7.1. метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели г. марковица

7.1. метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели г. марковица

В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц опубликовал статью «Portfolio Selection*, которая легла в основу теории инвестиционного портфеля. Г. Марковиц исходил из предположения о том,

что инвестирование рассматривается как однопериодовый процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется. Другим важным исходным положением в теории Г. Марко-вица является идея об эффективности рынка ценных бумаг. Под эффективным рынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг; это рынок, который практически мгновенно реагирует на появление новой информации.

В своих теоретических исследованиях Марковиц полагал, что значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инвестор формируя свой портфель, оценивает лишь два показателя E(r) ожидаемую доходность

и О стандартное отклонение как меру риска (только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении). Следовательно, инвестор должен оценить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания обеспечивает максимальную доходность r при допустимом значении риска О. Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения «доходность-риск».

Эффективные портфели. Цель любого инвестора составить такой портфель ценных бумаг, который бы давал максимально возможную отдачу с минимально допустим^гм риском. Раскроем прежде всего взаимосвязь эффекта корреляции и риска инвестиционного портфеля.

Сравнение значений стандартных отклонений различных портфелей позволяет сделать два важных вывода: во-первых, при одних и тех же значениях Р1 2 разным портфелям соответствуют

разные величины О, то есть при изменении соотношения ценных бумаг в портфеле меняется и риск портфеля. Во-вторых, что более важно, для любого портфеля с понижением коэффициента корреляции уменьшается и риск портфеля (если, конечно портфель не состоит из одной ценной бумаги).

Если брать различные количества ценных бумаг (3, 4, 5, n), имеющих любые попарные коэффициенты доходностей в пределах от (1) до (+ 1), и создавать из них портфели, варьируя «вес» каждой ценной бумаги, то какому-то конкретному портфелю А будет соот

ветствовать вполне определенное соотношение ожидаемой доходности Е(гд) и риска (стандартное отклонение оа). Перенеся эти соотношения на координатную плоскость с осями E(r) и о, получим точку А с координатами [Е(гд); од] на рисунке 7.1.

Заштрихованная площадь S представляет зону возможного существования портфелей, создаваемых из n выбранных ценных бумаг.

Для другого набора этих же ценных бумаг с определенным «весом» каждой бумаги получим другое соотношение ожидаемой доходности и риска (например, точка N на рис. 7.1). Можно показать, что из любого ограниченного набора ценных бумаг, выбранных инвестором, путем варьирования их «веса» можно получить бесконечное количество портфелей. Если для каждого из портфелей определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение, отложить их на графике (рис. 7.1), то получим совокупность точек зону, определяющую все возможные портфели для выбранного количества ценных бумаг.

Ключ к решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о существовании эффективного набора портфелей, так называемой границы эффективности. Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:

Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом уровне риска.

Обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожидаемой доходности.

Иначе говоря, если инвестор выбрал n ценных бумаг со своими характеристиками [E(rj); Оі; О{у Pij, где i,j = 1,2,.. .,n], то найдется только одна комбинация ценных бумаг в портфеле, минимизирующая риск портфеля при каждом заданном значении ожидаемой доходности портфеля. Если обратиться к рисунку 7.1, то вывод теоремы сводится к тому, что какую бы величину ожидаемой доходности не определил инвестор (например, E(rm) на рис. 7.1), всегда путем перебора весов ценных бумаг портфеля можно найти такой портфель, при котором уровень риска достигает минимального значения (на рис. точка М).

Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образует так называемую границу эффективности на рис. 7.1 это линия R. Как видно из данного рисунка, при перемещении по границе вверх-вправо величины E(r) и О увеличиваются, а при движении вниз-влево уменьшаются.

Итак, эффективный портфель это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величине E(r) и максимальную отдачу при заданном уровне риска.

