11.5 формула мэйкхэма

11.5 формула мэйкхэма

Рассмотрим акцию с N номиналами, которая должна быть выкуплена через 20 лет по цене R за единицу номинала, и пусть С = NR . Таким образом, С является денежным платежом при выкупе. Пусть купонная ставка (т.е. годовая процентная ставка на единицу номинала) равна D и предположим, что процент выплачивается р-кратно в год просрочкой (т.е. в конце интервала платежа). Таким образом, каждый процентный платеж является суммой DN/р = gC/р , где

g = DN = (14)

= D • (15) R

Заметим, что g является годовой процентной ставкой на единицу выкупной цены.

Рассмотрим инвестора, подверженного подоходному налогу по ставке '1 , который хочет купить акцию по цене, обеспечивающей эффективную чистую доходность i в год. Пусть цена, которую ему следует заплатить равна А . (Мы предполагаем, что п является целым, кратным 1/р , и что любой процент, полагающийся на настоящее время, не будет получен покупателем.) Цена является просто настоящей стоимостью (при ставке i) выкупной вырученной суммы и будущих нетто платежей процентов. Таким образом,

А = NR vп + (1 ti) DNa^ = при ставке i

n

С v п + (1 ti) gC a

n

С vп + (1 ti) gC x i-Jj!

Значит

(16)

где K = С v п (при ставке i) является настоящей стоимостью возмещений капитала, а [(1 t1) g/ ірР)](С K) является настоящей стоимостью нетто платежей процентов. Равенство (16) является известной формулой Мэйкхема и является очень важной. Заметим, что (1 t1) g является нетто ставкой годовых процентных платежей на единицу выкупной цены или на единицу «задолженности». Равенство (16) имеет место только когда

а) t1 , g и R являются постоянными в течение срока действия акции; и

б) п является целым, кратным 1/р .

(Когда эти условия не удовлетворяются, формулу (16) необходимо модифицировать.)

Формула Мэйкхема остается справедливой, когда акция выкупается отдельными взносами, при условии, что купонная ставка D , ставка подоходного налога t1 и цена выкупа на единицу номинала остаются постоянными. Чтобы показать это, мы рассмотрим акцию с количеством номиналов N = N1 + N2 + ... + N т ; число номиналов, выкупленных в момент п , будет N j (j = 1, 2, ... , т).

Сумма, полученная в качестве возмещения части акции в момент п ,

равна С = RNj . Формула (16) подразумевает, что стоимость капитала и нетто платежей процентов, ассоциированная с j-ой «долей» акции, равна

где

K = С v

n

Стоимость всей акции, очевидно, равна

является стоимостью платежей капитала и

т т т

С = X С,= X = R X ^7 = R N

как и ранее. Таким образом, формула (16) остается справедливой в этой ситуации.

Настоящая стоимость, или цена единицы номинала равна, конечно, Р = А /N, при условии, что актив покупается целиком. Привлекательность формулы Мэйкхема заключается в том, что она дает возможность быстро получить стоимость процентных нетто платежей и полной стоимости актива из стоимости капитала K , если даже акция выкупается отдельными взносами.

ПРИМЕР 1 Выпускается акция стоимостью 75 млн руб, зарабатывающая дивиденды по ставке 8\% годовых, выплачиваемых поквартально просрочкой. Акция должна возмещаться по номиналу 15-ью годовыми взносами, первый взнос возмещается пять лет спустя после даты выпуска.

Найти цену, которую нужно заплатить в день выпуска за всю акцию покупателю, который желает иметь доходность а) 10\% годовых эффективно, и b) 10\% годовых, конвертируемых по полугодиям. (Налогами пренебречь.)

РЕШЕНИЕ Возмещения капитала составляют сумму 5 млн руб. Первое возмещение выплачивается через пять лет, а последнее возмещение выплачивается через 19 лет.

а) Выберем год как базовую единицу времени. Требуемая доходность за единицу времени равна 10\% , так что i = 0,10. Используя принятые выше обозначения, мы имеем С = 75 (так как выкуп по номиналу). Стоимость возмещения капитала равна

K = 5х(а^а4) при 10\% = 25,975.

