3.2 серии датированных сумм

3.2 серии датированных сумм

Сумма двух или большего числа датированных сумм, погашаемых в различные даты, практически не имеет смысла. Например, предположим, что 20000 рб погашается через два года, а 30000 рб погашается через пять лет. Сумма 20000 + 30000 = 50000 рб не связана с какой либо датой и поэтому мало о чем говорит. Однако, если все рассматриваемые суммы преобразовать в эквивалентные датированные суммы с одной и той же датой погашения, то сумма таких эквивалентных сумм приобретает смысл и называется датированной суммой серии. Она будет изменяться в зависимости от даты, к которой преобразованы эквивалентные суммы. Для различных датированных сумм одной и той же серии справедливо следующее свойство 2 : датированные суммы одной и той же серии, определенные для различных дат, являются эквивалентными.

Доказательство дадим для серии из двух датированных сумм. Пусть A и B будут двумя датированными суммами, погашаемыми через a и b периодов начисления от настоящего времени. Пусть также U и V будут двумя датированными суммами этой серии, определенными для дат и и v ( за единицу времени принимается период начисления ). Представим эти данные на временной диаграмме

Время: Суммы:

0

а

A

и

J_

v

_l_

b

_l_

B U V

Преобразовывая значения A и B ко времени и согласно правилу эквивалентности и суммируя результаты, получим датированную сумму серии, погашаемую через и периодов

U = A(1 + i)и-а + B(1 + i)

и-b

Умножая обе части этого равенства на (1 + i) v-u и производя очевидные упрощения, получим другую датированную сумму серии, погашаемую уже через v периодов начисления,

U(1 + i) v-u = A(1 + i)v-a + B(1 + i)

v-b

Но правая часть этого равенства в точности равна V, так что U(1 + i) v-u = V, и условие эквивалентности U и V выполняется, что и доказывает справедливость свойства 2.

ПРИМЕР Если деньги стоят j4 = 4\% , найти одноразовую выплату, эквивалентную серии из 10000 рб, погашаемых через два года, и 15000 рб, погашаемых через 5 лет, для трех случаев погашения : а) в настоящее время; b) через 2 года; с) через пять лет.

РЕШЕНИЕ Представим серию на временной диаграмме

0

8

20

J_

10000

15000

Вычислим эквивалентные значения обоих сумм временных сроков и сведем их в таблицу

для трех требуемых

Первая сумма Вторая сумма

Настоящее время 9234,83 12293,17

Через 2 года

10000,00 13311,74

Через 5 лет 11268,25

15000,00

Сумма серии 21528,00 23311,74 26268,25

В соответствии со свойством 2 все три датированные суммы серии должны быть эквивалентными. Это можно проверить следующим образом. Представим суммы серии на временной диаграмме

0 8 20

I I I

21528,00 23311,74 26268,25

Поскольку 21528,00 х (1,1) 8 = 23311,74 , датированная сумма серии на настоящее время эквивалентна датированной сумме серии на конец второго года (8 периодов начисления). Подобным образом,

23311,74 х (1,1) 12 = 26268,25 означает, что вторая датированная сумма серии эквивалентна третьей и все три датированные суммы серии являются эквивалентными.

Как уже было выше сказано , для сравнения двух итоговых сумм, погашаемых в различные даты, необходимо заменить их эквивалентными суммами, пересчитанными на одну и ту же дату. Величина разности полученных эквивалентных сумм будет различной в зависимости от использованной для сравнения даты. Также как и в случае сумм серий, разности, рассчитанные на различные даты, будут эквивалентными. Доказательство этого повторяет те же рассуждения, которые были использованы выше при анализе сумм серий на различные даты при рассмотрении свойства 2.

ПРИМЕР Сравнить два обязательства: выплатить 20000 рб со сложным процентом на 2 года при норме j4 = 5\% через два года, и 10000 рб через 6 лет, если деньги стоят j2 = 6\% , рассматривая их стоимость в три различные момента времени: а) настоящее время; b) через два года; с) через 6 лет.

РЕШЕНИЕ Датированная сумма первого обязательства в момент погашения равна 20000 х (1,0125) = 22089,72. Построим временную диаграмму ( время измеряется полугодиями ) :

0 4 12

I I I

22089,72 10000

Преобразуем эти две суммы к трем датам сравнения в соответствии с правилами эквивалентности и результаты сведем в таблицу, тогда

Можно проверить, что разности эквивалентны при норме процента j2 = 6\% , учитывая следующие равенства :

12612,63 х (1,03) 4 = 14195,63 , 14195,63 х (1,03) 8 = 17982,60 .