8.4 альтернативная формула для покупной цены

8.4 альтернативная формула для покупной цены

Хотя формула (1) несложная, ее применение предполагает использование двух таблиц. Несколько проще формула, которую мы теперь получим. Для этого мы напомним, что P является настоящей стоимостью серии платежей, выплачиваемых на облигацию, при норме i . Представим эти платежи на временной диаграмме

0 1 2 3 ... n-1 n

I I I I I I

R R R ... R R+C

P

С другой стороны, сумма C , инвестированная в момент начала этой серии, при норме i обеспечивает платежи процентов Ci в конце каждого периода начисления в течение n периодов и заключительный платеж C в конце последнего периода. Эти платежи также представим на временной диаграмме

0 1 2 3 ... n-1 n

I I I I I I

Ci Ci Ci ... Ci Ci+C

C

Полагая финансовые результаты платежей на приведенных диаграммах одинаковыми, вычтем платежи второй диаграммы из платежей первой диаграммы, что приведет к следующей временной диаграмме

О 1 2 3 ... пп

I I I I I I

R-Ci R-Ci R-Ci ... R-Ci R-Ci

P-C

Равенство стоимостей теперь дает P-C = (R Ci)a ц( или

P = C + (R Ci) a-v . (2)

Эта формула может быть получена также из (1) аналитически, если использовать тождество (1 + i)'" = 1 ian для исключения из (1)

множителя (1 + i) ~п .

Анализ формулы (2) показывает, что если R = Ci , покупная цена облигации совпадает с выкупной ценой; если R больше, чем Ci , покупная цена больше выкупной цены; если же R меньше, чем Ci , то R - Ci является отрицательной и покупная цена меньше выкупной

цены.

ПРИМЕР 1 Решить пример 2 предшествующего параграфа с использованием формулы (2).

РЕШЕНИЕ Если облигация отзывается в заданную дату отзыва, C = 11, R = Fr = 10 х О,О3 = 0,3 , Ci = 11 х 0,35 = 0,385 , п = 50 . Формула (2) тогда дает

P = 11 + (0,3 0,385) a -|35\% = 11 1,9937 = 9,0063

Если облигация не отзывается, то C = 10 , Ci = 0,35 , R = 0,3 , п = 70 . В этом случае

P = 10 + (0,3 0,35) a -|35\% = 10 1,3 = 8,70 млн рб ,

Мы получили такие же значения P , как и в случае использования равенства (1).

Конечно, несущественно, которая из формул используется для определения покупной цены облигации. Формула (1) кажется более естественной и ее легче запомнить, однако формула (2) проще в вычислительном отношении, так как предполагает использование только таблицы для функции a -|. .

В рассмотренных примерах мы столкнулись только со случаем, когда по облигации выплачиваются проценты с такой же частотой, с какой они начисляются, то есть платежи образуют обыкновенный простой аннуитет. Очевидно, что это имеет место не всегда. Когда период начисления процентов отличается от периода их выплаты так, что процентные платежи облигации образуют общий аннуитет, тогда общий аннуитет преобразуется в эквивалентный ему обыкновенный простой аннуитет при помощи ранее рассмотренных методов и применение формул (1) или (2) позволяет определить покупную цену облигации. Рассмотрим эту процедуру на примере.

ПРИМЕР 2 Облигация на 10 млн рб, по которой выплачивается процент с нормой 5\% , m =2 , будет выкупаться за 10,5 млн рб через 15 лет. Найти покупную цену, эквивалентную инвестиции денег с нормой a) 4\% , m = 1, b) 4\% , m = 4.

РЕШЕНИЕ a) Процентные платежи за облигацию по 250 тыс рб образуют общий аннуитет с W = 250 , p = 2 , і = 0,04 , m = 1. Использование формулы (6) параграфа 5.2 дает

R = 250/ ^^2|4\% = 250 х 2,0198039 = 504,951 тыс рб

как эквивалентный ежегодный платеж аннуитета. Покупная цена теперь находится путем использования формулы (1) или (2) . Применяя, например, формулу (1), получим

P = 0,504951 a -|4\% + 10,5(1,04) -15 = 11,4445 млн рб.

b) Процентные платежи по облигации теперь образуют общий аннуитет с W = 0,25 , p =2 , і =0,01 , m = 4. Повторяя процедуру вычислений, как в случае a), имеем

R = 0,25/ s = 0,25 х 0,49751244 = 0,124378 млн рб

как платежи эквивалентного поквартального аннуитета. Теперь, используя для вычисления покупной цены формулу (2), мы получим

P = 10,5 + (0,124378 0,105) a _|1o\% = 11,3711 млн рб.

Когда облигация продается в день выплаты процентов по облигации, выплачиваемый процент считается собственностью продавца, так что покупатель покупает только будущие выплаты по облигации. Поэтому платежи процентов по облигации, которые получит покупатель, всегда образуют обыкновенный аннуитет (простой или общий) и можно использовать методы, применявшиеся ранее. Случай приобретения облигации между датами выплаты процентов по облигации будет рассмотрен позже.