Заметим, что так как выкуп по номиналу, g = 0,08 и процент выплачивается поквартально (т.е. четыре раза в единицу времени), так что р = 4. По формуле Мэйкхема мы получаем требуемую цену

25,975 + 0,084 х(75 25,975) = 66,636.

Так как 66,636 / 75 = 0,8885 , эта цена может котироваться как 88,85\% (88,85 денежных единиц на 100 денежных единиц номинала).

b) Выберем шесть месяцев как базовую единицу времени. Требуемая доходность за единицу времени равна 5\% . Таким образом, i = 0,05. Теперь заметим, что процент выплачивается дважды за единицу времени, так что в принятых обозначениях р = 2. Сумма процентов, выплачиваемая за единицу времени, равна 4\% невозмещенной доли акции, поэтому теперь мы имеем g = 0,04. Возмещение капитала происходит в моменты времени 10, 12, 14, ... , 38, так что

K = 5000 ( а40ащ) при 5\% = 25,377 .

Значит стоимость всей акции равна

25,377 + 0,044 (75 25,377) = 65,565 млн руб или 87,42\% .

Заметим, что эта цена меньше, чем в случае а).

Читатель, который оценивал процентные платежи, пользуясь обычным анализом потоков платежей быстро убедится в преимуществе формулы Мэйкхема.

ПРИМЕР 2 По отношению к акции описанной в предыдущем примере найти цену, которая должна быть выплачена в дату выпуска покупателем всей акции, который выплачивает подоходный налог по ставке 40\% и хочет получать от акции чистый доход 7\% годовых эффективно.

РЕШЕНИЕ Платежи капитала имеют величину

К = 5000х(а^-а^) при 7\% = 34,741.

Поэтому цена, обеспечивающая чистый доход 7\% годовых эффективно, равна

34,741 + 0,08(1 ~°,4) (75 34,741) = 63,061 млн руб или 84,08\% . 0,07^

ПРИМЕР 3 Акция с номинальной суммой 80 млн руб выкупается за 105\% четырьмя взносами в конце 5, 10, 15 и 20 годов. Акция обеспечивает дивиденд по ставке 10\% в год, выплачиваемый по полугодиям.

Инвестор, выплачивающий подоходный налог по ставке 30\%, купил акцию целиком в день выпуска по такой цене, чтобы получать чистый доход 8\% в год эффективно. Какую цену он заплатил?

РЕШЕНИЕ Заметим, что полная задолженность С равна 80 х 1,05, т.е. 84 млн руб. Каждый год полные процентные платежи равны 10\% невозмещенного номинала акции, так что процент, выплачиваемый каждый год, равен произведению g на невыплаченную задолженность, где g = 0,1 / 1,05 .

Выберем один год в качестве единицы времени. Тогда i = 0,08 и в день выпуска платежи капитала имеют величину

К = 20 х 1,05 х (v 5 + v 10 + v 15 + v 20) при 8\% =

= 21 —L при 8\% = 35,144 .

Используя значение g , приведенное выше, мы получим цену, выплачиваемую инвестором в виде

35,144 + -f0! х 1 ~ 0,3 (84 35,144) = 76,656 млн руб . 1,05 0,08^

Заметим, что «цена в процентах» равна цене за 100 денежных единиц номинальной суммы акции, т.е. (76,656 / 80) х 100 = 95,82 \%.

ПРИМЕР 4 Выпускается акция с номинальной суммой 1 200 млн руб, обеспечивающая дивиденды 11\% в год, выплачиваемые по полугодиям. В конце каждого года часть акции будет выкупаться по 105\% . Номинальная сумма, выкупаемая в конце первого года, будет 10 млн руб и каждый последующий год выкупаемая номинальная сумма будет увеличиваться на 10 млн руб до тех пор, пока акция не будет выкуплена. Выпускная цена акции равна 98,80\% .

Найти чистую эффективную доходность инвестора, выплачивающего подоходный налог 40\% , который покупает всю акцию в день ее выпуска.

РЕШЕНИЕ Срок акции равен п годам, где

1 200 000 = 10 000 х (1 + 2 + ... + п) = 5 000 х п(п + 1) ,

откуда следует, что п = 15.

