8.8 цена облигации между датами начисления процентов

8.8 цена облигации между датами начисления процентов

Ранее мы отмечали, что точная стоимость облигации между датами начисления дается формулой P = P0 (1 + i)f , где P0 представляет стоимость облигации в предшествующую дату начисления, i норма доходности облигации и f является дробной частью периода начисления, которая истекла после последней даты начисления. Теперь мы получим точную формулу для определения накопленного процента облигации R'.

Если использовать точный метод, понятно, что покупателю и продавцу следует разделить предстоящую выплату процентов облигации соответственно закону сложных процентов. Пусть R' будет долей продавца, полагающейся в день продажи, а R" будет долей покупателя, полагающейся в предстоящую дату начисления процентов. Эти две доли должны быть эквивалентными процентному платежу облигации R , делаемому в конце периода, как показано на диаграмме

R' R"

J I I

f 1 f

R

Равенство стоимостей на конец периода дает

R' (1 + i) 1 -f + R" = R (a)

Так как обе доли R' и R" неизвестны, нам нужно иметь еще одно соотношение между ними, для того, чтобы однозначно определить их значения. Второе соотношение может быть получено путем следующих рассуждений. Так как определение R' и R" должно быть справедливым как для покупателя так и для продавца, перестановка временных интервалов f и 1f приводила бы к перестановке R' и R", как показано на следующей временной диаграмме

R" R'

-I 1 1

1 f f

R

Равенство стоимостей в конце периода теперь дает

R' + R"( + i) = R (b) Если равенство (a) умножить на (1 + i)f, мы получим

R'(1 + i) + R"(1 + i)f = R (1 + i)f. (c) Теперь вычитая равенство (b) из (c), найдем, что

R'i = R(1 + i)f R Отсюда R' определяется в следующем виде

(і+iУ -1

R ' = R i = Kflr (6)

Подобным образом получим R" Rs—^ ■

Пример За облигацию выплачивается 300 тыс рб процентных денег каждые 6 месяцев. Каков накопленный процент облигации двумя месяцами позже даты начисления, если норма доходности равна a) 4\% , m = 2; b) 8\% , m = 2 ?

Решение a) Двумя месяцами позже даты начисления f = 1/3. Значит R' = Rsfi = 30^\% = 300 х 0,33113548 = 99,34 тыс рб .

b) Для нормы доходности 8\% , m = 2 мы имеем

R' = 300 х 0,3289851 = 98,7 тыс рб .

Практический способ вычисления дает

R' = fR = (1/3) х 300 = 100 тыс рб .

Можно показать, что значение R' , полученное из точного равенства (6) всегда несколько меньше, чем то, которое дается приближенной (практической) формулой R' = f R . Однако разность является обычно

малой и так как покупатели на одну дату становятся продавцами на другую дату, большой несправедливости не ощущается при использовании простой формулы.

Так как точная формула (6) для R' найдена, теперь можно получить точную формулу для Q . Начнем с равенства P = Q + R' или Q = P R'. Используя равенства (3) и (6) для исключения P и R' , получим

Q = P0 (1 + i) f Rsfi Теперь при помощи (1) исключаем P0 . Это дает

Q = (C(1 + i) ~n + Ra-4 )(1 + i) f Rsfi. Или после преобразования

Q = C(1 + i) ~n+f + R( an|i(1 + i) f f) . Используя одно из тождеств для функций составных платежей:

a—і = (1 + i) к a-, s-,

n-ki Vі V n|i k|i '

последнее выражение можно представить в упрощенной форме:

Q = C(1 + i) ^n-f) + Ran-f|i. (7)

Путем использования точно такой же процедуры, какую мы

использовали в параграфе 8.4, формулу (7) можно преобразовать к

следующему виду

Q = C + (R Ci) a—f |i. (8)

Таким образом, формулы для Q являются точно такими же, как (1) и (2) для P , только время, оставшееся до погашения, содержит дробные части периода. С точки зрения смысла, который будет приписан функции a в параграфе 10.2 для дробных значений n , формула (7) показывает,

что Q равна настоящей стоимости цены выкупа плюс настоящая стоимость будущих процентов облигации и не включает часть текущего процентного платежа облигации, которая уже накоплена. Поэтому покупная цена должна быть P = Q + R' .

Проиллюстрируем эти аналитические формулы численным примером. Предположим, что за облигацию 10 млн рб выплачивается 0,3 млн рб процентов каждые 6 месяцев и она продается за 10 лет и 3 месяца до даты выкупа по номинальной стоимости, чтобы приносить проценты по норме j = 4\% . Находим, что

P0 = 10 + (0,3 0,2) a-|2\% = 11,70112 млн рб ,

P = P0(1 + i) f = 11,70112 (1,02)0,5 = 11,81755 млн рб .

Таким образом, покупная цена облигации должна быть 11,81755 млн рб. Однако эта сумма должна рассматриваться как состоящая из двух частей, а именно : накопленный процент облигации

R' = 0,3 ^0Г5|2\% = 0,14926 млн рб

и рыночная цена Q = P R' = 11,66829 млн рб. На следующую дату начисления процентный платеж облигации подобным образом рассматривается состоящим из нескольких частей. Во-первых, новый владелец должен получить R' обратно с процентом. Это потребует

R'(1 + i)1-f = 0,14926(1,02) = 0,15075 млн рб.

Во-вторых, владелец имеет право на проценты от Q . Проценты от Q будут равны

Q(1 + i)1-f Q = 11,66829(1,02)0,5 11,66829 = 0,11611 млн рб.

Остаток процентного платежа облигации, а именно :

0,3 0,15075 0,11611 = 0,03314 млн рб

является амортизацией премии и уменьшает книжную стоимость облигации до 11,66829 0,03314 = 11,63515 млн рб. Можно проверить, что значение, полученное для Q , является точно таким же, которое получается по формуле (7) или (8), и что окончательная книжная стоимость 11,63515 млн рб является величиной P .

В реальной практической деятельности Q обычно задается, в то время как значение i известно только приблизительно. Следовательно, точные формулы, полученные в этом параграфе, не имеют большого практического значения. Однако, эти точные формулы обосновывают обычную расчетную практику получения Q и R' как отдельной задачи. Поэтому, когда покупатель облигации рассматривает R' как временную ссуду, которая будет возмещена при первом же процентном платеже облигации, и считает Q книжной стоимостью облигации, которая покупается, и, следовательно, устанавливает инвестиционное расписание с Q , как стартовой стоимостью облигации, он нуждается в способе, который является аналитически точным.

Наконец, следует заметить, что приближенные формулы, используемые в практических расчетах, получаются из точных формул

этого параграфа путем замены (1 + i) f на 1 + if , и f на f . Так как f

является дробной частью (то есть меньше единицы), можно показать, что эти замены обычно отличаются очень мало от точных выражений.