6.3. задачи для самостоятельного решения расчетные задачи

6.3. задачи для самостоятельного решения расчетные задачи

Портфель состоит из двух пакетов акций стоимостью 3000 тыс. руб. и 2000 тыс. руб. Ожидаемая доходность по первому пакету составляет 12\%, а по второму 16\%. Какова ожидаемая доходность портфеля в целом?

В начале года инвестор владел четырьмя видами ценных бумаг в следующих количествах и со следующими текущими и ожидаемыми к концу года ценами (табл. 6.5).

Какова ожидаемая доходность этого портфеля за год?

3. Инвестор желает приобрести 10-летние бескупонные облигации сроком на 1 год с погашением по номиналу. Согласно структуре процентных ставок, годовая доходность к погашению ожидается на уровне 7\%, а ее волатильность (СКО) 15\%. Опираясь на нормальный закон распределения доходности, получить следующие оценки:

а) найти интервал, внутри которого сосредоточены 98\% возможных уклонений итоговой за год доходности г от ее среднего

значения (98\%-й доверительный интервал);

б) при том же уровне значимости (98\%) определить диапазон

возможных годовых приростов А (выигрышей или потерь) начальных вложений в размере 1 млн руб.;

в) как изменится доверительный с тем же уровнем значимости интервал по доходности и приростам капитала для диапазона

дальновидности инвестора, равного 30 дням;

г) оцените величину максимально возможных потерь (VAR)

при условии, что инвестор пренебрегает вероятностями неблагоприятных исходов ниже 0,01.

При вложении капитала в мероприятие А в 20 случаях из 200 была получена прибыль в 25 тыс. руб., в 80 случаях — 30 тыс. руб., в 100 случаях — 40 тыс. руб. При вложении капитала в мероприятие В в 144 случаях из 240 была получена прибыль 30 тыс. руб., в 72 случаях — 35 тыс. руб., в 24 случаях — 45 тыс. руб. Выбрать вариант вложения капитала:

а) по критерию средней прибыли;

б) по критерию колеблемости прибыли;

в) по критерию относительной колеблемости прибыли

Выбрать наименее рискованное направление инвестиций из двух возможных вариантов:

а) собственные средства инвестора — 5 млн руб., максимально

возможная сумма убытков — 3,5 млн руб.;

б) собственные средства инвестора — 30 млн руб., максимально возможная сумма убытков — 12 млн руб.

Инвестор выбирает между двумя акциями А и В. Каждая из них по-своему откликается на возможные рыночные ситуации, достигая с известными вероятностями определенных значений доходности (табл. 6.6).

7. Предположим, что на рынке могут возникнуть только два исхода и на каждый из них акции А и В откликаются неслучайным образом. Вероятности этих исходов и соответствующих им значений доходности заданы табл. 6.7.

Определить:

а) ожидаемые доходности и риски (стандартные отклонения)

этих акций;

б) коэффициент корреляции между доходностями;

в) какую акцию выберет инвестор, максимизирующий вероятность неразорения, учитывая, что инвестируются заемные

средства, взятые под ставку 1,5\%;

г) как распределить вложения, чтобы получить безрисковую

комбинацию этих акций — портфель с не зависящей от исхода

эффективностью.

Инвестор вложил 60\% своего капитала в акцию А, а оставшуюся часть — в акцию 5. Риски этих акций составляют соответственно 10 и 20\%. Чему равен риск портфеля, если:

а) доходности этих бумаг находятся в полной прямой корреляции;

б) доходности некоррелированы;

в) имеет место положительная статистическая связь с коэффициентом корреляции 0,5.

Портфель состоит из активов А и В. Доля актива А — 40\%, актива В — 60\%. Дисперсии активов

аА2 = 0,0012184, ав2 = 0,000987.

Коэффициент корреляции:

гАВ = 0,0008765.

Чему равен риск портфеля?

Используя Excel, найти оптимальный портфель Маркови-ца требуемой доходности тр= 15\% для трех некоррелированных ценных бумаг, эффективности и риски которых заданы следующими парами значений: 4, 10; 10, 40; 40, 80.

Для формирования портфеля ценных бумаг можно использовать три вида акций, которые имеют следующие характеристики (табл. 6.8).

С помощью компьютера составить 11 портфелей минимального риска и требуемой доходности тп = 10 + 0,5(я — 1), я = 1, 2,

Затем нанести портфели, как точки, на плоскость «доходность — риск» и построить график траектории эффективных портфелей.