Как отмечалось, на риск портфеля основное влияние оказывает степень корреляции доходностей входящих в портфель ценных бумаг чем ниже уровень корреляции, то есть чем ближе коэффициент корреляции приближается к (1), тем ниже риск портфеля. Тогда можно предположить, что путем диверсификации изменения количества входящих в портфель ценных бумаг и их весов инвестор способен снизить уровень риска портфеля, не изменяя при этом его ожидаемой доходности.

Та часть риска портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации, называется диверсифицируемым, или несистематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся диверсификацией, носит название недиверсифицируемого, или систематического риска.

Общая постановка задачи нахождения границы эффективных портфелей. Если портфель состоит из более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное число портфелей, или, иными словами, можно сформулировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой нормой отдачи Е(гд) необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Иными словами, можно задачу инвестора свести к следующему:

необходимо найти минимальное значение дисперсий портфеля

о П = XW2 о 2 + £ ZWiWjpo i Oj (7.1)

i=i i j

при заданных начальных условиях:

Е(гпортфеля) = £ WiE(ri) (7.2)

i=1

ZW = 1 (7.3)

i=i

Существуют три способа решения подобного рода задач -графический, математический и с использованием компьютерных программ.

Графический способ был предложен Г. Марковицем. Необходимо учитывать, что при n > 3 этот способ мало применим, поскольку не позволяет графически представить границу эффективных портфелей. Математический способ позволяет оптимизировать портфель, содержащий много больше ценных бумаг, и широко используется на практике. Наконец, с помощью специальных программ можно решать подобные задачи с дополнительными начальными условиями.

Итак, для решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а) n значений ожидаемой доходности E(ri), где i = 1, 2,..., n каждой ценной бумаги в портфеле;

б) n значений дисперсий 02i каждой ценной бумаги;

в) n(n-1)/2 значений ковариации Oij, где i,j = 1, 2,..., n.

Способы их вычисления приведены ранее. Если подставить значения E(ri), Oi и Oij в уравнения (7.1) (7.3), то выясняется, что в этих уравнениях нешвестными оказываются только величины Wi -«веса» каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n акций, по сути дела, сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е* инвестор должен найти такие значения Wi, при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения Е* инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

Нахождение оптимального портфеля. В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E(r) и уровня риска O портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания

E(r) и O, поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна, и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптимальный портфель непременно является эффективным, то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.

7.2. Оптимизация инвестиционного портфеля по модели Шарпа

Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяет находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем в^гчислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E(ri) каждой

ценной бумаги, n величин О2і дисперсий всех норм отдачи и n(n-1)/2

выфажений попарных ковариаций Oij ценных бумаг в портфеле.

В 1963 г. американский экономист у. Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа (Sharpe single-index model).

Общее описание модели. В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две отучайггые переменные величины независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = а + РхХ. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность rm, вычисленную на основе индекса Standart and Poor's (S&P500). В качестве зависимой переменной берется доходность ri какой-то і-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model), а доходность rm доходностью рыночного портфеля.

Пусть доходность rm принимает случайные значения, и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm1, rm2, ... , rmN. При этом доходность ri какой-то і-ой ценной бумаги имела значения щ, ri2, ... , riN. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

ri,t = аі + Pirm,t + Si,t (7.4)

где: rit доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t (например, 31 декабря 2000 года);

ai параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показытающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm;

Pi параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

rm,t доходность рыночного портфеля в момент t;

Sit случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri t и rm t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру Pi, поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если Pi>1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm. Соответственно, при Pj < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E(r)j, чем рыночная доходность.

В этой связи ценные бумаги с коэффициентом P > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с P < 1 менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг P > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной P.

Определение параметров ai и Pi регрессионной модели.

