1.1.13. сравнительная статика в модели инфляции

1.1.13. сравнительная статика в модели инфляции

1. Покажите аналитически, как изменятся оптимальное сегодняшнее и будущее потребление, если увеличится начальный запас сегодняшних благ.

'' При С, обозначающей норму временных предпочтений, он представляет собой

1. Из соображений удобства мы рассмотрим сейчас изменения начального запаса сегодняшних потребительских благ и оставим все остальные экзогенные величины постоянными. Поэтому функции оптимальных множеств потребительских благ (1.30) упрощаются и сводятся к Сд(СЬ) и С* (С0). Подстановка в оба условия оптимума (1.29) и (1.27) приведет после преобразований к

эсг

Uoi = ulQ =

д2и

д2и

del

ОСо D dCi 1 + R

Применение правила Крамера при D, обозначающей определитель матрицы коэффициентов, дает

дС° l + R(Un(l+B)-UU)), (1.32)

(Uoo Ui0(l + R)). (1.33)

а Со d

Из-за выпуклости вниз кривых безразличия определитель

D = Uoo 2 Uw (1 + R) + Un (1 + Я)2

имеет отрицательный знак, D < 0. Мы исходим из того, что сегодняшние и будущие потребительские блага являются нормальными. Поэтому верно Uqi > 0. Кроме того, предельная полезность из-за условия выпуклости вниз не может повыситься, Uoo < 0 и С/ц < 0. Таким образом, выражение, содержащееся в скобках в правой части (1.32) и (1.33), отрицательно, так что

дСо дС

Вы реагируете на более высокий начальный запас, увеличивая потребление в обоих периодах.

Прирост ставки процента означает, что рынок капитала вознаграждает за отказ от сегодняшнего потребления в большем объеме. Сейчас вы можете получить за каждую дополнительную единицу сбережения более высокую компенсацию, чем раньше. Для подготовки формализованного анализа мы сейчас выразим зависимость функции оптимального потребления в зависимости от R,

С0*(Д) и СТ(Д),

и подставим в (1.29) и (1.27). При взятии частных производных в системе уравнения по R получаем

/ U00 (1 + Я) Uio Uoi Un(l + R) I дСо/dR I dU/дСі

V 1 + Я 1 j дСі/OR J Co-Co J

Для изменения сегодняшнего потребления мы получаем

ЗЯ "Я" + (СЬ Со) Ъ < 0. (1.34)

Реакция на изменение ставки процента априори неопределима. Первое слагаемое правой части (1.34) отрицательно, в то время как дробь во втором слагаемом из-за (1.32) имеет положительный знак. Второе слагаемое отражает эффект дохода, взвешенный по сбережениям потребительских благ. Если ваш начальный запас перед повышением ставки процента не совсем истощен (Со — Со > 0), то ваши вложения сейчас порождают более высокие возвратные потоки. Увеличиваются как ваше сегодняшнее, так и ваше будущее потребление. Но при потреблении, которое превышает ваш начальный запас сегодняшних благ (Со С0 < < 0), увеличение доходности приведет к потере доходов и сокращению спроса в обоих периодах.

Первое слагаемое в (1.34) соответствует эффекту замещения. Если потребление сегодня из-за прироста ставки процента становится относительно дороже, то рациональный потребитель «перемещает» свой спрос с сегодняшнего момента времени на будущий. Оптимальные сбережения и будущее потребление повысятся.

Значит, общая реакция индивидуума на изменение ставки процента зависит от того, является ли он чистым покупателем или чистым продавцом потребительских благ и какой из отдельных эффектов преобладает. Таким образом,

аСо>0 дЯ. <

Реакцию будущего потребления С* на повышение ставки процента можно назвать перекрестным ценовым эффектом. Эффект замещения положителен, как и эффект дохода. Таким образом, общий эффект здесь тоже зависит от того, является ли данный индивидуум чистым покупателем или чистым продавцом

^1=0. OR <

Лишь тогда, когда объем потребления индивидуума меньше, чем его начальный запас, происходит однозначное увеличение будущего потребления. В противном случае, это не так.

Однако необходимо учитывать, что отмеченная неоднозначность реакции на изменение ставки процента не действует для сумм всех потребителей. В этом случае положительные эффекты дохода у чистых продавцов в точности компенсируются отрицательными эффектами дохода у чистых покупателей. Происходит взаимная компенсация эффектов дохода, и преобладающим оказывается эффект замещения. Потребители в совокупности реагируют на повышение рыночной доходности, однозначно отказываясь от потребления сегодня.