2.1.2. вероятность безразличия и функция полезности

2.1.2. вероятность безразличия и функция полезности

Несмотря на ваши скудные финансовые запасы, вы строите планы путешествия. Цель путешествия упорядочена вами следующим образом:

Аляска >Бразилия >Цейлон >Доминиканская республика у Эквадор >Франция.

Какая связь существует между вашими целями путешествия и вероятностями безразличия q Є [0, 0.1, 0.2. 0.4. 0.8, 1]?

Проинтерпретируйте содержательно вероятности безразличия.

К вашей радости вы приглашены частными телевизионными компаниями ВТН и ЦВТ на призовое шоу, где можно выиграть ваши любимые варианты путешествий. Барабан выигрыша ВТН содержит, однако, лишь Аляску, Доминиканскую республику и Францию, а ЦВТ — лишь Бразилию, Цейлон и Эквадор. К сожалению, оба шоу проводятся в одно и то же время. Вы не можете себя разделить. Куда вы пойдете?

* * *

1. Приписывание целей путешествий вашим вероятностям безразличия дает картину, изображенную в следующей таблице:

Представьте себе барабан с десятью шарами. Одни из них белые, другие — черные. Если вы вытащите белый шар, то можете посетить эскимосов на Аляске. А если вам, наоборот, попадется черный шар, то вы могли бы гулять по следам Астерикса и Обеликса (Франция). Предположим, что вы уже имеете билет на карнавал в Рио-де-Жанейро. Сколько белых шаров должно было бы в этом случае быть в барабане для того, чтобы вы обменяли бы этот билет на шанс (возможность) еще раз вытащить шар из барабана? Будучи студентом, который уже давно освоил принцип Бернулли, вам не должно составить труда точно назвать цифру. Вы соглашаетесь рискнуть гарантированным путешествием в Рио-де-Жанейро лишь при 8 белых шарах (q = 0.8). С гарантированным путешествием на Цейлон барабан мог бы конкурировать уже при 4 белых шарах. За Доминиканскую республику вы требуете лишь два белых шара и т. д.

Вероятности безразличия подходят как значения полезности, так как они количественно оценивают относительную ценность целей путешествия. На основе еще раз обобщенных и приписанных альтернативам значений полезности — см. таблицу —

легко вычислить ожидаемую полезность альтернатив

л

E[l/(i)]= £ <,,£/(*,).

я=1

Для А и А2 получаем

і ■ (1+0.2 + 0) = 0.40 и і ■ (0.8 + 0.4 + 0.1) =0.43.

3 3

Итак, вам лучше принять участие в шоу ЦТВ.

2.1.3. Функция полезности при нерасположенности к риску

Необходимо осуществить выбор между следующими лотереями:

Li := [50,0 : 0.5,0.5], L2 .[100,-25:0.5,0.5].

Ваша функция полезности имеет свойства U'(x) > 0, U"(x) < 0 и /7(0) = 0. Изобразите графически:

математические ожидания результатов лотереи;

полезность лотерей по Бернулли;

рисковую премию;

безрисковый эквивалент. Какую лотерею вы предпочтете?

* * *

Знаки первой и второй производной показывают, что предельная полезность вашего дохода положительна, но убывает. Поэтому функция полезности характеризуется изображенной на рис. 2.1 выпуклостью вверх.

Так как U(0) = 0, то она проходит через начало координат. Принадлежащая первой лотерее функция полезности по Бернулли является геометрическим местом всех линейных комбинаций, состоящих из значений полезности /7(0) и /7(50). Она начерчена как непрерывная сплошная линия. Определенная аналогичным образом полезность по Бернулли второй лотереи изображена пунктиром. На основе заданных вероятностей математиче

ское ожидание результатов лотереи находится в точности посередине между значениями 0 и 50 (—25 и 100) для первой (второй) лотереи. Поэтому мы получаем показатели E[Li] = 0.5-50 = 25 и E[L2] = 0.5-(100 + (-25)) = 37.5. Полезности по Бернулли лотерей на рис. 2.1 обозначены как E[t/(Li)] и E[t/(L->)]. Это можно вычислить, если вначале от E[Li] = 25 или E[Lo] = 37.5 расположить линии вертикально к полезности по Бернулли и потом, исходя из точки пересечения, начертить горизонтально ординату. На абсциссе вертикально от точки пересечения между горизонталью и функцией полезности U(x) можно найти безрисковые эквиваленты Si и 52. Сейчас нам еще нужно поискать премии за риск. Они отражены в разнице между математическим ожиданием результатов лотереи и безрисковым эквивалентом. Выбор между обеими лотереями не должен представлять трудность, ведь E[£/(Li)] расположена однозначно выше, чем Е[Ьг(Ьг)].