2.1.5. однозначность функции полезности

2.1.5. однозначность функции полезности

Пусть даны две функции полезности

U(х) и U*(і) = h + д U{x) с д > 0.

Лицо, принимающее решение, приходит на основе второй функции полезности при изучении двух альтернатив к результату А h А2. Что изменится, если оно вместо этого будет ориентироваться на первую функцию полезности?

Как бы выглядел ваш ответ, если вторая функция полезности имела бы форму U*(x) = h gU(x) с д > 0?

Как упорядочиваются альтернативы при U*(x) = h?

•к

1. Две функции полезности приводят к принятию одинаковых решений тогда, когда их можно взаимно «перевести» друг в друга посредством положительного линейного преобразования (см. по этому поводу также с. 74). Если нам удастся показать, что U(i) является положительным линейным преобразованием функции U*(x), то тогда выбор функции полезности не окажет влияния на упорядочение альтернатив. Мы ищем два числа а и b при Ь > 0, так чтобы было верно

a + bU*{x) = U (т.).

Если подставить вторую функцию полезности, то будет иметь место

а + Ь (h + gU(x)) = U{x).

На первом этапе мы определяем Ь таким образом, что фактор, на который умножается U(x), приобретает значение единицы. Очевидно, что мы должны обозначить b = 1/д. Таким образом, получается

a++ U{x) = U{x). 9

После этого мы должны выбрать а так, чтобы в обеих частях уравнения осталось лишь U(i). Это получится при а = -h/g.

Теперь мы ищем преобразование формы

a + b{h-gU(x)) = U(x).

Чтобы получить желаемый результат, мы должны обозначить Ь = — — 1/h. Это было бы отрицательным линейным преобразованием и изменило бы ранговый порядок с точностью до наоборот.

Лицо, принимающее решение и имеющее эту функцию полезности, оценивает все альтернативы с тем же значением. Поэтому оно должно прийти и при осуществлении выбора между альтернативами А и А2 к результату А ~ А2 

2.1.6. Значимость постоянных издержек

Вы имеете в области х. < 25 ООО функцию полезности типа

Г' - 1 ~2

и — х — ;г

50 000

и эксплуатируете новую квартиру вашего дяди в течение года. Эту квартиру можно приспособить под офис. За это вы от дяди получаете сумму, равную годовой квартплате. Одногодичной арендой интересуются Иван и Петр. Иван предлагает фиксированную арендную плату за год в сумме 9670 руб. Петр же предлагает вам арендную плату в зависимости от оборота. Если оборот является низким, то он готов платить лишь 3000 руб. Если бизнес процветает, то он готов перечислять на ваш счет 23 000 руб. По его мнению, оба события одинаково вероятны.

Кому вы сдадите квартиру?

Изменили бы вы свое решение, если бы аренда была связана с постоянными издержками в сумме 1400 руб.?

Рассчитайте величину постоянных издержек, при которой обе альтернативы нужно было бы оценить как одинаково хорошие.

Начертите график зависимости функции ожидаемой полезности от постоянных издержек. Используйте для этого рассчитанные вами выше значения.

* * *

Полезность надежной альтернативы без постоянных издержек составляет

х2

U(x)=r = (2.2)

^ ; 50000 V '

96 ~*f)~

= 9670 -— = 7800.

50 000

Для ожидаемой полезности рисковой сдачи в аренду возникает

E[U(x)}=q1U(xl) + q2U(x2) = (2.3)

/ 30002 / 23 ООО2

= 0.5 • 3000 +0.5-23 000 =

V 50 000 У V 50 000 )

= 7620.

Если бы постоянных издержек не существовало, то вы сдали бы квартиру в аренду Ивану.

С учетом постоянных издержек при выборе надежной альтернативы вы получаете чистую арендную плату в сумме 8270 руб. Рисковая альтернатива обещает вам или 1600 руб., или 21600 руб. После подстановки этих сумм в (2.2) мы получаем показанные в табл. 2.4 значения полезности. Тогда функция ожидаемой полезности (2.3) дает для А значение 6902. Рисковая сдача в аренду порождает ожидаемую полезность 6909. Постоянные издержки в сумме 1400 руб. изменяют ранговый порядок альтернатив. Теперь контракт на аренду получает не Иван, а Петр.

Мы получим критическую сумму постоянных издержек через приравнивание функции полезности к функции ожидаемой полезности. Если К — это постоянные издержки, то тогда лицо, принимающее решение, всегда безразлично при совершении выбора между рисковой и надежной сдачей в аренду, когда обе альтернативы дают одинаковую полезность

U(x К) = E[U(x, К)]. (2.4)

Использование конкретных арендных платежей (2.4) позволяет рассчитать критическую сумму постоянных издержек, значит

(9670 К) {9Ш~К)2 = 0.5 • ((23 000 К) <23°°° " К)*

50 000 V 50 000

+0.5. ((.3000 -К)-{ЗШ-К)2

У ' 50 000

Если выразить из этого уравнения К, то получим

К = 1350.

В первом разделе мы уже установили, что при постоянных издержках, равных нулю, доминирует надежная альтернатива, а при постоянных издержках, равных 1400 руб., — рисковая. При использовании этого результата не должно представлять затруднений определение интервала постоянных издержек, в котором надежная арендная плата превос-'ходит рисковую:

Ai >А2, если К < 1350.

Если постоянные издержки повысятся до 1350 руб. или до большей величины, то будет заключен договор о рисковой арендной плате.

ЕЩК)

С учетом подарка вашего дяди и новых постоянных издержек вы можете рассчитать представленные в табл. 2.5 значения дохода и полезности. Мы получим ожидаемую полезность исследуемых альтернатив сдачи в аренду опять через подстановку соответствующих значений из табл. 2.5 в уравнение (2.3),

U(x) = 8675, E[U{x)] = 8295.

Надежный договор сдачи в аренду опять окажется более приемлемой альтернативой.1