1.1.8. оптимальный план потребления с функцией инвестиций ii

1.1.8. оптимальный план потребления с функцией инвестиций ii

Пусть существует функция инвестиций Xi = 240 ■ /п'-5, где /0 — сумма инвестиций иХі — валовой денежный поток. Цена потребительских благ равна

единице. Ваше оптимальное потребление в первом периоде Сп составляет 5000. Вы помещаете 5000 руб. на рынке капитала и инвестируете 10 000 руб.

Рассчитайте свой начальный запас, валовые денежные потоки, проценты на рынке капитала, вашу норму временных предпочтений в оптимуме и объем возможного потребления во втором периоде.

Ваши предпочтения сильно и быстро изменились. Сейчас вы оцениваете свою альтернативу с функцией полезности U{Cn,C) = С" 7;> С1^ 25. Как сейчас выглядит ваш наилучший план потребления?

Как изменилась бы ваша оптимальная инвестиционная программа, если бы проценты на рынке капитала снизились до г = 0.1?

* * *

1. Начальный запас составляет

Л/о = Л/0 + фС0 + /о = 5000 + 5000 + 10 000 = 20 000 руб.

Подстановка суммы инвестиций в функцию инвестиций дает

Xi = 240х/Ю000 = 24 000 руб.

В оптимуме доходность предельной инвестиции точно так же велика, как рыночная ставка процента. Поэтому верно

0.5 • 240 ■ /-05 = 1 + г,

120

, = 1 + г,

/10 000

г = 0.2.

Норма временных предпочтений в оптимуме в точности соответствует рыночной ставке процента. Во втором периоде вы можете потреблять

Сх = М0(1 + г) + = 5000 -1.2 + 24 000 = 30 000

потребительских благ. 2. Наилучший план потребления находится на трансакционной линии, которая пересекает ось абсцисс в точке

24 000

L = 10 000 + —j-y(см. по этому поводу рис. 1.10). Уравнение этой линии выглядит следующим образом:

Сі = 1.2 • (30 000С0) = 36 0001.2 • С0. (1.7)

= 1.2, 1.2,

В оптимуме потребления верно

0.25/Ci U(C0,Ci) 3Cj

d =0.4 ■ C0.

MRS =1 + 7-, 0.75/Со U (Со, Су)

Теперь мы приравняем это условие оптимума к (1.7) и получим из-за

0.4 ■ С0 = 36 0001.2 ■ С0 в качестве наилучшего плана потребления

С0 = 22 500 и Сі = 9000.

Так как для сегодняшнего потребления после вычета инвестиционных расходов остается лишь 10 000 руб., вы должны взять кредит в объеме 12 500 руб.

3. Вы осуществили бы реально больше инвестиций. Вы получите точную величину оптимального объема инвестиций в том случае, если приравняете первую производную функции инвестиций к (1 + г) 1.1.9. Оптимум потребления—сбережений

У Робинзона есть проблема: хотя он знает свою функцию полезности U = = Cq-75С°'25, все равно ему не известно, как разделить наилучшим образом свои средства в объеме 500 руб. на потребление и финансовые инвестиции.

Какое разделение его средств вы бы ему порекомендовали, если бы было возможно лишь держание кассы?

Как ему следует использовать свои средства, если он может вложить частично или полностью свой начальный капитал под г = 10\%.

1. Проблему оптимизации Робинзона

max U = С0°-75С"-25

при дополнительных условиях

500 = С0 + Л/0, Сх = Л/о

можно решить с помощью метода множителей Лагранжа

С = С0° 75с|>'25 + к • (500 Со d).

Возьмем частные производные по Со, С и к, и приравняем их к нулю. Это дает

|^=0.75С(7°-25.С?-25-К = 0, (1.8) ^=0.25С0°-75.СГ°-75-К = 0, (1.9)

— = 500 Со Cj = 0. (1.10)

ок

А теперь мы выразим (1.8) через к и подставим в (1.9). Преобразование приведет к условиям оптимума

Со = 3 ■ С].

