4.9 определение процентной ставки

4.9 определение процентной ставки

Когда неизвестна процентная ставка i , но заданы R , n и A ( или S ) , мы вновь обращаемся к формуле (3)

A = Ra -. = R (1 (1 + i),

которая может рассматриваться как уравнение относительно процентной ставки i. Оно может быть преобразовано к виду

(A/R)(1 + i)п+1 (1 + A/R)(1 + i)п + 1 = 0

Такое уравнение относится к классу нелинейных алгебраических уравнений и его решение в общем случае не выражается в явной аналитической форме, так что его решение может быть осуществлено только численными методами.

Вместе с тем, используя метод линейной интерполяции, можно достаточно просто находить приближенные решения этого уравнения. Продемонстрируем это на примерах.

ПРИМЕР 1 Петров вкладывал в сберегательный банк по 25 тыс рб в конце каждого месяца в течение 5 лет. В настоящее время у него на счете накопилось 1625 тыс рб. С какой номинальной нормой процента для m = 12 начисляет проценты сберегательный банк ?

РЕШЕНИЕ Обозначим через i месячную норму процента и через j12 соответствующую номинальную норму. Вклады по 25000 рб образуют аннуитет с итоговой суммой 1625000 рб как показано на нижеследующей временной диаграмме

0 1 2 3 ... 58 59 60

I I I I I I I

25т 25т 25т ... 25т 25т 25т

1625т

Уравнение аннуитета имеет вид

25 s 6ТІ і = 1625 так что s —i = 65

На основе таблицы для функции составных платежей s -|. составим следующую табличку

s_. 65,46611 65,00000 64,64671

6 0 i

і 7/24 \% ? 1/24 \%

ji2 7/2 \% ? 3 \%

Составляем пропорцию линейной интерполяции

j12 0,03 65,00000 64,64671 0,35329 0,0350,03 " 65,46671 64,64671 " 0,81940 .

Откуда получаем j12 = 0.03216 .

ПРИМЕР 2 Фирма продает товар стоимостью 100 млн рб по следующему платежному расписанию : 10 млн рб сразу и 10 ежемесячных взносов по 9&55 млн рб каждый, первый взнос делается через три месяца. Какую номинальную норму для m = 12 предусматривает такое расписание ?

РЕШЕНИЕ 10 ежемесячных платежей образуют отсроченный аннуитет с текущей стоимостью 90 млн рб на день покупки как показано на временной диаграмме

0 1 2 3 4 ... 11 12

I I I I I I I

9.55 9.55 ... 9.55 9.55

90

Уравнение аннуитета имеет вид

90 = 9,55 (а щг а г|г ) так что а -{г а г = 9,4241 .

Вновь обращаясь к таблицам функций составных платежей, составляем вспомогательную табличку

j12 9 \% ? 10.5 \%

. 3/4 \% ? 7/8 \%

а тт1. а . 9.4572 9.4241 9.3704

12 і 2 і

Пропорция линейной интерполяции имеет вид

j12 0,09 9,4241 9,4572 0,0331 0,105 0,09 ~ 9,3704 9,4572 ~ 0,0868 .

Следовательно, j12 = 0.0957 .

Применяя приближенные методы интерполяции, следует представлять точность этих приближений. Приведем некоторые данные, касающиеся ошибок при определении нормы процента с использованием интерполяции по таблицам функций составных платежей. Когда i получается по таблицам a -|. , результат немного завышается; когда

используются таблицы s -|. , результат немного меньше истинного.

Ошибка зависит сильнее от разности между двумя соседними значениями нормы процента в таблице и гораздо слабее от величины n . Анализ ошибок для всех значений параметров таблиц показывает, что ошибка редко превосходит величину

(n/10)( разность норм процента ) 2 .

Эта величина для расчета i в примере 1 равна

(60/10)( 0,07/24 0,01/4 ) = 0,00000104 .

и для j12 составляет 0,0000125 . Для примера 2 расчет j12 с точностью до шестого знака дает 0,095719 .

УПРАЖНЕНИЯ 4.2

Какие ежеквартальные взносы должны делаться в сберегательный банк, выплачивающий j4 = 3\% , для того, чтобы накопить 50 млн рб за 5 лет?

Найти годовые платежи аннуитета, чья итоговая сумма равна 25 млн рб, если срок равен 10 лет и процентная ставка j1 = 5\% .

Какие одинаковые платежи в конце каждого квартала в течение 20 лет обеспечили бы приобретение дома, который стоит 200 млн рб наличными, если процентная ставка j4 = 5\% ?

Автомобиль стоит 35 млн рб наличными, но может быть куплен за 6 млн рб наличными и остаток в виде ежемесячных платежей в течение 3 лет.