Инвестор может составить портфель из трех видов ценных бумаг. Их эффективности являются случайными величинами, имеющими следующие математические ожидания и стандартные отклонения:

тх = 15\%, а, = 5\%; т2 = 25\%, а2= 7\%; т3= 20\%; а3 = 6\%.

Инвестор имеет возможность получать и предоставлять займы по одной и той же безрисковой ставке г0=12\%, а моделирую

Также известна корреляционная матрица этих эффективнос-тей ((гу)) (табл. 6.9).

щая его поведение функция полезности дохода U(R) = 3R — О, IR . Определить портфель Тобина, учитывающий, наряду с рисковыми активами, возможности использования инвестором безрискового процента.

Компания финансируется на 40\% за счет заемного капитала по безрисковой ставке в 10\%. Акции компании имеют коэффициент р, равный 0,5. Ожидаемая доходность рыночного портфеля составляет 18\%. Определить стоимость капитала компании.

Полная рыночная стоимость обыкновенных акций (собственный капитал) компании оценивается в 6 млн долл.; общая стоимость заемного капитала составляет 4 млн долл. Финансовые аналитики получили оценку «бета» вклада акций компании на уровне 1,5. Кроме того, известно, что ожидаемая премия за риск рыночного портфеля равна 9\%. Данная компания привлекает заемный капитал под безрисковую ставку в 8\%. Определить:

а) ожидаемую доходность акций этой компании;

б) р вклада ее активов;

в) стоимость капитала компании;

г) ставку дисконтирования для получения оценок эффективности проектов, предназначенных для расширения действующего производства;

Используя графическое представление этих портфелей в осях (г, а), требуется ответить на следующие вопросы:

д) ставку дисконтирования для оценки эффективности нового, задуманного компанией инвестиционного проекта с коэффициентом р = 1,2.

Сформировать портфель Тобина максимальной эффективности и риска, не более заданного, из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 10 и рисками'2 и 4. Каковы соотношения доли бумаг в рисковой части оптимального портфеля?

Имеются следующие данные об ожидаемых доходах и стандартных отклонениях восьми рисковых портфелей (табл. 6.10).

а) пять из этих портфелей эффективны, три нет. Какие

портфели неэффективны?

б) допустим, что вы также можете брать кредиты и предоставлять займы по ставке 12\%. Какой из приведенных портфелей является лучшим в этой ситуации?

в) предположим, вы готовы принять стандартное отклонение,

равное 25\%. Какую максимальную ожидаемую доходность вы можете получить при условии, что у вас нет возможности брать кредиты или предоставлять займы?

г) как изменится ваша стратегия, если у вас появится возможность кредитования и заимствования по ставке 12\%. Вы по-прежнему готовы принять 25\%-ный риск, но стремитесь получить

максимальную ожидаемую доходность? Чему равен выигрыш по

сравнению с п. «в»?

17. Инвестор вложил 60\% своих денег в акции А, а. остальные — в акции В. Он оценивает перспективы для себя следующим образом (табл. 6.11).

Определить:

а) каковы ожидаемая доходность и стандартное отклонение

портфеля?

б) как изменился бы ваш ответ, если бы коэффициент корреляции равнялся 0 или -0,5?

в) портфель инвестора лучше или хуже портфеля, полностью

состоящего из акций А, или об этом невозможно судить?

18. Случайная доходность ценной бумаги имеет нормальное распределение с ожидаемым значением E(R) = 14\% и риском 15\%. Облигации государственного займа дают безрисковую доходность 5\%. Найти вероятность того, что вложение в эту бумагу будет выгоднее, чем покупка облигаций.

19. Какова «бета» для каждой акции со следующими данными об ожидаемой доходности (табл. 6.12)?

Аналитические задачи

Пусть А — вклад в рискованный актив с вероятностью полной утраты ра и с доходностью га при его сохранении. Требуется:

а) получить формулы математического ожидания и риска

(СКО) случайной доходности г подобного вложения;

б) определить, как изменятся формулы п. «а», если вместо

риска актива будет иметь место риск процентов: вклад возвращается в полном объеме, а проценты теряются с вероятностью рп

или начисляются по ставке га.

Сформировать портфель Тобина минимального риска из двух видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 2 и рисковых с ожидаемой эффективностью 10 и риском 5. Найти зависимость эффективности портфеля от его риска.

