10.3 определение числа платежей и заключительного платежа

10.3 определение числа платежей и заключительного платежа

Если q является числом интервалов платежа общего аннуитета, n в терминах аннуитета является числом периодов начисления процентов, а p и m являются числами интервалов платежа и периодов начисления, соответственно, в год, тогда очевидно, что q/n = p/m • Во всех задачах общего аннуитета p и m задаются, так что если q известно, n легко определяется и наоборот Теперь мы рассмотрим задачу нахождения q , когда известен достаточный набор данных^ Как и в случае простых аннуитетов, если A или S , i и W заданы (конечно, в предположении, что m и p известны), обычно не существует никакого подходящего аннуитета с точно такими же параметрами и необходимо рассматривать один платеж, отличающийся от W для того, чтобы удовлетворить соотношению эквивалентности. Обычно, как и в случае простых аннуитетов, этот отличающийся платеж бывает заключительным и производится через один интервал платежа после последнего регулярного платежа W . В дальнейшем считается, что все нестандартные аннуитеты содержат заключительный платеж F , который меньше W и производится через один интервал платежа после последнего регулярного платежа W .

Когда имеется достаточный набор данных, число платежей и заключительный платеж находятся при помощи решения соответствующих уравнений эквивалентности. Технику расчетов лучше продемонстрировать на примерах.

ПРИМЕР 1 Найти число полных платежей и величину заключительного платежа, необходимых для аннулирования долга 10 млн рб, если 1 млн рб выплачивается в конце каждого года и норма процента равна 6\% , m = 4.

Так как m = 4 , p = 1 , W = 1, мы имеем для эквивалентного простого аннуитета

R = W / s—, = 1 / s-, .

m/pi 4|1,5\%

Так как долг равен 10 млн рб, A = 10 и 10 = R ац 15\% . Разрешая это равенство относительно ац 15\% , мы получим

ап 1,5»\% = 10 / R = 10 s-|1,5\% = 40,9090338 .

Обращаясь к таблицам, мы находим, что эта величина лежит между табулированными значениями для n = 63 и n = 64. Так как в каждом интервале платежа содержится 4 периода начисления процентов, мы приходим к заключению, что 16 полных платежей по 1 млн рб было бы более, чем достаточно, чтобы рассчитаться с долгом, и поэтому аннуитет содержит 15 полных платежей по 1 млн рб и заключительный платеж F меньше 1 млн рб, уплачиваемый в конце 16-го года.

Чтобы найти F , представим известные данные на диаграмме

Диаграмма интервалов платежа

0 1 2 ... 15 16

I I I I I

1 1 ... 1 F

10

I I I I I I

0 1 2 3 ... 63 64 Диаграмма периодов начисления процентов

Величина F может быть теперь найдена методом, использованным в главе 4. Если мы добавим 1 к общему аннуитету и его эквивалентной стоимости в конце 16-го года (64-го периода начисления) и выпишем уравнение эквивалентности с на эту дату, мы получим

F + R s6ї|1,5\% = 1 + 10 (1,015) 64 ,

где R = 1 / 5\% = 0,24444479. Разрешая равенство относительно F , мы получим

F = 1 + 10 х 2,593144 0,244445 х 106,209628 = 0,9691.

Величина F может быть найдена также путем интерполяции способом, подобным описанному в параграфе 4.8. Этот способ состоит в определении числа платежей общего аннуитета q (но не числа периодов начисления процентов n) путем интерполяции между последовательными целыми числами q , затем умножением дробной части решения на W получим F .

Общее доказательство справедливости этого способа будет дано в следующем параграфе.

ПРИМЕР 2 Найти F предшествующего примера путем интерполяции.

РЕШЕНИЕ Как в предшествующем примере, мы находим, что a-| 15\% =

= 40,9090338 и что это значение лежит между табулированными значениями для n = 63 и n = 64. Однако, так как интерполяция должна быть между последовательными целыми числами q, для интерполяционной таблички мы используем n = 60 и n = 64

q 16 15 + f 15

n 64 60

ani,5\% 40,957853 40,909034 39,380269

Интерполируя, мы получаем

/= 0,1528765 / 0,1577584 = 0,969055 и F = f W = 0,969055 млн рб .

ПРИМЕР 3 Некто покупает подержанный автомобиль стоимостью 15 млн рб путем выплаты 5 млн рб наличными и 0,5 млн рб в конце каждого месяца до полного расчета. Найти число платежей и заключительный платеж, если деньги стоят 6\% , m = 2.