Для нахождения параметров ai и Pi по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов (МНК). По этому методу в качестве параметров ai и Pi берутся такие значения, которые минимизируют сумму квадратов ошибок S. Если провести необходимые вычисления, то окажется, что параметры ai и Pi принимают следующие значения:

ai = E(ri) pi х E(rm) (7.5)

в i = ^ или в i = . (7.6)

О m О m

Оценка результатов регрессии. Параметры ai и Pi регрессионной модели дают представление об общих тенденциях взаимосвязей между изменениями рыночного показателя rm и нормой отдачи

ri. Однако величины ai и Pi не позволяют давать однозначный ответ о степени подобной взаимосвязи. На точность регрессионной модели оказывает значительное влияние ошибки Si. Значит, точность регрессионной модели, степень взаимосвязи rm и ri, определяется разбросим случайных ошибок Si, который можно оценить с помощью дисперсии случайной ошибки . Кроме того, точность регрессии можно определить, оценивая, сколь точно регрессионная модель определяет дисперсию О2 ценных бумаг, для которых составляется регрессионная модель.

Дисперсию i-ой ценной бумаги <jl можно представить в виде двух слагаемых:

о 2=в2. о m+о2,і

2

Разделим обе части равенства на величину сг :

2 2 °i °i

В этом случае первое слагаемое будет показывать, какую долю в общем риске ценной бумаги можно описать с помощью регрессионной модели (гц = cti + Рігтд), а второе слагаемое степень неточности регрессионной модели. Значит, чем ближе величина в 2 о т/о 2 ближе к единице, тем более точная регрессионная модель. Если обратиться к равенству, то можно увидеть, что в 2 о т/о 2 = р2т.

Следует иметь в виду, что квадрат коэффициента корреляции р і2,т является общепризнанной мерой оценки линейной регрессии,

то есть мерой того, насколько точно уравнение регрессии подходит для описания соотношений реальных данных гі t и rm t.

Поскольку для определения оптимального портфеля с использованием модели Шарпа понадобятся значения дисперсий о2; отучайных ошибок, т0 вычислим их. Общая формула для вычисления дисперсии случайной ошибки имеет вид:

о'і ё[ги (а і + в irm,t)]2/(N 2) . (7.7)

t=i

В данном случае средняя арифметическая величина вычисляется делением на (N-2), поскольку две степени свободы были утеряны при вычислении ССі и Pi.

Использование рыночной модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей. Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вьічиотений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то будем считать, что:

Средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E(Si)=0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для і = 1, 2, ... , n.

Дисперсия случайных ошибок оі для каждой ценной бумаги постоянна.

Для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок.

Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

Отсутствует корреляция между случайными ошибками Si и рыночной доходностью.

Используя эти упрощения, можно получить выражения E(ri), о2 и ((у для любых ценных бумаг в портфеле:

E(ri) = ai + Pi х E(rm);

о 2=p2 •о m+o2,i;

2

= Pi Pj О m

Подведем итог: если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии ai и Pi позволяет выразить с их помощью все начальные элементы ожидаемую доходность E(ri) каждой ценной бумаги в портфеле, дисперсии

о( и ковариации бi,j норм отдачи этих ценных бумаг, необходимые для построения границы эффективных портфелей. При этом инвестору требуется предварительно вьгчислить n значений ai, n величин

Pi, n значений о єі, а также E(rm) и О m. Следовательно всего потребуется найти: (n+n+n+2) = 3n+2 начальных данных, что существенно меньше объема выгчиотений для модели Марковица.

Определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля. Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

E(rn) =^WiE(ri). (7.8)

где Wi вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту формулу выражение для ri :

E(rn) = ]^WiE(ai + p+ єi) = EWi(ai + єi) +zZW{ • pi • E(rm) (7.9)

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рьшочньгй индекс как характеристику условной (п+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения можно представить в виде:

ЇМ ;E(rm) = Wn+iE(a n+i + є n+i) (7.10) i=i

где: Wn+i = SWiP і; (7.11)

a n+1 + Є n+1 = rm .