В модели САРМ известны эффективности т{9 т2 и р1? р2 двух ценных бумаг. Как найти безрисковую ставку г0 и эффективность рынка тс1

Имеются два актива со случайными эффективностями Ru R2. Возможные значения этих эффективностей и их вероятности сведены в табл. 6.13).

Инвестор руководствуется функцией полезности дохода

U(R) = 1,2 Л-0,1 R2

и формирует составной актив исходя из критерия максимизации ожидаемой полезности. Определить оптимальные пропорции этого актива и его характеристики тр, ар.

Хорошо диверсифицированный портфель акций, сформированный на капитале К, имеет коэффициент бета, равный величине рп. Владелец портфеля намерен включить в него еще один вид акций с коэффициентом р = рА и готов инвестировать для этого сумму / = ХК, не превышающую 10\% от первоначальной инвестиции К. Получить формулу относительного изменения в результате добавления акций А портфельного риска (СКО) в зависимости от доли X и количественных характеристик рп и рА.

Функция полезности инвестора в зависимости от изменения дохода характеризуется следующим свойством: полезность малого выигрыша Ах пропорциональна этому выигрышу и обратно пропорциональна наличному капиталу х. Записать дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять эта функция и, решив его, найти ее вид.

Кредит Р выдан под ставку сложного процента j на срок п. Чему равна величина дюрации D потока погашающих платежей при ставке дисконтирования, равной кредитному проценту у, для схемы:

а) равных процентных выплат;

б) равных срочных уплат?

Получить формулу расчета показателя дюрации простой годовой ренты срока п с выплатами R в конце каждого года.

Ситуационные задачи

1. Пусть известны вектор ожидаемой доходности и матрица ковариации трех активов (ценных бумаг):

Известно, что рискованный портфель гражданина Сидорова разбит пополам на два рискованных актива. Определить:

а) какая из трех ценных бумаг является безрисковым активом? Почему?

б) чему равна ожидаемая доходность и стандартное отклонение всего портфеля, если безрисковый актив составляет 25\% всего портфеля?

2. Ваша эксцентричная тетя оставила вам в наследство акции компании Boeing на 50 ООО долл. и 50 ООО долл. наличными. К сожалению, она потребовала не продавать акции в течение одного года, а все деньги вложить в один из видов акций компаний, представленных в табл. 6.14. Какой портфель был бы наиболее надежным при выполнении этих условий?

3. Андрею Кутукову нравится игра «Времена года», которую ежеквартально проводит казино «Шанс». Согласно его прикидкам, успех в игре имеет вероятность 0,08 и позволяет удесятерить вложенный капитал; при проигрыше деньги «теряются» (достаются казино). Объявление результатов игры и выплаты победите лям производятся в конце каждого квартала перед началом очередного тура. Чтобы любимое развлечение не стало разорительным, он решил параллельно с игрой частьха денег класть на трехмесячный депозит под безрисковую ставку rR = 10\% (в расчете на квартал).

Определить пропорцию вложений в игру и на депозит с учетом требования сохранить «в среднем» вложенный капитал.

Иванову надоело держать деньги в квартирных тайниках, и он решил вложиться в акции А, В с характеристиками тА = 12\%, аА = 15\%, тв = 28\%, ав = 30\% и коэффициентом корреляции гАВ = 0,1. Сторонник осторожных решений и умеренных действий, он готов довольствоваться ожидаемой доходностью тр = 14\%, лишь бы надежность ее получения была как можно выше. Требуется:

а) записать (алгебраически) модель оптимальной по критерию риска диверсификации вложения при условии, что ради

снижения риска Иванов предполагает часть денег хранить наличностью в том же, что и раньше, укромном месте;

б) используя Excel, найти оптимальные пропорции вложения

и его риск;

в) определить, куда и сколько следует вложить, если накопленная Ивановым сумма равна 100 000 руб.

Менеджер отвечает за управление портфелем пенсионного фонда, в его распоряжении 990 млн руб., которые он должен поделить между рыночным портфелем и безрисковыми ценными бумагами. Аналитик, консультирующий менеджера, уверен, что в следующем году по безрисковым ценным бумагам можно получить доходность 0,08, а возможные ставки годовой доходности рыночного портфеля и их вероятности будут такими, как показано ниже:

Доходность

Вероятность

0,30 0,20 0,10 -0,10

0,30 0,40 0,25 0,05

Какой должна быть доля каждой из компонент, чтобы ожидаемая доходность инвестиций пенсионного фонда составляла 15\%? Чему будет равен риск такого портфеля (среднеквадрати-ческое отклонение его доходности)?

