2.4 вычисление составного итога
2.4 вычисление составного итога
Когда P, n и i даны, составной итог можно вычислить. Для наиболее употребительных целочисленных значений величин n и i составлены таблицы выражения (1 + i) п , которое принято называть множителем накопления. Если такие таблицы имеются под рукой, по ним находится требуемый множитель накопления, и он умножается на величину основной суммы, что даст необходимый результат : требуемый итог. Таблицы могут не содержать заданных целочисленных значений величин n и i, тогда использование таблиц несколько усложняется, но является все-таки возможным.
Предположим, что норма процента i табулирована, а значение n находится за пределами таблицы. В этом случае следует представить n как сумму целочисленных величин n1 и n2 , n = n1 + n2 , таких, что n1 и n2 табулированы и для каждого из них по таблице найти
значения соответствующих множителей накопления: (1 + i)n1 и (1 + i) 2 . Перемножение этих множителей и даст требуемый множитель накопления (1 + i) п . Если значение n настолько велико, что не представляется в виде суммы двух табулированных величин, нужно представить его в виде суммы трех, четырех или другого необходимого числа табулируемых величин. Далее определяются множители накопления, соответствующие слагаемым, и необходимый множитель накопления определяется как произведение множителей накопления, найденных из таблицы.
Предположим теперь, что величина n табулирована, но норма процента i принимает нецелое значение, промежуточное между имеющимися в таблице. Тогда можно использовать интерполяцию для получения приближенного значения требуемого множителя накопления. Она заключается в следующем. Пусть заданная норма процента i попадает между соседними в таблице значениями i1 и i2 , i1 < i < i2 . Из этого следует, что для заданного n
(1 + i1 ) П < (1 + i) П < (1 + i2 ) П
Обозначим через X приближенное значение величины (1 + i) п .
В этих условиях составляется пропорция для величины X ,
х (і+/ )п = (1+i2 У(1+h У
(l iiП ((2 iiП '
из которой искомая величина X находится в виде :
х=Iі+li у + рг (°+12)" 0+ii)" ) =
l2l1
ПРИМЕР Найти приближенное значение итоговой суммы при накоплении процентов основной суммы 10000 рб в течение 20 лет при норме процента i = 5,2\%.
РЕШЕНИЕ Из таблицы для множителей накопления имеем :
i 0,055 0,050
(1 + і)20 2,9178 2,6533
В этом случае i1 = 0,050, і = 0,052, і2 = 0,055.
(і2 і)/(і2 і1) = 3/5 = 0,6 . (і і1)/(і2 і1) = 2/5 = 0,4 .
20
Поэтому приближенное значение X величины (1 + 0,052) вычисляется следующим образом
X = ( 0,6 )( 2,6533 ) + ( 0,4 )( 2,9178 ) = 2,7591
Таким образом, итоговая сумма S приблизительно равна
S = 10000 х 2,7591 = 27591 рб.
Когда необходимо найти множитель накопления для значений і и n ,
которых в таблице нет, приходится вычислять этот множитель
непосредственно. При этом удобно вычислить сначала логарифм
множителя накопления по формуле
log(1 + i)п = n log(1 + i).
В предыдущем примере это привело бы к результату
log(1 + 0,052) = 20 log( 1,052 ) = 20 x 0,0693 = 1,0139
что дает величину множителя накопления равную 2,7562 и итоговую сумму 27562 рб. Этот результат показывает, в частности, точность вычисления по приближенной формуле. Погрешность составляет 29 рб, то есть 0,00105 или 0,105\% от итоговой суммы.
В заключение заметим, что интерполяция является достаточно громоздкой процедурой и ею следует пользоваться только в тех случаях, когда под рукой есть таблицы и нет калькулятора, который мог бы возводить числа в произвольную степень. Если таковой имеется, лучше не использовать таблицы, а вычислять итоговую сумму по формуле (1).
Обсуждение Начальный курс финансовой математики
Комментарии, рецензии и отзывы