при этом считается, что дисперсия (п+1)-ой ошибки равна дисперсии рыночной доходности: o2n+1 = оm. Выражение (7.11)

представляет собой сумму взвешенных величин «беты» (Pi) каждой ценной бумаги (где весом служат Wi) и называется портфельной бетой (Pn)С учетом сделанных допущений, формулу (7.8) можно записать так:

n+1

БЫ =Ї WiE(a і + є і) (7.12)

i=i

а поскольку E(Si) = 0, то окончательно имеем:

n+1

EM =Ї Wi a і (7.13)

i=i

Итак, ожидаемую доходность портфеля E(rn) можно представить состоящей из двух частей:

а) суммы взвешенных параметров ai каждой ценной бумаги Wiai + W2a2 + .... + Wnan, что отражает вклад в E(rn) самих

ценных бумаг, и

n

б) компонентні Wn+1an+1 = ЇWiPiE(rm), то есть произведения

i=1

портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.

Дисперсия портфеля. Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:

о n = ZV2 о2;. (7.14)

i=i

n

При этом только необходимо иметь в виду, что Wn+1 = Z W;P;

i=1

то есть (Wn+i)2= (W1P1 + W2P2 + .... + WnPn)2, а о2^ = о2m. Значит, дисперсию портфеля, содержащего n ценных бумаг, можно представить состоящей из двух компонент:

а) федневзвешенных дисперсий ошибок Z W; о ; , где весами

i=i

служат Wi, что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск);

б) P П о 2" взвешенной величины дисперсии рыночного показателя , где весом служит квадрат портфельной беты, что отражает долю риска портфеля, определяемого нестабильностью самого

рынка (рыночный риск).

В модели Шарпа цель инвестора сводится к следующему: необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля:

о П = IlV о;2,;. (7.15)

i=i

при следующих начальных условиях:

n+1

Z W; a; = E . (7.16)

i=1

Z W; = 1. (7.17)

i=1

і = Wn+1. (7.18)

i=1

Итак, отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа:

Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности r. t каждой ценной бумаги.

По рыночному индексу (например, AK&M) вьічислить рыночные доходности rm t для того же промежутка времени.

Определить величины Pi:

р.^

О m

Найти параметр а.:

а. = E(r.) piE(rm)

Выгаислить дисперсии <зєі ошибок регрессионной модели

Подставить эти значения в уравнения (7.15 7.18)

После такой подстановки выгаснится, что неизвестными величинами являются веса W. ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E*, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.

Ответить на вопросы:

Какие два параметра используются в модели Г. Марковица для оценки инвестором эффективности вложения денег в портфель акций?

Что понимается под термином «эффективный рынок» в контексте модели Г. Марковица?

Каким образом строится граница эффективных портфелей в модели Г. Марковица?

Может ли вес какой-либо акции портфеля в модели Г. Марко-вица принимать отрицательное значение, и что это означает?

Чем отличается оптимальный портфель от эффективного?

Выполнить задание № 7

(для этого необходимо изучить теорию оптимизации портфеля, разработанную Г. Марковицем).

Задание 7

Какие из перечисленных ниже условий присущи эффективному рынку ценных бумаг в контексте модели Г. Марковица?

Сделки с ценными бумагами происходят без трансакционных издержек.

Инвестирование носит одно-холдинговый характер.

Уровень инфляции не превышает реальной безрисковой ставки процента.

Цены акций имеют случайный характер.

Задание 7а

Имеются три акции А, В, С, для которых вычислена ожидаемая доходность:

E(ra)=0,11; Е(гь)=0,12; E(rc)=0,14 и стандартные отклонения норм отдачи:

оя = 0,02; ов=0,03; Ос =0,04.

Инвестирование в какую акцию более предпочтительно? Задание 7б

В ходе построения границы эффективных портфелей по модели У. Шарпа из трех акций были вычислены следующие параметры:

Кроме того известно, что ожидаемая доходность рыночного

портфеля E(rm )=0,08 и дисперсия рыночного портфеля а 2п =0,007.

Как будет представлена задача нахождения границы эффективных портфелей по У. Шарпу в этом случае?

План практического занятия

Нахождение гртицы эффективных портфелей по методу Г. Марковица.

Вычисление коэффициентов a и р.

Определение весов акции в портфеле по методу У. Шарпа.

Тест

«В модели Г.Марковица предполагается, что цены акций изменяются случайным образом»: Верно ли это утверждение?