Врач, вышедший на пенсию, предполагает покупать только долговые ценные бумаги и акции рыночного портфеля. Как инвестор он хочет быть уверенным в том, что даже если доходность рыночного портфеля окажется ниже нормального уровня тс = = 14\% на величину, соответствующую двум среднеквадратичес-ким отклонениям ас = 12\%, доходность его портфеля будет не менее 5\%. При этом вероятностями худших исходов он пренебрегает. Определить:

а) какой портфель вы бы ему порекомендовали, если ставка

безрискового процента по долговым бумагам составляет 8\%;

б) вероятности неблагоприятных исходов, которыми пренебрегает инвестор (аппроксимируется распределение случайной

доходности рынка нормальным законом).

«Зачем покупать товар, когда можно купить его производство», — решил владелец процветающей торговой компании господин Широков. Через год и в обозримой перспективе эта сделка даст ему 0,3 млн руб. ежегодно, но каков риск? Если оценить этот проект как безрисковый, а его риск окажется таким же, что и у рынка ценных бумаг, то много ли переплатит господин Широков, покупая эту фирму?

Решить задачу при условии, что безрисковая ставка г0 = 10\%, а ожидаемая доходность рынка тс = 20\%.

Получив наследство, Николай почти все деньги вложил в ценные бумаги. Его портфель составлен из инвестиции в рискованный портфель (дающий 12\%-ную ожидаемую доходность и 25\%-ные стандартное отклонение) и в безрисковый актив (дающий 7\%-ную доходность). В целом портфель имеет стандартное отклонение 20\%. Может ли Николай оценить ожидаемую доходность портфеля, и если да, то чему эта доходность равна?

Тесты

1. Из двух акций А и В первая отрицательно коррелируется с другими акциями, доступными для инвестирования на рынке ценных бумаг. Расположить в порядке возрастания равновесные доходности этих акций тА, тви ставку безрискового процента г0

r0imA,mB;

г0, тв, тА;

mA, r0, тв

все ответы неверны.

2. Фирма оценивает свои инвестиционные проекты по ставке

сравнения, равной стоимости капитала (WACC). Что можно сказать о высокорисковых проектах? Будут они переоценены или

недооценены при таком подходе:

переоценены;

недооценены;

исходной информации недостаточно.

3. Рассмотреть четыре акции со следующими ожидаемыми

доходностями и стандартными отклонениями (табл. 6.15).

Есть ли среди этих акций те, от которых инвестор, избегающий риска, заведомо откажется:

таких акций нет;

А;

В;

С;

D.

4. Согласно правилу оценки долгосрочных активов (уравнение равновесного рынка), акциям с коэффициентом р свойственны те же рыночный риск и ожидаемая доходность, что и:

портфелю, состоящему из р инвестиций в казначейские векселя и (1 р) инвестиций в рыночные ценные бумаги;

портфелю, состоящему из Р инвестиций в рыночные ценные бумаги и (1 — Р) инвестиций в казначейские векселя;

портфелю, состоящему наполовину из рыночных ценных бумаг и наполовину из казначейских векселей;

такого портфеля, кроме пакета этих акций, нет.

5. В какой из ситуаций можно достичь максимального сокращения риска вложений, если их возможности ограничиваются

двумя акциями и операции коротких продаж не производятся?

доходности акций некоррелированы;

имеет место полная отрицательная корреляция;

корреляция положительна;

корреляция отрицательна;

имеет место полная положительная корреляция.

6. Ожидаемую доходность акции т часто задают в виде линейной функции с коэффициентом бета (Р) от ожидаемой доходности рынка (гт):

т = а + prm.

Согласно модели ценообразования на рынке капиталовложений (САРМ) равновесному состоянию этого рынка будет отвечать:

сс = 0;

а = г0 (ставка безрискового процента);

а = (1-Р)г0;

а = (1-г0);

ни один из приведенных выше вариантов не верен.

7. Портфель содержит акции 10 видов с равными по каждому

виду вложениями капитала. Половина этих акций имеет коэффициент р = 1,2, а у остальных — р = 1,4. Чему равен этот показатель

(«бета» вклада) для всего портфеля?

