4.2 настоящая стоимость и итоговая сумма обыкновенного аннуитета

4.2 настоящая стоимость и итоговая сумма обыкновенного аннуитета

Настоящая стоимость аннуитета определяется как датированная сумма, эквивалентная всей серии платежей, на начало срока аннуитета. Итоговая сумма аннуитета определяется как датированная сумма, эквивалентная всей серии платежей аннуитета на конец срока. Таким образом, настоящая стоимость обыкновенного аннуитета является эквивалентной суммой, выплачиваемой за один период платежа до даты первой выплаты. Итоговая сумма обыкновенного аннуитета является эквивалентной суммой на момент последнего платежа.

Очевидно, что как настоящая стоимость, так и итоговая сумма аннуитета будет зависеть от нормы процента, используемой в уравнении эквивалентности. Так как период начисления процентов не обязательно совпадает с интервалом платежа, удобно классифицировать аннуитеты с учетом этого. Когда интервал платежа совпадает с периодом начисления процентов, аннуитет называется простым аннуитетом: в противном случае он называется общим аннуитетом. В этом разделе рассматриваются только простые аннуитеты.

ПРИМЕР 1 Найти текущую стоимость и итоговую сумму обыкновенного аннуитета, состоящего из пяти полугодовых платежей 10000 рб каждый, если деньги стоят j2 = 4\% .

РЕШЕНИЕ Пусть A обозначает настоящую стоимость, а S итоговую сумму аннуитета. Представим данные на диаграмме

0 1 2 3 4 5

I I I I I I

10000 10000 10000 10000 10000

A S

Чтобы определить A выпишем уравнение эквивалентности, используя в качестве даты сравнения начало срока аннуитета. Это даст

A = 10000(1,02) -1 + 10000(1,02) -2 + 10000(1,02) -3 + + 10000(1,02) -4 + 10000(1,02) -5 = 47135 рб.

Подобным образом, для определения S выпишем уравнение эквивалентности, используя в качестве даты сравнения конец срока аннуитета. В этом случае

S = 10000 + 10000(1,02) + 10000(1,02) 2 + + 10000(1,02) 3 + 10000(1,02) 4 = 52040 рб.

Способ вычисления A и S , использованный в примере, ясно показывает различие в определениях настоящей стоимости и итоговой суммы, но он является громоздким и неудобным при большом количестве платежей. Более компактный способ расчета можно сформулировать, основываясь на свойствах геометрических прогрессий.

Пусть S будет итоговой суммой обыкновенного простого аннуитета с n платежами по 1 рб каждый при норме процента i за интервал платежа и пусть A является настоящей стоимостью этого аннуитета. Временная диаграмма платежей аннуитета будет выглядеть следующим образом

0 1 2 3 4 ... n-1 n

I I I I I I I

1 1 1 1 ... 1 1

A S

Для нахождения S составим уравнение эквивалентности, используя конец срока как дату сравнения. Тогда получим

S = 1 + 1(1 + i) + 1(1 + i) 2 + ... + 1(1 + i)п-1 .

Правая часть равенства является геометрической прогрессией из n членов, первый член равен 1 и знаменатель прогрессии равен (1 + i). Сумма такой прогрессии равна

S = - —

i

Правая часть этого равенства зависит от n и i и имеет общепринятое обозначение или при i , читаемое « s уголок n при i». Таким

образом, (1+і) • -1

s-i. (или s-i при і) = .

ті v т г / і

Если каждая выплата состоит из R рб , тогда итоговая сумма в R раз больше этой и формула для итоговой суммы S приобретает вид

S = R s-i. . (1)

ті V У

Для получения настоящей стоимости A этого аннуитета заметим, что A и S являются датированными суммами одной и той же серии платежей и, следовательно, являются эквивалентными суммами. Откуда следует, что

S = A(1 + і)п или A = S(1 + і) -п (2) Используя (1) в (2), получим

1 (1 + і) -A = R s-y (1 + і) -п = R : .

Общепринятым обозначением является также следующее

аЦі = (аП при і ) = (1 (1 + і) -п) / і. Применение его приводит к следующей формуле для A

A = R а-п1 . (3)

Равенства (1), (2) и (3) являются основными соотношениями, устанавливающими связь между величинами S , A и R . Два новых

обозначения ^ и аці заменяют всю серию платежей аннуитета

одноразовым платежом в соответствующую дату. Они имеют большое распространение в финансовых расчетах, поэтому их величины также табулированы для наиболее часто встречающихся значений параметров п и і.

ПРИМЕР 2 Иванов будет делать вклады на депозит по 25000 рб в конце каждого квартала в банк, который установил норму процента 3\% , конвертируемую поквартально. Какую сумму он будет иметь в банке через 10 лет, если а) он не имел ничего на банковском счете в начальный момент; b) он имел на банковском счете 100000 рб в начальный момент ?

РЕШЕНИЕ а) Представим данные на временной диаграмме

0 1 2 3 ... 39 40

I I I I I I

25000 25000 25000 ... 25000 25000

S

На диаграмме время измеряется интервалами платежа от 0 до 40 и S является суммой на конец сорокового интервала платежа, эквивалентной аннуитету. Так как R = 25000 рб, i = 0,75\% за интервал платежа и n = 40, мы имеем

S = R sn = 25000 s40|0,0075 = 25000 х 46,446481 = 1161162

b) Дополнительную сумму 100000 рб следует поместить на временной диаграмме в начальную точку 0. В этом случае уравнение эквивалентности имеет вид

S = 100000(1,0075) 40 + 25000 s40|0,0075 = = 134835 + 1161162 = 1295997 рб.

ПРИМЕР 3 Петров выплачивает заем, делая платежи по 5000 рб в конце каждых 6 месяцев. Процентная ставка при получении займа была установлена равной j2 = 5,5\% . Какой является неуплаченная часть займа в настоящий момент, если а) осталось сделать 30 платежей, чтобы полностью возместить заем; b) кроме 30 платежей по 5000 рб необходим еще один взнос 2000 рб через 6 месяцев ?

РЕШЕНИЕ а) Имеющиеся данные представим на диаграмме

0 1 2 3 ... 29 30 (31)

I I I I I I I

5000 5000 5000 ... 5000 5000 (2000)

A

Настоящая стоимость А займа является настоящей стоимостью аннуитета с платежами по 5000 рб, 30 интервалами платежа при норме процента i = 2,75\% . Уравнение эквивалентности

А = R = 5000 a30|0j0275 = 5000 х 20,2459301 = 101246,51

b) Дополнительная сумма 2000 рб должна быть помещена на диаграмме в конце 31-го интервала платежа, А равно сумме всех платежей, дисконтированных к началу :

А = 5000 a30|0j0275+ 2000(1,0275) -31 = 102109,08 рб.