Глава 3 уравнения эквивалентности

Глава 3 уравнения эквивалентности

3.1 ДАТИРОВАННЫЕ СУММЫ

Использование значений денежных сумм без указания даты, когда они должны использоваться, является бессмысленным. Очевидно, что 1000 рб наличными в настоящее время предпочтительнее, чем 1500 рб, обещанные через 50 лет. Сумма платежа вместе с датой погашения называется датированной суммой. Например, 10000 рб, полагающиеся

7 июля 1995 г., являются датированной суммой.

Когда необходимо сравнивать датированные суммы, нужно обязательно знать норму процента. Если человек имеет возможность в течение некоторого времени инвестировать свои деньги, получая 8\% годовых, говорят, что его деньги стоят j1 = 8\% . При такой норме 1000 рб, полагающиеся через три года, и 1360,49 рб ( = 1000 х (1,08) 4 ), полагающиеся через 7 лет, могут рассматриваться как эквивалентные, так как после получения через три года 1000 рб можно в течение следующих четырех лет при норме 8\% годовых накопить 1360,49 рб. Точно также 793,83 рб, ( = 1000 х (1,08) -3 ), имеющиеся в настоящее время, эквивалентны 1000 рб через три года.

8 общем случае датированные суммы сравниваются по следующему правилу эквивалентности: сумма P , полагающаяся на данную дату, эквивалентна при данной норме сложного процента i сумме S , полагающейся на n периодов конверсии позже, если является справедливым хотя бы одно из следующих равенств:

S = P(1 + i)

или P = S(1 + i)

Таким образом, накопление или дисконтирование могут рассматриваться как простое преобразование заданной датированной суммы к другой дате. Преобразование делается в соответствии со следующей временной диаграммой:

Прошлая дата Настоящая дата

Будущая дата

D(1 + i)

D

D(1 + i)

Прошлая и будущая суммы эквивалентны датированной сумме D.

Важным и полезным свойством эквивалентных датированных сумм является следующее свойство 1 : при данной норме сложного процента если A эквивалентно B и B эквивалентно C, то A эквивалентно C.

Для доказательства этого утверждения мы расположим данные на временной диаграмме следующим образом :

0 a b c

I I I I

P A B C

где 0 означает настоящее время и a , b, c представляют числа периодов конверсии от настоящего времени до соответствующих дат погашения.

Если A эквивалентно B , то B = A(l + i)b-a . Если B эквивалентно C, то C = B(1 + i)c-a .

Исключая из этих равенств сумму B , получим, что

C = A(1 + i) b-a(1 + i)c-b = A(1 + i)c-a .

Полученный результат является условием эквивалентности датированных сумм A и C.

Это свойство не имеет места для норм простого процента и норм простого дисконта. Поэтому понятие эквивалентности для этих норм не применяется.

ПРИМЕР 1 Долг 10000 рб следует выплатить через 10 лет. Если деньги стоят j1 = 5\% , найти эквивалентный долг через a) 1 год , b) 15 лет.

РЕШЕНИЕ Построим временную диаграмму

0 1 10 15

P X 10000 Y

Согласно правилу эквивалентности X = 10000 х (1,05) -9 = 6446,1 полагается через 1 год

Y = 10000 x (1,05) 5 = 12762,8 полагается через 15 лет Иллюстрацией эквивалентности X и Y может служить применение свойства 1, так как (6446,1)(1,05) 14 = 12762,8.

ПРИМЕР 2 Вексель на 10000 рб со сложным процентом при j4 = 6\% за три года должен быть погашен через три года. Какая сумма, полагающаяся через 8 лет, эквивалентна этой сумме при j2 = 4\% ?

РЕШЕНИЕ Данная сумма, датированная на конец третьего года, равна 10000 x (1,015) 12 = 11956,2 рб. Расположим данные на временной диаграмме соответствующим образом

0 6 16

I I I

11956,2 X

Здесь 6 и 16 представляют количества полугодовых периодов начисления, начиная с начального момента. Искомая сумма получается путем накопления основной суммы 11956,2 рб за 10 периодов начисления при норме 2\% за период, то есть X = 11956,2 x (1,02) 10 = 14574,5 полагается через 8 лет.