5.1. волатильность и дюрация облигаций

5.1. волатильность и дюрация облигаций

Прежде чем перейти к формированию и управлению портфелем облигаций, необходимо раскрыть основные факторы, влияющие на колебания цен облигаций.

Текущая рыночная цена P0 облигации, имеющей m купонных выплат в год, определяется по формуле:

78

P = У - + mmn , (51)

0 j=t( + i / m)) ( + i / m)mn

где i/m величина доходности к погашению; Cf/m купонные выплаты; Mmn номинал;

n число лет до погашения облигации. Однако номинал облигаций одного класса, как правило, неизменен, поэтому его воздействием на изменение цены облигации можно пренебречь. Влияние же купонных выплат и срока погашения на цену облигации можно в конечном счете свести к исследованию воздействия доходности к погашению.

В таком случае, под волатильностью (изменчивостью)

цены облигации понимается реакция цены облигации на мгновенное, скачкообразное изменение ее доходности к погашению при прочих равных условиях.

Реакция цены облигации на изменение требуемой доходности имеет ряд характерных черт:

Зависимость между доходностью к погашению i и рыночной ценой облигации носит обратный характер. При этом с понижением величины i приращения APo при одних и тех же снижениях доходности к погашению Ai увеличиваются.

Для одного и того же срока погашения облигации, чем выше купонная ставка, тем слабее реагирует цена облигации на одни и те же изменения доходности к погашению. Соответственно, чем ниже купонная ставка, тем сильнее реакция цены P0 на одни и те же изменения доходности к погашению.

Если купонная ставка процента не меняется, то увеличение срока погашения облигации вызывает более сильную реакцию цены P0 облигации на одни и те же изменения ее доходности к погашению i.

79

Категория дюрации была введена в экономическую теорию и практику в 1938 году американским экономистом Ф. Маколи (Frederick R. Macauley). Он показал, что длительность является более приемлемой мерой временного элемента облигации, чем срок ее погашения, ибо длительность учитывает не только полное возмещение инвестиционных затрат в срок погашения, но и размеры поступления купонных выплат, происходящих до погашения.

Принято считать, что дюрация характеризует «средний срок погашения» всего потока денежных выплат, обеспечиваемых облигацией.

Ф. Маколи определял длительность как средний взвешенный срок погашения денежных потоков облигации, где «весами» служат приведенные стоимости этих потоков денег.

Иными словами, если известны временные моменты tv t2, ... tn, после которых инвестор получает купонные выплаты Сг, С2, С3, ... Сп и номинал Mn, то дюрация это средневзвешенная величина этих промежутков времени по долям цены Pi, которую вносит соответствующий денежный поток (купонная выплата и номинал) в начальную стоимость P0 облигации.

Дюрация любой облигации высчитывается по формуле:

1

D = —

■А денежный поток в момент t

(5.2)

где P0 рыночная цена облигации;

t период времени, в течение которого поступает денежный поток (t = 1, 2, ... , n лет); денежный поток в момент t составляют купонные выплаты Ct и номинал Mn;

п количество лет, в течение которых поступают купонные выплаты;

i годовая доходность к погашению.

81

Инвестиционный менеджмент Иными словами,

D = — х

^0

1 х C 2 х C2 3 х C3 4 х C4 n х Cn n xMn

— + — + — + — +.... + — + (1 + i) (1 + i)2 (1 + if (1 + i)4 (1 + i)n (1 + i)n

Заметим, что если начисление купонных выплат производится раз в полгода, то в этом случае величина длительности удваивается:

D при полугодичных выплатах 2 D при годовых выплатах.

Оценим длительность бескупонных облигаций. Поскольку для этих облигаций все величины Gt = 0, то:

г, 1 Г n ■ Mn

D = —х —

Po L(1+i)n

Следовательно, длительность бескупонных облигаций всегда равняется сроку погашения этой облигации n лет.