1,3;

больше, чем 1,3, потому что портфель не полностью диверсифицирован;

меньше, чем 1,3, потому что диверсификация уменьшает величину, «бета» вклада;

имеющейся информации недостаточно.

Наилучшей из всех является конъюнктура:

первая;

вторая;

8. Представлены три ценовых состояния рынка (конъюнктуры) с двумя видами акций А и Б (табл. 6.16).

третья;

имеющейся информации недостаточно.

9. Портфель инвестора содержит меньше различных акций,

чем рыночный портфель. Риск этого гк)ртфеля будет ниже, чем

риск рыночного портфеля, если:

портфель хорошо диверсифицирован;

«бета» портфеля меньше единицы;

портфель хорошо диверсифицирован и его Р > 1;

портфель хорошо диверсифицирован и его Р < 1;

ни один из приведенных выше вариантов ответов неверен.

10. Инвестиционный портфель предприятия представляет совокупность:

финансируемых предприятием инвестиционных проектов;

принятых к эксплуатации объектов завершенного строительства;

ценных бумаг в фондовом портфеле предприятия;

эмитированных предприятием акций;

эмитированных предприятием облигаций.

11. Компания решает, выпускать ли ей акции, чтобы привлечь

деньги для финансирования инвестиционного проекта, риск которого равен рыночному, а ожидаемая доходность — 20\%. Если

безрисковая ставка равна 10\% и ожидаемая доходность рыночных ценных бумаг (рыночного портфеля) 15\%, компании следует выпустить акции:

при «бета» акций компании не больше 2,0;

при «бета» акций компании не меньше 2,0;

при любом значении «бета».

12. Вы инвестировали 1 млн руб. в хорошо диверсифицированный портфель акций. В настоящее время вы получили еще

200 000 руб. (0,2 млн руб.) в наследство. Какое из следующих

действий обеспечит вам наиболее надежный доход от вашего

портфеля:

инвестирование 200 тыс. руб. в государственные облигации (их р = 0);

инвестирование 200 тыс. руб. в акции с р = 1;

инвестирование 200 тыс. руб. в акции с р = -0,25?

13. Пусть ставка дисконтирования г составляет 100\%. В какой

последовательности, начиная с конца первого периода, следует

расположить два платежа (4; 16), чтобы средний срок выплаты

был наименьшим? Изменится ли ответ при нулевой денежной

оценке времени, т.е. для значения г = 0? При какой расстановке платежей риск процентной ставки будет выше?

06; 4);

(4; 16);

изменится;

не изменится;

(16; 4);

(4; 16)?

14. Портфель А имеет следующую структуру: облигации государственного займа — 12\%, простые акции крупных нефтяных

компаний — 15\%, привилегированные акции банков, страховых

компаний — 20\%, депозитные сертификаты коммерческих банков

15\%, облигации крупных промышленных предприятий 30\%.

Портфель В содержит акции нефтедобывающих и нефтеперерабатывающих предприятий, акции предприятий, занимающихся транспортировкой и реализацией нефти и нефтепродуктов, а также производящих химическую продукцию на основе нефтепродуктов. Определить типы этих портфелей и сравнить их с точки зрения минимизации риска:

оба портфеля — консервативные, т.е. ориентированы в большей степени на надежность, нежели на доходность вложений;

портфель В сильно диверсифицирован и поэтому надежен;

портфель В агрессивный, т.е. ориентирован в большей степени на доходность, чем на надежность вложений;

риск портфеля А ниже, чем у портфеля /?.

15. Для определения величины VAR торговой компании А на

периоде, равном одному кварталу, ее аналитики использовали

95\%-ный уровень значимости. В результате они получили оценку

этого показателя, равную 19\% от вложенного капитала. Цена заемного капитала для компании А 32\% годовых. Чему равно пороговое значение кт[п коэффициента самофинансирования к,

исключающее риск разорения.

Коэффициент самофинансирования определяется долей собственного капитала в полном капитале:

Собственный капитал _ СК

Собственный капитал + Заемный капитал СК + ЗК

25\%;

27,2\%;

19,8\%;

33,3\%;

16\%.

16. Ваша эксцентричная тетя оставила вам в наследство 50 ООО долл. наличными и акции компании Boeing на 50 ООО долл. К сожалению, она потребовала не продавать акции в течение одного года, а все деньги вложить в один из рекомендуемых ею видов акций. Какой вид следует выбрать, чтобы получить наиболее надежный портфель при следующих данных (табл. 6.17)?

