа. В этом случае сумму So можем определить по формуле:

Первое слагаемое правой части характеризует процессы наращения размеров платежей первоначальной серии, сроки уплаты которых должны были наступить раньше срока консолидированного платежа. Второе слагаемое, напротив, выражает процессы дисконтирования примеров платежей, сроки которых наступают позже срока консолидированного платежа;

«о > пт. В этом случае консолидированный платеж производится позже последнего платежа первоначальной серии, поэтому в расчете присутствует лишь одна операция наращения:

So=is,x(l + y)<ЗЛ-53>

Пример 3.1.23. Два платежа со сроками уплаты через 100 и 150 дней и суммами 3 и 5 млн. руб. заменяются одним со сроком 130 дней. Процентная ставка (простая) 30\%. Найти Sq.

Решение.

S0 = Зх[і + (30/360)х0,3]+5х[і + (20/360)х0,з]~' =1$тн.руб. это меньше, чем их суммарная величина, так как консолидированный платеж осуществляется раньше окончательного срока первоначальной серии платежей.

Сложные процентные ставки. При сохранении обозначений, введенных для простой ставки, имеем следующее уравнение эквивалентности.

S0 = £ S, x(l + 0'' + /1 + і'1 ■ (3-1.54)

Определение срока консолидированного платежа. Если сумма консолидированного платежа Sq задана, возникает задача определения его срока. Уравнение эквивалентности записывается в виде равенства современных стоимостей, участвующих в расчетах платежей:

^(І + іхио)-' = £$,x(l + n,xi)"'. (3.1.55) Проведя алгебраические преобразования, получим:

ив=!х= ^ г(3.1.56)

6 і 2S,x(l + «,x0H

Пример 3.1.24. Суммы в размерах 5, 10, 15 млн. руб. должны быть выплачены, соответственно, через 40, 90 и 100 дней. Принято решение заменить их одним платежом 50 млн. руб. Найти срок консолидированного платежа, если используемая в расчетах процентная ставка 20\%.

Решете.

^^х(1 + иух/) = 5х[і + (40/365)х0,2]''+10х[і + (90/365)х0,2]"| + + 15х[і + (160/365)х0,2]~' =28,21 млн.руб.

п„ = 1/ 0,2 х (50 / 28,21 -1) = 3,86 года.

Сложная процентная справка. Если в расчетах используется сложная процентная ставка, то уравнение эквивалентности имеет вид:

^оО + О""0 =Х5;Х(1 + ,'Р(3-1-57) Проведя алгебраические преобразования, получим:

in

"о= —

s0'ZSjxa+i)~ >

(3.1.58)

1п(1 + 0

7М452 99

Пример 3.1.25. Платежи 2 и 3 млн. руб. со сроками уплаты через 2 и 3 года, соответственно, объединяются в один 4 млн. руб. Найти срок консолидированного платежа (п0), если / = 30\%.

Решение.

£SJx(l + 0"!' =2х(1 + 0,3)-2+Зх(1 + 0,3)-3 =Х25 мдн.руб.

п hilliU = 0,4498/0,2623 = 1,714 лет. In 1,3

Ключевые термины И ПОНЯТИЯ

Потоки платежей Постоянные ренты Годовая рента

Современная стоимость потока платежей

Ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке

Ренты с неоднократными выплатами в году

Ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке с неоднократными выплатами в течение года

Ренты с выплатами в начале и середине периодов

Отложенные и вечные ренты

Определение параметров рент

Финансовая эквивалентность обязательств

Контрольные вопросы

Дайте определение регулярным потокам платежей.

Напишите формулу для вычисления наращенной суммы годовой процентной ставки к концу срока.

Напишите формулу наращенной суммы для ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке с неоднократными выплатами в течение года.

Как определяется современная стоимость годовой ренты?

Когда и как используется метод линейной интерполяции?

Тесты

1. Наращенная сумма потока платежей это: А. сумма всех выплат с начислением на них сложных процентов к концу срока;

Б, сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока по сложной процентной ставке;

г

В. сумма всех выплат, дисконтированных на коней срока по сложной процентной ставке.

Формируется фонд на основе ежегодных отчислений в сумме 5 млн. руб. с начислением на них сложных процентов в размере 20\%. Определите размер фонда через 8 лет.

80,16 млн. руб. Б. 85,74 млн. руб.

82,45 млн. руб.

Г. 83,63 млн. руб. '

При определении величины годовой выплаты ренты должны быть заданы все параметры ренты, кроме:

коэффициента наращения; Б. срока ренты;

современной стоимости ренты; Г. годовой выплаты.

Современная стоимость ренты постнумерандо со сроком 5 лет 500 млн. руб. Процентная ставка равна 15\%. Определите наращенную сумму данной ренты:

93,68 млн. руб. Б. 1005,7 млн. руб.

1163,4 млн. руб. Г. 1008,5 млн. руб.

При расчете современной стоимости отложенной ренты сначала определяют:

A. современную стоимость исходной ренты, у которой моментом приведения считается начало выплат;

Б. время задержки в выплате ренты;

B. коэффициент приведения ренты к началу выплат;

Г. длительность периода ренты.

Определить цену годовой вечной ренты, выплаты по которой в конце каждого года равны 24 тыс. руб. при 12\% годовых.

200 000 руб. Б. 250 000 руб.

230 000 руб. Г. 210 000 руб.

Рента пренумерандо это:

А. рента, в которой выплаты производятся в конце периода; Б. рента, в которой выплаты производятся в начале периода;

рента, в которой выплаты производятся в середине периода;

Г. рента, в которой начало выплат сдвинуто вперед.

8. Первый платеж равен 900 руб. и должен быть выплачен через 30 дней, второй равен 920 руб. с выплатой через 270 дней. Сравнить эти два платежа при 15\% ставке и при базе К= 360.

первый платеж превышает второй;

Б. первый и второй платежи равноценны;

первый платеж меньше второго.

Аннуитетом называют:

потоки платежей, у которых все выплаты направлены в одну сторону (например, поступления), а интервалы (периоды) между платежами одинаковы;

Б. потоки платежей, у которых часть выплат является положительной величиной (поступления), а другая часть отрицательной величиной (выплаты сторонним организациям), а интервалы между платежами не равны друг другу;

потоки платежей, у которых все выплаты направлены в одну сторону (например, поступления), а интервалы (периоды) между платежами неодинаковы;

Г. потоки платежей, у которых часть выплат является положительной величиной (поступления), а другая часть — отрицательной величиной (выплаты сторонним организациям), а интервалы между платежами равны друг другу.

Платежи 1 и 2 млн. руб. со сроками уплаты через 1 и 2 года, соответственно, заменяются одним платежом со сроком уплаты через 1,5 года, при 20\% ставке. Определите консолидированную сумму:

3,10 млн. руб. Б. 2,92 млн. руб.

2,85 млн. руб. Г. 3,05 млн. руб.

Список использованной литературы

Гитман ЛДж., Джонк МД. Основы инвестирования. М.: Дело,

1997.

Горемыкин Б.А., Богомолов OA. Экономическая стратегия предприятия. М.: Филинъ, 2001.

Ендовицкий ДА. Комплексный анализ и контроль инвестиционной деятельности: методология и практика. М.: Финансы и статистика, 2001.

Зимин И.А. Реальные инвестиции. М.: Экмос, 2000. 304 с;

Кныш М.И., Перекатов Б.А., Тютиков Ю.П. Стратегическое планирование инвестиционной деятельности. СПб.: Бизнес-Пресса, 1998.