Глава 10 общие аннуитеты

Глава 10 общие аннуитеты

10.1 ОБЩИЕ ПОЛАГАЮЩИЕСЯ АННУИТЕТЫ

Аннуитет называется общим полагающимся, если период платежа отличается от периода начисления процентов и платежи делаются в начале периодов платежей. Исследование общих полагающихся аннуитетов аналогично исследованию общих обыкновенных аннуитетов, в нем общие полагающиеся аннуитеты преобразуются в обыкновенные простые аннуитеты, после чего исследуются как в главе 5.

Пусть W будет платежом общего аннуитета, i норма процента за период начисления, m количество периодов конверсии в год, p число платежей аннуитета в год и R платеж эквивалентного простого аннуитета. Временная диаграмма, представленная ниже, показывает два эквивалентных аннуитета за 1 год.

0 1 2 3 ... p 2 p 1 p

I I I I I I I

W W W W ... W W

0 1 2 ... m 1 m

I I I I I

R R ... R R

Соотношение между платежами двух аннуитетов могут быть установлены путем следующих простых рассуждений. Если первое W на диаграмме представить на конец года, общий аннуитет стал бы обыкновенным и соотношение между аннуитетами, описывалось бы равенством (6) главы 5. Поэтому сумма в конце года для вышеописанного аннуитета превышает одногодичную сумму обыкновенного общего аннуитета на сложный процент, который нарастает в течение года благодаря платежу W . Сложный процент был бы равен W(1 + i)т W, что можно было бы записать в виде W i s—. .

Но это является суммой обыкновенного аннуитета с платежом W i за период начисления в течение 1 года. Поэтому каждый платеж R , соответствующий полагающемуся аннуитету, на W i больше, чем он был бы, если бы общий аннуитет был обыкновенным аннуитетом. Отсюда мы заключаем

R = W/s = W(i + 1/ s-f-, ) = W/ а—,-, (1)

т / pu V т / pu ' т / pu

или в эквивалентном виде

W = Rа—і-у . (2)

Эта формула была получена несколько другим путем в параграфе 7.2. (1) и (2) можно получить методом, использованном в параграфе 5.2, используя начало или конец года как дату сравнения. Но это мы оставляем для одного из последующих упражнений.

Когда m/p является дробным, можно воспользоваться таблицами для определения а—i-v . Напомним, что таблицы для значений 1/ а не

составляются, так как эта величина только на i отличается от 1/ s mm~/ji , для которой таблицы имеются.

ПРИМЕР 1 Если норма процента равна j2 = 5\% , какая сумма, выплачиваемая в конце каждой половины года аннуитетом, эквивалентна сумме 500 тыс рб, выплачиваемой в начале каждого месяца ?

РЕШЕНИЕ Данные платежи образуют общий полагающийся аннуитет с W = 500 и p = 12. Желаемые платежи будут образовывать обыкновенный простой аннуитет. Так как m = 2 и i = 0,025 , мы имеем

R = W/а—^у = 500 /.

Далее

1 / а = 0,025 + 1/ s ^6|2 5 0\% = 0,025 + 6,06219991 = 6,08719991

и поэтому R = 500 х 6,0871999 = 3043,6 тыс рб являются желаемыми полугодовыми платежами.

ПРИМЕР 2 Если норма процента равна j4 = 4\%\% , найти аннуитет, выплачиваемый в начале каждого месяца и эквивалентный платежам 10 млн рб в начале каждого пятилетнего периода.

РЕШЕНИЕ Здесь общий полагающийся аннуитет должен быть заменен другим общим полагающимся аннуитетом. Это делается сначала заменой данного аннуитета на обыкновенный простой аннуитет, выплачиваемый поквартально, а затем преобразованием простого аннуитета в общий полагающийся аннуитет, выплачиваемый помесячно. Для первого этапа решения мы возьмем 5 лет как основную единицу измерения времени вместо одного года. Тогда p = 1 и m = 20.

10

0 1 2 3 ... 19 20

I I I I I I

R R R ... R R

Так как W = 10 , i = 1\% , m/p = 20 , мы имеем

R = W /а—,-, = 10/ = 10 х 0,05541531 = 0,554153

как платежи эквивалентного простого аннуитета, выплачиваемые поквартально. Далее мы заменим простой аннуитет общим полагающимся аннуитетом с платежами, выплачиваемыми в начале каждого месяца. Для этого преобразования построим временную диаграмму на 1 год.

0 1 2 3 4

I I I I I

R R R R

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

I I I I I I I I I I I I I

W W W W W W W W W W W W

Мы имеем p = 12 , m = 4 , i = 1\% , R = 0,554153 , тогда

W = R a^jj = 0,554153 а = 0,554153 х 0,331128 = 0,1835 млн рб.

Другие задачи, касающиеся общего полагающегося аннуитета, такие как нахождение нормы процента или срока, рассматриваются точно таким же способом как в главе 5. Существенным отличием является только использование равенств (1) и (2) для преобразования данного аннуитета в эквивалентный вместо равенств (6) главы 5.

0 1