Kodak;

Georgia Pacific;

McDonnell Douglas;

все деньги следует вложить в акции компании Boeing;

для решения задачи необходимо знать матрицу парных корреляций.

17. В табл. 6.18 представлены данные об ожидаемых доход-ностях трех акций на конкурентном рынке ценных бумаг в состоянии его равновесия.

Расположить эти акции в следующем порядке: акция имеет среднюю степень риска; менее рискованна, чем в среднем на рынке; более рискованна, чем в среднем на рынке.

Б;А; В;

В; А; Б;

исходных данных недостаточно;

А; В; Б.

Ответы и решения

Расчетные задачи

13,6\%.

0,1398 «14\%.

а) согласно (6.7) 2Ф(8/а) = 0,98. Откуда (8/15\%) » 2,34 и, следовательно, 5 = 15\% • 2,34 = 35,1\%. Таким образом, —28,1\% < г < < 42,1\%; б) доверительный интервал для процентных денег получается умножением найденных граничных значений доходности на величину начального капитала: —281000 руб. < А < 421000 руб.; в) полагая год равным 252 торговым дням, найдем волатильность и ожидаемую доходность за один месяц:

a = 15\%-V30/252 =5,175\%, ц =7\%-30/252 = 0,833\%.

Откуда найдем верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала по доходности:

(і 2,34а « -11,28\%, ц + 2,34а « 12,94\%.

Переходя к капиталу, получим предельные значения его возможных потерь и приобретений:

-112800 руб. < А < 129400 руб.;

г) максимально возможные потери начального капитала за год при доверительном уровне 99\% оцениваются значением показателя VAR = 281000 руб.

а) средняя прибыль по каждому из вариантов: тА = 34,5; тв = = 33. Следует выбрать варианте; б) дисперсия прибыли по каждому варианту:

а/= 32,25; ав2 =21.

Следует выбрать вариант В в) коэффициент вариации (формула (6.4)) по каждому варианту:

^ * 5,68/34,3 «0,16; ^«4,58/33 « 0,14.

Следует выбрать вариант В.

Вариант «б».

аА = 5\%, ов = 0,995\%, mA = mB = 15\%. He склонный к риску инвестор выберет акцию В.

а) тА = тв = 2\%; оА = <зв = 1,5\%; б) гАВ = -1; в) минимизирующий риск разорения инвестор выберет акцию В; г) вкладываясь в каждую акцию половиной капитала, инвестор добьется безрисковой доходности г = 2\%.

8. а) 14\%; б) 10\%; в) 12,17\%.

9.2,35\%.

10. Доли бумаг в портфеле составляют 52, 21 и соответственно

27\%, его риск 23,79\%, а доходность равна заданной 15\%.

11. Решению соответствует табл. 6.19.

12. Задачу можно решить в три приема:

найти касательный портфель: х]с = 0, х2с = 0,5032, х3с = 0,4968; тс = 22,5162\%, ас = 4,1344\%.

Примечание. Пропорции рисковых компонент в портфеле С удобно определить, рассчитав оптимальные доли какого-либо портфеля с тр > 25 и без ограничения на знак переменной х0 (решение аналогичной задачи средствами Excel показано на типовом примере 5 в разделе 6.3);

записать уравнение прямолинейной траектории эффективных портфелей (аналог линии рынка капитала) для задачи Тобина: ор = = 0,39/^-4,71;

определить точку касания кривой безразличия, отвечающей функции полезности U{R), и эффективной траектории, найденной п. «2». Решая задачу оптимизации MU(R) = 3т — 0,1т2 0, la2 -> max при условии, что а = 0,39т 4,71 (т и а измеряются в процентах), получим характеристики оптимального портфеля:

т0ПТ* 14,6\%, аопт* 1\%.

Используя теорему о вложении в два фонда, найдем доли инвестирования а0 в безрисковый актив и ас = 1 — сс0 в касательный портфель: 12ос0 + 22,5осс = 14,6. Откуда ос0 = 0,75, ас = 0,25, т.е. четвертую часть капитала инвестору целесообразно вложить в касательный портфель С, а оставшиеся три части поместить на депозит под ставку 12\%.

Согласно формуле (6.18) акции компании имеют ожидаемую доходность:

in = 10\% + 0,5(18\% 10\%) = 14\%.