Заметим, что так как выкупная цена равна 105\% , полная задолженность С равна 1 200 х 1,05 = 1 260 и g = 0,11 / 1,05 . Наша единица времени равна одному году и р = 2 .

При процентной ставке i возмещения капитала имеют величину

K = 10 х 1,05 х (7^)15 ,

так что

K = 10 х (la)j5j при ставке i .

Таким образом, стоимость акции, которая обеспечит инвестору чистую доходность i в год равна (с учетом значения g )

. „ 0,11 1 0,4 ^ А = K + -2— х —х (1260 K).

1,05 i(2) 1 }

Так как выпускная цена равна 98,80\% на 100 денежных единиц номинала, цена, выплачиваемая инвестором была 0,988 х 1 200 , т.е. 1 185 млн руб. Нам нужно найти значение i такое, чтобы А равнялось этой величине.

Заметим, что каждые инвестированные 98 800 руб порождают чистый доход 6 600 руб в год и возмещаются как 10 500 руб. Чистая доходность будет, таким образом, будет несколько больше, чем 6 600 / 98 800 = 0,0668 или 6,68 \% . Поэтому в качестве первого шага мы оценим акцию при 7\% . Мы оставляем читателю проверить, что при i = 0,07 А = 1 206,86 или 100,57 \% . Значит чистая доходность больше, чем 7 \% годовых. Легко проверить, что при i = 0,08 А = 1 127,29 или 93,94 . Путем линейной интерполяции мы оцениваем чистую доходность как

1206,86 -1185,60

0,7 + (0,8 0,7)х лл^ _ = 0,0727 или 7,27 \% .

У } 1206,86 -1127,29

УПРАЖНЕНИЯ

По привилегированной акции выплачивается 10 млн руб дивидендов в конце первого года. Каждые последующие годовые дивиденды будут на 5\% больше, чем предшествующие. Какие постоянные дивиденды были бы эквивалентными при i = 12 \% .

Обыкновенная акция выплачивает годовые дивиденды в конце каждого года. Чистая прибыль компании на акцию в только что закончившемся году была 6 млн руб. Предполагается, что прибыль будет расти на 8 \% в год. Проценты от дохода, выплаченные как дивиденды, будут равны 0\% в течение первых 5 лет и 50\% в последующие годы. Найти теоретическую цену акции, обеспечивающей инвестору доходность 15\% эффективно.

Найти выражение для теоретической цены обыкновенной акции, выплачивающей годовые дивиденды в конце каждого года. Прибыль только что закончившегося года была Е . Предполагается, что норма роста прибыли для года t равна kt , доходность для года t равна it и доля прибыли, которую корпорация планирует выплатить как дивиденды в году t равна pt , 0 < pt < 1 .

Обыкновенная акция приобретается по цене, равной 10 значениям текущей прибыли. В течение следующих 6 лет акция не выплачивает никаких дивидендов, но прибыль увеличивается на 60\% . В конце 6 лет акция продается по цене, равной 15 значениям прибыли. Найти эффективную годовую ставку дохода, заработанного на этой инвестиции.

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. ОПИСАНИЕ «ТАБЛИЦ ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ»

Таблицы для финансовых расчетов, в основном, предназначены для определения числовых значений составных функций платежей. Такими функциями являются:

Множитель накопления

(1 + i У

Множитель дисконта

v" =

1

(1 + i У

(1 + i)" -1

Функция накопления

s-l "Iі i

1

Обратное значение функции накопления

s

1 v

Функция определенного (детерминированного) аннуитета a"

i

Ключевым параметром каждой таблицы является эффективная процентная ставка і . Таблица составляется для конкретного значения і , которое выражается в процентах целым числом, обычно от 1\% до 10\% . В более подробных таблицах значения і берутся через 0,5\% . Для каждого значения i подсчитываются также другие нормы процентов: полугодовая, квартальная и месячная. Значения функций чаще всего даются с точностью до восьмого знака после запятой. В некоторых таблицах эта точность может быть другой (от четырех до девяти знаков) в зависимости от назначения таблиц. Чаще всего значения функций даются для целого числа периодов п от 1 до 50 (или 60). Иногда встречаются таблицы для дробных значений этого параметра.

В високосном году 29 февраля имеет номер 60, а номера дней после 28 февраля увеличиваются на единицу.