4.8 определение заключительного платежа с помощью интерполяции
4.8 определение заключительного платежа с помощью интерполяции
Когда A , R и i ( или S , R и i ) заданы, уравнение аннуитета A = R а пi ( или S = R s -| i ) может быть разрешено относительно n или путем
интерполяции или при помощи логарифмирования. Процедура расчета простая, но появляется проблема интерпретации нецелого решения.
Например, если уравнение аннуитета приводит к равенству а пi = 20 , как встретилось в предыдущем разделе, интерполяция дает результат п = 22,42696. Легко проверить, что произведение дробной части этого решения на величину периодического платежа дает точное значение заключительного платежа F, определяемого в примере 1 ,
500000 х 0,42696 = 21348 рб.
Оказывается это имеет место и в общем случае.
Пусть даны A , R и i . Значение п определим с помощью интерполяции. Представим п в виде k + f , где k целое число, а f дробная часть, f < 1. Тогда F = f R равно заключительному платежу, выплачиваемому через один период после последнего платежа R и обеспечивающему эквивалентность платежей. Докажем это. Из уравнения аннуитета имеем а -і = A/R . Составим таблицу данных
k k + f k + 1
a -і A / R a -—,
k|i k + 1 i
Из уравнения пропорции получим
J_ = a Лі
1 a 1 - a —і
k + 1 i k i
Знаменатель этой формулы можно вычислить по формуле (10) при п = 1 с учетом того, что a -,. = (1 + i) -1 . Это дает следующее выражение для f
О + i)
Умножая это равенство на R(1 + i) -k_1, получим
f R (1 + і) "ы = A R aAi.
С другой стороны, если F определять при помощи уравнения эквивалентности с датой сравнения в начале первого интервала платежа, мы получим согласно диаграмме
О 1 2 3 ... k-l к k+l
I I I I I I I
R R R ... R R F
A
следующее уравнение эквивалентности стоимостей
A = R aF|. + F(1 + i) -kA .
Сравнивая этот результат с предыдущим, убеждаемся, что в условиях линейной интерполяции F = f R , что и требовалось.
Таким образом, когда уравнение аннуитета a -|. = A/R разрешается
относительно n приближенно при помощи линейной интерполяции, дробная часть n может интерпретироваться как дробная часть R , необходимая в качестве заключительного платежа F , когда F выплачивается одним периодом позже последнего платежа R .
В заключение заметим, что точное значение n находится из уравнения аннуитета, записанного в явной форме
1 (1 + i) ~n A
a -і = = —
nv i R
что может быть переписано более удобно
(1 -iA/R)(1 + i)п = 1 .
Логарифмируя это равенство и выражая затем n , получим его точное значение в виде
n = (log(1 iA/R)) / log(1 + i).
К сожалению, это выражение не поддается практической интерпретации.
Обсуждение Начальный курс финансовой математики
Комментарии, рецензии и отзывы