а) нет, поскольку в модели Г.Марковица предполагается, что

цены акций могут иметь корреляционную связь;

б) да, но только в модели Г.Марковица предполагается, что это

справедливо лить для привилегированных акций;

в) да;

г) нет, так как в модели Г.Марковица предполагается, что изменение цен акций детерминировано.

Что понимается под «ожидаемой доходностью E(r» отдельной акции в модели Г.Марковица?

а) взвешенная величина доходностей акций, где весами служат

доли начальной инвестиционной суммы;

б) средняя величина доходностей акций, при которой сумма

отучайных ошибок равняется нулю;

в) средняя арифметическая величина наблюдавшихся ранее

значений доходностей акций;

г) значение доходности акции, при котором дисперсия случайной ошибки минимальна.

В результате решения задачи Г.Марковица для ожидаемой доходности портфеля Е(гпортфеля)= 0,11 получились следующие веса акций: W1 = 0,6; W2 = 0,8; W3 = 0,4. Что означает отрицательный вес третьей акции?

а) инвестор должен исключить данную акцию из портфеля;

б) инвестору следует коротко продать данную акцию, а вырученные деньги направить на приобретение двух других акций;

в) инвестору надо продать третью акцию, а полученные деньги направить на покупку других двух акций;

г) инвестор должен уменьшить на данную долю число третьей акции.

Верно ли утверждение, что оптимальный портфель обязательно должен быть эффективным?

а) да;

б) это зависит от отношения конкретного инвестора к риску;

в) в определенных условиях инвестор может в качестве оптимального выбирать и неэффективный портфель;

г) при высоких уровнях корреляции это условие может не выполняться.

Что такое «граница эффективных портфелей» в модели Г. Марковица?

а) совокупность портфелей, обеспечивающих минимальный

риск при любой заданной величине ожидаемой доходности портфеля;

б) совокупность портфелей, для которых дисперсия случайных ошибок минимальна;

в) прямая линия, соответствующая линейному регрессионному уравнению;

г) линия, обеспечивающая оптимальное соотношение параметров регрессии.

Для какой-то акции А значение коэффициента рва = -1,7. Что это означает?

а) такого не может быть, т.к. коэффициентах р всегда положительны;

б) в изменениях доходностей акций портфеля превалируют

обратные тенденции;

в) в изменениях доходностей акций портфеля и доходностей

рыночного портфеля превалируют обратные тенденции, причем доходности акции А более рисковые, чем рынок в целом;

г) в изменениях доходностей акций портфеля и доходностей

рыночного портфеля превалируют обратные тенденции, причем доходности акции А менее рисковые, чем рынок в целом.

С помощью какого показателя можно оценить степень точности регрессионного уравнения?

а) коэффициента a регрессионной модели;

б) коэффициента р регрессионной модели;

в) квадрата коэффициента корреляции;

г) ожидаемой доходности портфеля.

Может ли случайная ошибка в регрессионном уравнении принимать на каком-то шаге расчета отрицательное значение?

а) нет, это противоречит здравому смыслу;

б) может, но только если и коэффициент p регрессионной модели также отрицателен;

в) это определяется знаком коэффициента а;

г) да.

Для нахождения коэффициентов а и Р регрессионной модели используется метод наименьших квадратов. Это означает, что при вычислении данных коэффициентов необходимо, чтобы:

а) сумма квадратов коэффициентов а принимала минимальное значение;

б) была минимальной сумма дисперсий доходностей акций

портфеля;

в) была минимальной сумма квадратов случайной ошибки;

г) сумма квадратов доходностей исследуемой акции становилась минимальной.

10. Пусть за 4 шага расчета доходности ra акции А и rm рыночного портфеля изменялись следующим образом:

Вычисления дают следующие значения коэффициентов а и P регрессионной модели:

аа = 0,0481; Ра = 0,5385

Чему равна случайная ошибка єа,3 на третьем шаге расчета? а) +0,01658; б) 0,01658; в) +0. 01964; г) -0,01964