5.2 преобразование обыкновенных общих аннуитетов в простые аннуитеты

5.2 преобразование обыкновенных общих аннуитетов в простые аннуитеты

Введем обозначения :

W платежи общего аннуитета;

p количество платежей общего аннуитета в год;

і норма процента за период конверсии;

m число периодов начисления процента в год;

R платежи обыкновенного простого аннуитета, который является эквивалентной заменой общего аннуитета, делаемые m раз в год.

Если аннуитет заменяется другим аннуитетом, то очевидно должны быть выполнены следующие два условия : а) норма процента должна быть той же самой или эквивалентной; b) стоимости обоих аннуитетов должны быть одинаковыми в любой момент времени.

Обыкновенный общий аннуитет с платежами W , делаемыми p раз в год, и нормой процента i за период конверсии с m периодами конверсии в год и обыкновенный простой аннуитет с платежами R , делаемыми m раз в год удобно представить на временных диаграммах :

0 1/p 2/p 3/p ... (p-1)/p 1

W W W ... W W

0 1/m 2/m ... (m-1)/m 1

I I I I I

R R ... R R

Для того, чтобы эти аннуитеты были эквивалентными, определим норму процента і' за интервал платежа общего аннуитета, которая эквивалентна норме i за период начисления процента. Тогда ( см. раздел 2.6 )

(1 + і)р = (1 + і) т . (1)

Если теперь приравнять аннуитеты в конце года, получим

R s-, = W s-,

mi pi

Заменяя функции составных платежей s-v и s-, их явными выражениями в обеих частях (2), будем иметь

(1 +i)-1 (1 +1 оp -1

R- = W-

i i'

(3)

С помощью (1) это равенство упрощается к виду

R/i = W/i'.

Разрешая (1) относительно i' находим, что

i' = (1 + i)т/р 1 , Подставляя это в (4) окончательно получаем

(4)

R = W—

(1 + i)

i

(5)

Дробь в правой части этого равенства является обратным значением

функции

п i

для дробного параметра n = m/p

Так что справедливы равенства

1

R = W—

m/pi

и

W = Rs—,

—pi

(6)

Понятно, что значение дроби m/p в общем случае может быть любым. Однако практически встречается один из следующих вариантов : a) m/p является целым числом : в этом случае для анализа общего аннуитета можно использовать обычные таблицы для целочисленных значений параметра; b) m/p является дробью вида к/12 , к = 1, 2, 3, 4 или 6 , поскольку такие дроби встречаются довольно часто для них также составлены соответствующие таблицы функций составных платежей.

ПРИМЕР 1 Сидоров получает пенсию 5 млн рб в конце каждого года. Какие ежемесячные выплаты эквивалентны этой сумме, если деньги стоят = 6\% ?

РЕШЕНИЕ Здесь W = 5 млн рб, p = 1, i = 1/2 \% , m = 12 и нужно определить R.

0 (1 год) 1

5 млн

0 1 2 ... 11 12

I I I I I

R R ... R R

Использование равенства (6) дает

R = 5000 / ^Г2|05\% = 405,35 тыс рб .

Таким образом, Сидоров мог бы получать ежемесячно 405350 рб вместо получения 5 млн рб в конце года. Такой результат получился бы, если бы мы воспользовались уравнением эквивалентности с датой сравнения в конце года.

ПРИМЕР 2 Заменить платежи по 500 тыс рб в конце каждого квартала на полугодовые платежи, если норма процента 5\% , m = 2 .

РЕШЕНИЕ Мы имеем W = 500000 , p = 4 , i = 2,5 \% и m = 2.

0 1 2 3 4

I I I I I

500т 500т 500т 500т

0 1 2

I I I

R R

Из уравнения (6) получаем

R = 500/ s^2i25\% = 500 x 2,01242284 = 1006,2 тыс рб .

Таким образом, полугодовые платежи 1006,2 тыс рб эквивалентны поквартальным платежам 500 тыс рб при норме процента j2 = 5 \% .