7.1 обыкновенная простая и общая вечные ренты

7.1 обыкновенная простая и общая вечные ренты

Вечная рента это аннуитет, платежи которого продолжаются в течение неограниченного срока. Имеется много примеров вечных рент: возможно, простейшим будет платежи процентов от любой суммы денег, инвестированной в производство. Конкретизирующие определения, такие как простой, общий, обыкновенный, отсроченный и т.д., при применении к вечным рентам имеют тот же самый смысл, который имели эти термины при описании аннуитетов. Таким образом, обыкновенная простая вечная рента является серией периодических платежей, выплачиваемых в концах последовательных периодов начисления процентов, которая должна продолжаться вечно.

Не трудно сразу сообразить, что итоговая сумма вечной ренты не имеет смысла, так как платежи продолжаются неограниченно долго. Однако, настоящая стоимость вечной ренты любого типа является конечной суммой, которая может быть быстро найдена, как только будет известна необходимая информация. Для краткости в дальнейшем изложении мы будем опускать в названии вечной ренты слово вечная, понимая всюду под термином рента вечную ренту.

Пусть A будет настоящей стоимостью обыкновенной простой ренты, i будет нормой процента за период, при которой инвестируется A , и пусть R будет платежом ренты. Тогда A должно быть эквивалентна серии платежей R , показанной на временной диаграмме

0 1 2 3 4 5 ...

I I I I I I

R R R R R ...

A

Так как A будет порождать платежи процентов Ai в конце каждого периода начисления и будет продолжать это делать с нормой i пока будет оставаться инвестированной, из этого следует, что R = Ai , или

A = R / i . (1)

Ясно, что если две из трех величин A , R и i известны, третья может быть найдена из (1).

Выражение (1) может быть получено также как предельный случай аннуитета, когда n неограниченно возрастает. Для ограниченных n мы имели равенство

A = R а-л i = R (1 (1 + i) )/i .

Для любых положительных i слагаемое -п = п стремится к

нулю, когда n неограниченно возрастает и выражение для текущей стоимости аннуитета сводится к (1).

ПРИМЕР 1 Сколько денег потребуется, чтобы установить постоянную премию за лучшую научную работу по 7,5 млн рб в конце каждого года, если инвестированные деньги дают 3\% эффективно ?

РЕШЕНИЕ Ясно, что платежи будут образовывать обыкновенную простую ренту и мы имеем R = 7,5 и i = 0,03 . Тогда

A = R/i = 7,5 / 0,03 = 250 млн рб .

Часто, как и в случае с аннуитетами, период платежа отличается от периода начисления процентов. Когда это случается, рента называется общей рентой. Ее анализ, по существу, проводится так же, как и в случае с общими аннуитетами. Общая рента преобразуется в эквивалентную

простую ренту по тем же самым формулам, которые использовались в случае аннуитетов. Формула

R = W/ ^ , (2)

которая была получена в параграфе 5.2, не зависит от числа рассматриваемых периодов начисления процентов и поэтому так же справедлива для рент как и для аннуитетов. Следовательно, обыкновенная общая рента может быть преобразована в простую ренту с помощью (2), после чего (1) используется для определения текущей стоимости.

ПРИМЕР 2 Для оплаты обслуживания железнодорожного переезда требуется 1 млн рб в конце каждого месяца. Какую сумму следует инвестировать железнодорожной компании, чтобы на получаемые проценты поддерживать обслуживание переезда? Деньги стоят 3\% эффективно.

РЕШЕНИЕ 1 млн рб в конце каждого месяца образуют обыкновенную общую ренту. Железная дорога должна заплатить сумму, равную текущей стоимости этой ренты. Если R обозначает платеж эквивалентной простой ренты, тогда из (2)

R = 1 / sГ7ГТ|3°/о = 1 х 12,164119 = 12,164119 млн рб .

Из равенства (1) следует, что

A = R/i = 12,164119 / 0,03 = 405,4706 млн рб .

7.2 ПОЛАГАЮЩИЕСЯ РЕНТЫ

Когда платежи ренты поступают в начале каждого интервала платежа, рента называется полагающейся рентой. Так как эта ситуация может рассматриваться как комбинация немедленного платежа R (или W) и обыкновенной ренты с такими же платежами, ясно, что настоящая стоимость полагающейся ренты просто на R (или W) больше, чем дается формулами предыдущего параграфа. Поэтому настоящая стоимость простой полагающейся ренты вычисляется по формуле

A = R + R/i (3)

и настоящая стоимость общей полагающейся ренты находится из

A = W + R/i = W + W/(i s^,i ) , (4)

как это следует из (2).

Иногда желательно выразить настоящую стоимость общей полагающейся ренты в несколько другой форме. Для этого из (4) получим выражение

yr V( ±; m/pi ) VY 1 m/pi •

Но из формулы (1) R = Ai . Поэтому общая полагающаяся рента с платежами W может быть заменена эквивалентной простой рентой с платежами R , определяемыми по формуле

R = W/ а ^ . (5)

Настоящая стоимость ренты в таком случае определяется из (1). Следует иметь ввиду, что значения R , используемые в формулах (2) и (4), не являются одними и теми же. Когда R вычисляется из (2), первый платеж W не используется и поэтому A = W + R/i . Однако, когда R вычисляется по (5), первый платеж используется тоже и в терминах этого R мы имеем A = R/i .

Уравнение (5) является справедливым для преобразования общих полагающихся аннуитетов в простые аннуитеты и будет рассмотрено в последующем.

ПРИМЕР Местные власти и государство совместно содержат деревянный мост. Местные власти платят 50 млн рб каждые три года в качестве своей доли для замены моста. Если новый мост нужен сейчас и деньги стоят 5\% эффективно, какую сумму могла бы заплатить местная власть за строительство моста из стали и бетона, если государство согласно заплатить затраты на все будущие замены моста.

РЕШЕНИЕ Местные власти могут позволить себе заплатить настоящую стоимость ренты (при норме j1 = 5\%о ), образованной трехлетними платежами по 50 млн рб. Она является общей полагающейся рентой74 так как мост нужен сейчас. Величина m/p является отношением периодов начисления процентов к интервалам платежей и равна, следовательно, 3/1; W = 50 , i = 0,05 .

a) Если мы рассматриваем полагающуюся ренту как немедленный

платеж 50 млн рб, за которым следует обыкновенная рента, тогда

R = W/ s^jji = 50 / s з|5\% = 50 х 0,31720856 = 15,860428 . Текущая стоимость ренты в этом случае получается из (4)

A = W + R/i = 50 + 15,860428/0,05 = 367,2086 млн рб .

b) Если мы используем (5) для замены полагающейся ренты на

обыкновенную простую ренту, мы получим

R = w7 a ЩТг = 50 / a з|5\% = 50 x 0,36720856 = 18,360428 Настоящая стоимость ренты теперь дается равенством (1)

A = R/i = 18,360428 / 0,05 = 367,2086 млн рб .