Сложнее вычислить дюрацию для купонной облигации. Предположим, что инвестор желает определить длительность купонной облигации номинальной стоимостью 1000 руб., сроком погашения 5 лет, с купонным процентом 7\%, выплачиваемым ежегодно, и доходностью к погашению г=5\%. Цена такой облигации:

Po = + J000T = 108656 руб.

0 t=1 (105 )' (1,05 /

Для вычисления D найдем факторы дисконта и приведенные стоимости потоков денег, обеспечиваемых облигацией (в таблице данные по потокам денег в рублях):

82

Управление портфелем облигаций Таблица 5.1

Расчет дюрации облигации

1

2

3 4 5

(1) (2)

70

70 70 70 1070

Фактор дисконта при i = 5\%

13)

0,9524 0,9070 0,8638 0,8227 0,7835 Итого:

Длительность D = 4797,127/1086,558 = 4,415 годам. Колонка (5) в этой таблице показывает долю PV каждой ежегодной выплаты в начальной цене облигации, иными словами, величину:

денежного потока в момент t

Po

Но ведь формулу вычисления дюрации можно представить в виде

D

11

t=i

PV денежногого потока в момент t

ХPo

Тогда становится понятным определение длительности как средневзвешенного срока получения всех денежных выплат: каждый срок выплаты (один год для первой выплаты, два года для второй и т.д.) умножается на «вес», равный

PV денежногого потока в момент t

Po

(сумма этих весов равна 1, или 100\%), и затем полученные произведения складываются. Тогда и дюрацию D можно на 

83

ходить, умножая данные столбца (1) на величины столбца (5) и складывая затем полученные результаты:

D = 1 х 0,06136 + 2 х 0,05843 + 3 х 0,05565 + 4 х 0,05300 + 5 х X 0,077156 = 4,415 годам.

Свойства дюрации. Дюрация зависит от следующих факторов:

доходности к погашению;

срока погашения;

процента купонных выплат. Характеристики дюрации:

длительность D бескупонных (чисто дисконтных) облигаций всегда равна их сроку погашения;

D купонных облигаций всегда ниже их срока погашения T. При этом, если величина периодических купонных выплат остается неизменной, то с повышением срока погашения T = n х t различие между длительностью D и сроком Т возрастает;

как правило, для одного и того же срока погашения D облигации будет тем ниже, чем выше величина купонных выплат (и наоборот). Данное свойство может нарушаться при высоких значениях доходности к погашению i и значительном сроке погашения;

если величины купонных выплат Ct и доходности к погашению i остаются неизменными, то длительность D облигации, как правило, возрастает с увеличением ее срока погашения Т. Положительная взаимосвязь между величинами T и D наблюдается для всех облигаций, кроме тех, которые имеют высокие значения i с большим сроком Т;

при неизменных величинах купонных выплат Ct и срока погашения Т, чем ниже величина доходности к погашению i, тем выше значение длительности D. Модифицированная дюрация. Категория дюрации D

используется в оценке волатильности цены облигации. Эмпи 

84

рически связь между изменениями доходности к погашению i облигации и изменениями ее цены P0 можно представить в виде следующего равенства:

процентное изменение P0 ~ —(D) ' (\% изменения i).

(1+Ї)

Величину [(D)/(1+i)] принято называть модифицированной дюрацией (МБ).

Тогда: процентное изменение P0 ~ -МБ X (\% изменения i). Знак «минус» свидетельствует, что изменения величин i и Po происходят в обратном направлении: увеличение i приводит к падению P а снижение i к возрастанию Po.

Метод использования модифицированной дюрации МЭ для оценки процентного изменения цены облигаций при колебаниях рыночной процентной ставки (что найдет отражение в изменениях доходности к погашению) дает более точные результаты в случае его применения для относительно краткосрочных облигаций с высокими ставками купонных выплат, чем для долгосрочных облигаций с низкими купонными выплатами.