Таким образом, стоимость (цена) капитала компании:

/ = 0,4. 10\%+ 0,6-14\% = 12,4\%.

а) 21,5\%; б) 0,9; в)16,1\%; г) 16,1\%; д) 18,8\%.

Рисковые бумаги входят в оптимальный портфель в соотношении 1:1. Если риск портфеля ограничен заданной величиной а*, то инвестиции в рисковые бумаги должны быть равными и в сумме

составляют величину и = а * />/5; оставшуюся часть капитала v = 1 —

— и следует вложить в безрисковые бумаги.

а) А, Г, Ж; б) Е; в) 15\%, портфель В; г) инвестирую 25/32 своих денег в портфель Е и дам вдолг 7/32 денег под 12\%. Ожидаемая доходность: 12 • 7/32 + 18 • 25/32 = 16,7\%. Риск не изменится: стандартное отклонение: (25/32) • 32 = 25\%. Выигрыш: Аг= 16,7 15 = 1,7\%.

а) тр = 17\%; ар « 18,08\%; б) г = 0, ар « 14,88\%; г = -0,5, ср * « 10,76\%; в) тр > тА, ар < <зА. Портфель инвестора лучше портфеля, полностью состоящего из акций А.

/>= Вер(Д > 5\%) = 0,5 • Вер(|Д 14\%| < 9\%) + 0,5 = Ф(9/15) + + 0,5 = Ф(0,6) + 0,5. Из таблицы значений функции Лапласа найдем, что Ф(0,6) = 0,22575.Поэтому вероятность превышения безрисковой ставки Р« 0,7.

А: 1, 0; Б : 2, 0; В : 1, 5; Г: 0; Д : 1,0.

Аналитические задачи

1. а) Запишем ряд распределения для случайных процентных выплат по данному активу.

Здесь определяются два возможных значения га и — 1 случайной доходности и соответствующие им вероятности 1— ра, ра. Отсюда найдем ее ожидаемое значение:

и среднеквадратическое отклонение:

аг =^Ра(1-Ра)(1+ГаУ>

б) легко понять, что при этих условиях ряд распределения случайной доходности г задается следующим соответствием:

Математическое ожидание этой случайной величины: а ее СКО

°г=^ІРп(1-РпУах0= (10 /ир/8, *, = (тр 2)/8, тр = 2 + 1,6а,.

Для определения г0 и тр следует воспользоваться системой уравнений:

«i='b + Pi(/«c-/b);

Щ = Го + $2(тс-Гъ).

Оптимальная «смесь» достигается при равных денежных вложениях в каждый из активов и позволяет получить не зависящую от случайного исхода (ср = 0) одну и ту же доходность тр = 2\%.

Коэффициент «бета» расширенного портфеля составит величину

Имея в виду, что /= ХК< OAK полученный после добавления акций А портфель также можно считать сильно диверсифицированным (несистематический риск равен нулю). Согласно (6.19), риски базового и измененного портфелей определяются в зависимости от риска рыночного портфеля сгс следующими произведениями:

аП~Рп'аа> <*І-Рі*<*с>

и, следовательно,

ах ~ая = Pi -Ря °я Ря

Отсюда видно, что при выполнении условия сильной диверсификации относительное изменение портфельного риска, измеряемого СКО, совпадает по величине с относительным изменением портфельной беты. С учетом доли дополнительного вложения А, полученная формула приводится к виду

АаЯгг (Р^-Ря) ая (1 + Х) ря

Согласно условию

к -Ах

U(x + Ах) -£/(х) = ^-fii

где к — величина коэффициента пропорциональности. Перепишем это равенство в виде отношения прироста этой функции к приросту ее аргумента:

U(x + bx)-U(x) к Ах х

Переходя к пределу отношения в левой части этого равенства при Ах -> 0, получим дифференциальное уравнение

dU = к dx х'

которому удовлетворяет логарифмическая функция U(x) = кпх. При выборе надлежащих единиц числовой полезности можно считать, что к = 1 и рассматривать логарифмическую полезность

U(x) = lnx.

a) D = (1 + l/y)(l (1 +у)-Л); б) D = (1 + 1/у) Л/((1 +у)Л 1).

Примечание. Для решения можно использовать формулу современной величины ренты с постоянным абсолютным приростом платежей.

/>= (1 + 1/0 л/((1 + 0я 1),

где / — ставка дисконтирования.

Ситуационные задачи

а) К33 = 0, поэтому третья бумага является безрисковой; б) тр « «7,96«8\%; а,* 7,7\%.