РЕШЕНИЕ Способ 1. Ежемесячные платежи будут образовывать аннуитет, для которого настоящая стоимость A = 10 , W = 0,5 , p = 12 , m = 2 , i = 3\% . Поэтому

10 = R an30\% , где R = 0,5 / ^^6|3\% = 3,03728447. Определяя отсюда a3\% , мы получим

an3\%\% = 10 / R = 20 ^ = 3,2924146. (a)

Теперь мы можем найти срок и, следовательно, число платежей способом, использованным в примере 1. Однако, потребуется меньше вычислений, если будет использована следующая процедура. Определим по таблице значение, ближайшее к полученному значению а -| i на последнем

шаге, затем используем следующие тождества :

anrr|i = апi + (1 + 0 n аT (b) an^ri = an (1 + 0 n sTi (c)

Выберем n как целое, ближайшее к концу срока аннуитета так, чтобы к не превышало 1/2 . В нашем случае a - ближе к значению, данному

для n = 4 , чем для n = 3 , так что мы выбираем тождество (с). Таким образом апЗ»/, = а 4>/„ " (1,03) "4 *Г|ъ\% ,

где мы написали n на месте n к для нецелого решения уравнения (а) и к является дробной частью, остающейся в четвертом периоде начисления. Разрешая это равенство относительно 3\% , мы получим

sTз/ = (а тз\% -айз/ )(1,03)4 = 0,477985 (d)

Обратившись к таблице, мы найдем, что к лежит между 2/6 и 3/6. Таким образом, n лежит между 4 1/3 = 3 2/3 и 4 1/2 = 3 1/2. Так как имеется 6 платежей на период начисления, то будет 6 х 3,5 = 21 полных платежей и двадцать второй частичный платеж. Если бы мы использовали ошибочно другое тождество на этом последнем шаге, полученное значение s ц, ( или а ) не было бы найдено в таблице,

поскольку значение к превысило бы 1/2. Для того, чтобы определить F рассмотрим диаграмму

Интервалы платежа : 0 1 2 3 ... 21 22 23 24

I I I I I I I L

W W W ... W (W) (W) (W)

F

10 (W) (W) (W)

I I L

Периоды начисления : 0 ... 3,5 4

Добавляя три платежа по W к аннуитету и к эквивалентной сумме и выписывая уравнение эквивалентности с концом четвертого периода начисления как датой сравнения, получим

F(1,03) 1/3 + RS_!3\% = 10 (1,03) 4 + RS. Поскольку 10 = Rа -|3\% и s 4|3\% = (1,03)4 а 4|3\% это последнее равенство может быть записано в виде

F (1,03) 1/3 = R s ^ R ( а _!3\% а-!3\% )(1,03) 4 .

Второе слагаемое в правой части по равенству (d) равно R sy 3\% , так что

F = R ( sщз\% ST3\% )(1,03)-1/3 = 0,0551 млн рб .

Способ 2 (интерполяция). Как и в предшествующем решении, мы сначала определим, сколько нужно платежей. Так как понадобится 21 полных платежей и 22-ой частичный платеж, интерполяция производится между значениями, соответствующими q = 21 и q = 22. Поэтому мы определим n , а отсюда и q , интерполяцией между

значениями а 3 + 1/2|3\% и а 4 +1/3|3\% . Однако, нет необходимости вычислять эти функции, так как из известных тождеств видно

а 3 + 1/2 13\% = а 4~|3\% (1,03) 4 s72|3\% , а 4 + 1 /313\% = а 4~|3\% (1,03) 4 sГ77|3\% ,

что интерполяция между членами левой части для n эквивалентна интерполяции для к между значениями s ^^|3 \% иs 1^|3 \% .

Используя значение 3\% = 0,477985 как найденное в предыдущем решении, мы образуем следующую интерполяционную табличку

q 21 21 + f 22

к 1/2 1/3

sF| 3\% 0,496305 0,477985 0,330054 Интерполируя, мы получим f = 0,018320/0,166251 = 0,11019 и F = f W =

= 0,0551.

Хотя каждое из решений последнего примера представляется длинным, будет видно, что они являются наглядными и требуют немного вычислительной работы. Более того, все функции, встречающиеся в вычислениях, обычно табулированы с точностью до восьми десятичных знаков, посредством чего обеспечивается точность окончательного результата по крайней мере до семи значащих цифр.