Подстановка в (1.10) дает

С,= ^ = 125. 4

Для Со мы получаем из условия оптимума

С0 = 3 ■ Сі = 3 • 125 = 375.

Для максимизации своей полезности Робинзон должен сегодня (завтра) потреблять товары на сумму в 375 (125) руб.

Если существует возможность поместить деньги под ставку процента, равную г = 10\%, то изменится лишь бюджетное ограничение для момента времени t = 1

Сі = 1.1 ■ М0. Функция Лагранжа приобретет новую форму

с = с°-75с°-25 + к ■ (бОО с„ JL • с

Условия первого порядка составят

^-=0.75С0-°-25С|,-25-К = 0, оСо

^=0.25СГ5СГ°^-^.к. = 0.

Q р 1

— = 500 -С0— d = 0. ок. 1.1

Аналогичным образом мы получим условия оптимума

3d

С0 =

1.1

и как результат

Сі = = 137.5,

4

С0 = 500 - • d = 500 125 = 375,

d 137.5

М0 = — = = 125.

1.1 1.1

И в этой ситуации Робинзон достигает своей максимальной полезности, если он в t = 0 потребляет блага на сумму в 375 руб., но сейчас он поместит остаток своего имущества не под подушку, а в банк. Отсюда для него в t = 1 появится возможность потреблять на 10 \% больше, чем в исходной ситуации.

1.1.10. Оптимум потребления—инвестиций

Робинзон имеет функцию полезности U = ес°^' и финансовые средства величиной в 15 000 руб. Он может осуществить реальные инвестиции. Функция инвестиций имеет вид Xi = IQQ/Tq. Далее, Робинзон на рынке капитала может брать и помещать финансовые средства под 10 \%. Определите оптимальный план инвестиций и потребления Робинзона при условии, что цена потребительского блага составляет 1 руб.

Для максимизирующего полезность Робинзона верно

max U = eCoVUI при дополнительных условиях

15 000 = С0 + Л/0 + /0, (1.11)

Ci = l.l-Mo + 100v/7o. (1.12)

Соединив (1.11) и (1.12), получаем функцию Лагранжа

С = еСо\%/СТ + к • (Сі 1.1 ■ (15 000С0 70) lOOv/їо).

Нахождение частных производных по искомым переменным решения и множителю Лагранжа приведет нас к условиям первого порядка

^-=у/д'1-еСо^ + к-1Л = 0. (1.13)

дС0

8С 1 •Со-еСо^ + к = 0. (1.14)

дСх 2у^ дС 1

- = ..1.1-..100.^=0, (1.15)

дС г— =Ci 1.1 ■ (15000Со /о) Ю0>Д) = 0. (1.16)

С АС

Из уравнения (1.15) мы получаем

100

1.1 =

2уДо

и, таким образом, /0 = 2066.12. Мы получаем доход инвестиционной программы Х путем подстановки расходов на осуществление инвестиций /о в функцию инвестиций

Хх = 100V2066U2 = 4545.45. Теперь мы используем оба уравнения (1.13) и (1.14). Деление приводит к

1.1

1 -с.

2s/Ci Ьо

d = 0.55 -С0. (1.17)

Теперь мы подставим (1.17) и остальные результаты в (1.16) и получим при

0.55С0 1.1 • (15 000С0 2066.12) 100^2066.12 = 0, Со = 11377.41.

Из (1.17) получается

С, = 0.55 ■ И 377.41 = 6257.57.

При 10 и С0 можно определить остаточную величину М0 из (1.11)

Мо = 15 000 11377.41 2066.12 = 1556.47.

Робинзон достигнет своего максимума полезности, если он распределит свои средства величиной в 15000 руб. таким образом, что потребит сегодня 11377.41 руб., использует 2066.12 руб. для осуществления реальных инвестиций и разместит 1556.47 руб. на рынке капитала. Эти трансакции позволят ему в момент времени t = 1 потреблять на сумму 6257.57 руб.