Половину стоимости портфеля составляют акции компании Boeing. Таким образом, задача состоит в выявлении такого вида акций /, для которого двухкомпонентный портфель будет иметь наименьший по всем возможным вариантам риск:

а2 = 1 • 282 +1 • а2 + 2 • 1 • 1 ги • 28 • а, -j^min,

что равносильно минимизации суммы I = а,-2 + 56ruoi.

Отсюда понятно, что для решения достаточно ограничиться следующими числовыми данными.

Сравнивая значения по столбцам, легко понять, что выбор следует проводить между акциями Kodak (№3), Georgia Pacific (№4) и McDonnell Douglas (№5):

min{25(25 + 56 • 0,45); 29(29 + 56 • 0,34); 24(24 + 56 • 0,64)} = = min{1255; 1393,16; 1436,16} = 1255.

Выбрать следует акции компании Kodak.

3. Ожидаемую доходность /яи и риск игры аи получим по правилам теории вероятностей исходя из ряда распределения случайной доходности вложения в игру:

Откуда ти = -20\%, аи = 271,29\%.

Требуемую пропорцию найдем из уравнения + гд(1 — хи) = = 0, т.е. 0,3хи =0,1. Это означает, что играть следует на одной трети капитала, а его оставшуюся часть поместить на депозит. При этом

При таком рассмотрении условие сохранения капитала примет вид: 0,08 • 10хи+1,Ъсд= 1.

ха°а + хвав + ^а^вРаР^ав -> minа) mjcA + твкв = тр

хА+хв<1,хА,хв>0.

Отметим, что данная модель совпадает с математическим описанием задачи Тобина, в которой безрисковый актив («копилка») имеет нулевую доходность;

б) хАот = 0,4843, х/пт = 0,2924. Оставшуюся часть хналопт = 0,2233

следует хранить наличностью. Риск такого портфеля ар = 11,94\%;

в) в акции А и В следует вложить 48430 руб. и 29240 руб. соответственно, а остаток в сумме 22330 руб. оставить дома.

В соответствии с табличными данными определим ожидаемую доходность рыночного портфеля тс = 19\% и его риск ас = = 9,95\%, или, округляя до процентов, ас« 10\%. Долю вложения х в безрисковые ценные бумаги найдем из уравнения 8х + (1 — х)19 = = 15. Откуда х0 = 4/11, и соответственно доля, приходящаяся на рыночный портфель, х{= 1 — xQ = 7/11, т.е. 360 млн руб. — в безрисковые бумаги, а 630 млн руб. — в рыночный портфель. Сформированный таким образом портфель пенсионного фонда будет иметь риск а =*! • ас = 6,33\%.

а) обозначим долю вложения в облигации через а, тогда 1 а — доля капитала, инвестируемая в рыночный портфель. В качестве рекомендуемого портфеля следует выбрать тот, который удовлетворяет требованию инвестора в расчете на наименее благоприятный

исход и обеспечивает максимум ожидаемой доходности. Модель такого портфеля имеет вид

8а + 14 (1 а) -> max; 8 а 10(1 а) >5.

Откуда аопт= 15/18, иначе говоря, на 15 стоимостных единиц безрисковых бумаг должны приходиться 3 стоимостные единицы акций рыночного портфеля; б) применяя формулу (6.8), найдем вероятность уклонения в пределах двух СКО:

/>(|Яс-/яс|<2а) = 2Ф(2).

Табличное значение функции Лапласа: Ф(2) = 0,47725. Отсюда вытекает, что вероятность пренебрегаемых исходов

P(RC <mc-2ac) = P(RC < -10\%) = 0,5 0,47725 = 0,02275.

7. При безрисковом вложении р = 0; для рыночного портфеля Рс = 1. Без учета риска ТС = 0,3/0,1 = 3; с поправкой на риск ТСскор = = 0,3/(0,1 4-1 • (0,2 — 0,1)) = 1,5. Таким образом, переплата из-за пренебрежения риском составит величину А = 1,5 млн руб., или 100\%.

8.11\%.

Тесты

1. (3). 2. (1). 3. (2), (4). 4. (2). 5. (2). 6. (3). 7. (1). 8. (4). 9. (4). 10. (1), (3). 11. (1). 12. (3). 13. (1), (4), (6). 14. (3), (4). 15. (1). 16. (1). 17. (4).