4.1 определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля

4.1 определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле

E(0 = ZWiE(ii) (13)

i =1

где Wi вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту формулу выражение для ri из формулы (12):

E(0 = £WiE(ai + Piim + Si) = £ +г,) + £W ■ Pi • E(im) (14)

i=1 i=1 i=1

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (п+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения (14)можно представить в виде:

£ WiPiE(rm) = Wn+1E(a n+1 + Sn+1) (15)

i =1

где: Wn+1 = £ WiPi; (15a)

i=1

an +1 + Sn+1 = rm .

при этом считается, что дисперсия (п+1)-ой ошибки равна

2 2

дисперсии рыночной доходности: +1 =am. Выражение (15а)

представляет собой сумму взвешенных величин "беты" (Pi) каждой ценной бумаги (где весом служат Wi) и называется портфельной бетой (Pn). С учетом выражений (14) и (15) формулу (13) можно записать так:

E(0 = £WiE(ai +Si) (16)

i =1

а поскольку E(si) = 0, то окончательно имеем:

E(rn) = ЇЧ(Хі (17)

i =1

Итак, ожидаемую доходность портфеля E(rn) можно представить состоящей из двух частей:

а) суммы взвешенных параметров ai каждой ценной бумаги W1a1 + W2a2 + .... + Wnan, что отражает вклад в E(rn) самих ценных

бумаг, и

n

б) компоненты Wn+1a n+1 = Е WiPiE(rm), то есть произведения

i=1

портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.